凭借而不依赖，运用而不拘泥——“对数函数”教学中对教材应用的分析与反思

☉江苏省锡东高级中学夏晓静

凭借而不依赖，运用而不拘泥
——“对数函数”教学中对教材应用的分析与反思

☉江苏省锡东高级中学夏晓静

2015年10月，云南省普洱市黄鑫数学名师工作室的11位教师赴无锡交流考察.笔者代表无锡市何志奇数学名师工作室，开设了一堂交流研讨课，课题为苏教版必修1第3章“对数函数”（第一课时），授课对象为四星高中高一年级的学生，数学基础中等，部分学生思维活跃，能够主动参与教学活动.在授课后的笔者说课及与云南同行交流中，听课教师对在这堂课中笔者合理利用教材素材、对教材进行改编与重组的做法进行了充分的研讨.笔者将本节课的主要教学过程与设计思路整理如下，以期与各位同行探讨交流.

一、以学习者视角，明确目标，合理定位

教材分析：函数是高中数学重要内容之一，它是贯穿整个高中课程始终的主要内容，而本堂课是对数函数的第一节课，对数函数是继指数函数之后学习的另一个重要基本初等函数，它与指数函数有许多类似之处，但对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高.学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际中的应用奠定良好的基础.

教学目标：1.了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数函数是一类重要的函数模型.

2.理解对数函数的概念，能正确画出对数函数的图像，并根据图像研究对数函数的性质.

3.通过动手操作与互动交流，培养学生对比、分析、归纳能力以及数学交流的能力.

重点：对数函数图像和性质的发现过程.

难点：对数函数的性质.

教学中教师作为教育者，对教学目标的定位是课堂教学关键，而要把握好教学的方向.教师必须作为学习者，首先认真研读课程标准要求，把握好标准对各知识点的要求，合理确定教学标尺定位.其次研读教材，系统分析教学内容，把相关内容放到整章，整个模块甚至整个高中知识结构中，明确该知识点所处的地位和作用；同时以发展的眼光来解读教材，关注教材的调整变化情况，如本章反函数内容，课程标准中对它在教学中的作用与要求作了重大的调整.高一年级教学同时关注好初中课标、教材变化给高中教学带来的影响.再次合理挖掘显性知识背后的隐性知识，如数学思想、数学文化、理性精神和哲学思想等情感态度价值观的内涵.

二、以审视者视角，发现不足，修改完善

对数函数的概念导入，苏教版教材采用如下的方式：“某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数y=2x，因此，知道x的值，就能够求出y的值.现在我们来研究相反的问题：知道了细胞个数y，如何确定分裂次数x？为了求出y=2x中的x，我们将y=2x改写成对数形式x= log2y.对于给定y的值，都有唯一的x的值与之对应，把y看做自变量，x就是y的函数，这样就得到一个新函数.”我们仔细推敲该导入过程，可以发现：由于实际问题的自然数背景，给定一个分裂次数自然数x，必定可以对应唯一的细胞个数自然数y，但是如果任意选取一个细胞个数自然数y，则不一定能够对应分裂次数自然数x，即细胞个数不能够取3，5，6…等一些自然数，否则就没有实际意义，即y的取值必须是2a，a∈N的形式，因此，输入y求x的值，本质上解指数方程2x=2a，引入对数式在该实际问题中没有体现出它的必要性.

笔者对该问题作如下改进：

教学片段一：

在会议室内，某种病菌在空气中的浓度为1ppm，若保持空间封闭，在某时间段内，每过一小时，病菌的浓度增加到原来的2倍.

问题1：请写成病菌的浓度y与时间x的函数关系？并指出是怎样的函数关系？

生：y=2x，是指数函数.

问题2：若病菌的浓度达到64ppm，对人体有伤害，若浓度达到100ppm，对人体伤害比较大，你能分别求出这2个时间节点？

生：令2x=64，2x=100，分别解出方程中的未知数x，即为对应的两个时间节点，即x=6，x=log2100.

问题3：在该问题中若已知病菌的浓度y，如何确定时间x？

生：x=log2y.

通过上述三个问题不难发现，每给定一个病菌浓度y，都会有唯一的时间x与之对应，那么这两个量之间存在着一种新的函数关系，这种函数关系就是我们这节课要学习的新的函数.

笔者改用病菌浓度问题来源于考试题的改编（当然素材的数据的科学性还值得商榷），也是教材问题的改编，由于浓度变化可以近似看做是一个随时间变化而连续变化的过程，避免了教材实际问题中两对应变量需要整数的条件限制（人教版教材注意到了该问题）.问题1的设计目的承接指数函数.问题2的设计是让学生感悟到已知浓度求时间这类问题的实际意义，而不是纯粹地“为了研究相反的问题”而进行研究，体现研究解决问题的价值所在.而问题3则把具体的问题推广到一般问题，回到了教材所设计的导入对数函数的环节.

教科书和教参凝聚着教材编写人员的心血和智慧，吸取了广大教师长期教学实践中探索的宝贵经验，教材编写会尽可能地考虑不同教学实际的需要，但这种努力肯定会受到很多限制.各不同版本教材编写过程中都可能会出现一些不足与失误.因此每一版本的教材都会有一个经过教学实践不断完善的过程.研读教材过程中，我们教师可以以审视者的眼光，善于发现教材内容和教学实际或者学生实际的差距，敢于找出教材的不足和缺憾，并进行修改、调整、重组，同时也为教材的修改完善积累实践素材.

三、以设计者视角，精心构思，精巧设计

研究对数函数图像，苏教版教材只提供了需研究2组函数和电脑excel作图的页面，教材叙述比较简洁.笔者如下设计：

教学片段二：

师：我们刚才学习了对数函数的概念，对这个新的函数的研究我们往往从哪些方面入手？

生：函数的图像、定义域、值域、奇偶性、单调性等.

师：首先我们研究对数函数的图像，你想用什么方法？

生：通过列表，描点，连线作图.

师：对于对数函数y=logax，你准备研究哪个函数？

师（追问）：为什么你要研究这两个函数？

生：受指数函数y=ax研究时候取值的启发，取这2个数分别对应a＞1和0＜a＜1两种不同情况.

教师活动：巡视学生作图情况，并找出代表作品——图1和图2进行实物投影并请学生进行点评.

图1

图2

生：图1的问题是在（0，1）上没有图像，图2的问题在（0，1）上有图像，但是没有反应变化规律，或者说变化规律不清晰.

师（追问）：（0，1）上图像有什么特点？你怎么得到的？

活动：教师利用电脑excel作图，展示函数精确图像，与学生作图进行对比，学生修正自己作图.

作对数函数的图像的是本节课教学的重点，课堂中通过类比指数函数的研究，得出需研究的具体函数.而函数的图像固然可以利用现代教育技术电脑作图，但是这样做学生缺少自己的体验，特别是函数图像在无限靠近y轴这一难点上，如果电脑取值作图就回避掉了.而通过学生操作以后教师选取代表性问题的图像用实物投影展示，通过师生之间、生生之间的交流，让学生体会到怎样合理地取值描点，才能得到正确的对数函数的图像.课标中明确“能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象”，但这并不代表可以通过电脑把图像直接灌输给学生，在学生动手实践操作基础上，再借助计算器或计算机作图对学生准确规范的作出函数图像应该更有意义.

教材是一种文本化材料，教材的设计有简洁抽象的特点，而课堂是具体的、生动的，教师在应用教材时要对之进行具体化、程序化、动态化的更新、调整、补充、重组，从而达到教学设计的优化.教师在过程设计时必须对相关问题进行思考，如学生已具有的哪些个人知识、直接经验、生活实践可以作为课程资源；学生需要按照哪种进程进行学习更易接受；教材加工后对学生哪些能力培养是有益的；教材二次开发后知识的前后联系是否紧凑；能否反映教材所涉及的要素及所暗含的目标等.对这些问题的深层思考是用好教材、用活教材的前提.

四、以组织者视角，优化组合，合理构建

对数函数性质的研究，苏教版教材中是这样处理的：观察两组函像，寻找它们的关系，得出它们关于直线y=x对称的关系，通过直观观察对数函数图像以及对照指数函数性质，让学生发现相应的对数函数性质.

该处理以反函数为暗线在进行组织串联内容，而新课程标准对反函数要求作了较大调整，它的要求是“知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0，a≠1）”；“反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般的讨论形式化的反函数定义”.笔者考虑对自己任教的学生而言，如果完全按教材设计组织教学，由于没有反函数的相关知识，从学生学习的角度考虑容易产生这样的困惑：研究对数函数图像与性质，为什么要和指数函数进行对比研究，而不是从函数自身入手进行研究？而且既然进行对比研究，但又没有得出相关的结论，这样处理显得比较突兀，不自然.而两函数图像关于直线y=x对称的性质，是否能够作为结论探索、研究一个新函数？这样处理是否有超越课标“解释和直观理解”要求之嫌？

参考人教A版教材，笔者作如下组织：

教学片段三：

师：刚才我们作了具体的对数函数的图像，你能说说对数函数有怎样的一些性质？

学生回答了对数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等.

师：你还能发现对数函数有它自己独特的其他方面的性质吗？

生：函数图像的定点、渐近线、函数值的正负分类等.

学生活动1：当a＞1时，y=log2x，y=log3x的图像有什么样的变化和规律呢？请学生在坐标纸上同一个坐标系内画出这两个函数的图像并加以比较，得出规律.当0＜a＜1，类比得出结论.

归纳完成下列表格：

y = l o gax图像定义域值域奇偶性定点单调性其他性质

学生活动2：分两个组在坐标纸上同一坐标系内再次画出函数y=2x，y=log2x的图像像加以比较，并观察出指数函数和它相对应的对数函数图像对称关系和性质对应关系.

笔者组织教学中，通过学生作图观察对数函数图像，得出其性质.在理解指、对数函数概念，熟悉指、对数函数性质的基础上，再让学生探索指、对数图像与性质之间的关系，这样既做到把指、对数函数的学习整合起来，做到由此及彼、融会贯通，又比较顺畅地感悟两种函数定义、图像、性质之间的对应关系，这样做是对反函数“以具体函数为例进行解释和直观理解”，比较自然的构建知识体系.

教师在组织教学过程时，教学过程和活动的设计、编排必须以课程标准和教科书为依据，根据自己所教授学生的具体情况，不必完全拘泥于教科书知识点的体例结构和编排顺序，根据学生实际，前后知识的联系，参考其他版本的数学教材，精心构思合理构建，真正做到教学内容的有效确定，让教学过程能够发挥学生学习的主动性，加深学生对知识的认识和理解，使学生的学习过程在教师的引导和启发下成为再创造的过程，学会数学地思考问题.

五、以命题者视角，悉心研究，遴选习题

苏教版教材上对应内容的例题安排了两大题共5个小题.

例1求下列函数的定义域：

（1）y=log0.2（4-x）；

例2比较下列每组数的大小：

（1）log23.4，log23.8；

（2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）log75，log67.

笔者在教学过程中，增加了一组练习：

练习1：1.下列函数是对数函数的是_________.

（1）y=log2（x-2）;（2）y=log6x;（3）y=logx3;（4）y=log2x+1.

2.若函数y=（a2-7a+7）logax为对数函数，则a的取值是_________.

变式训练：已知函数f（x）=lg（kx2+4x+3）的定义域为R，则k的取值范围为__________.

笔者在例2中增加了两个题目：（4）1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；（5）（lgm）1.9，（lgm）2.1（m＞1）.

教材每一道例题都有一定的教学目标，其背后都蕴涵着特定的意图.例1，求函数的定义域，教材例题简单明了，避免人为编造的复杂形式的问题；例2比较大小问题，本质上是合理构造函数，利用函数单调性的解决问题.毋庸讳言，教材例题量还是略少，而且都是偏基础性的要求，如求定义域问题，本质上解一元一次不等式，初中及函数概念学习中训练过类似问题，比较大小有指数大小比较做为基础，构造法比较容易迁移得到.由此教学中结合学生掌握情况适当进行拓展变式还是必要的，苏教版教材中练习题也是分“感受理解”、“思考运用”、“研究拓展”三个不同层次.笔者增加了练习1作为对数函数概念理解的补充巩固，避免了概念教学单纯“一个概念，三项注意”的做法.例1设置（3）的目的是利用函数单调性解不等式，变式训练则是定义域问题的拓展；例2设置（4）的目的是两个数比较大小时合理选择第三数作为参照数进行比较，特别是选取特殊数0，1加以判断，（5）则是分类讨论这数学思想的简单渗透.

课堂教学中，对学生进行有目的、有计划、形式多样、层次不一、角度多变的习题训练，是学生掌握知识、发展思维、提高能力的必由之路.例习题也有不同层次的要求与目标，例题习题的选取，并不是简单的教材或者资料习题的复制，而要求我们研究教材和考试说明以试卷命题者的眼光，分析教材的例、习题，把握并研究练习题的层次和功能，弄清在例、习题中哪些是基本题，哪些是变式题，哪些是综合题，哪些是发展题，哪些又是开放题以及思考题等.推敲每一层次甚至每道练习题的设计目的和要求.教师要学会根据习题的表述形式、蕴涵方法、知识联系、转化运用等方面对剖析与筛选，真正做到精选、精讲、精炼，把课堂教学效益最大化.

现行的教材内容，都是以数学课程标准的基本理念和所规定的教学内容为依据.一方面在努力体现新的教材观、教学观和学习观，同时注意采用措施的可行性，使教材具有创新、实用、开放的特点.另一方面注意处理好继承与发展的关系，既注意反映数学教学改革的新理念，又注意保持我国传统数学教学教育的优良传统，使教材具有基础性、丰富性和发展性.作为一线教师的我们应该深入到教材中，以用教材教的理念，发挥教材的教育功能，以教材内容构建基本的教学内容；研究教材，理解教材、审视教材，发现教材的“教学点”，把教材内容转化成有利于学生学习和理解的教学内容.同时要放眼教材之外，合理开发教学资源，在认真分析教材内容所要实现的课程目标的基础上，紧密联系当前的社会实践和学生的生活经验，选择具体的教学素材，对教学内容进行必要的调整，真正地用好教材.

参考书目：

1.王华民，徐科，周德明.关于解读教材中目标定位的一点思考［J］.中学数学教学参考（上），2012（4）.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.石树伟.教科书研读：入乎其内，出乎其外［J］.中学数学教学参考（中），2015（9）.G