潜心教学研究实现专业成长*——例析提升数学教师教学水平的心路历程

☉淮北师范大学数学科学学院张昆

潜心教学研究实现专业成长*
——例析提升数学教师教学水平的心路历程

☉淮北师范大学数学科学学院张昆

笔者的教师专业成长背景比较特殊，中师毕业，教过小学语文、初中数学、高中数学.在中师读书时，侧重于语文学习（爱好文学）；在数学教学时，对于进入课程的数学知识基本上无师自通，认识与理解知识都几乎是在教学实践活动过程中琢磨而来的.这些背景力量的作用，在数学教学时，对每一个较难把握的知识点总是运用自己的（可能更接近于学生的）理解方式与思考途径加以思索、实践与检验，从自己的探究中发生认识的，由此，结合数学知识结构的组成环节及其联接中介，就更容易理解学生发生数学认识、掌握数学知识时的心理活动环节及其过渡性中介，从而为这两者的有效整合创造了比较好的条件.

一、几个课例

课例1正弦定理教学：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

师：图1是一个三角不相等、三边也不相等的三角形.大家观察，这三个角分别与它们的对边具有怎样的大小关系？

生众：大角对大边；或者，大边对大角

师：就是说，如图1，当A＜B＜C①时，就有a＜b＜c②，反之亦然；换言之，在同一个三角形中，①与②形成了一种相互依存的“掎角之势”.

图1

师：①与②的这种“掎角之势”只是一种定性的结论.但是，数学具有对定性研究的方法加以准确刻画的手段，更强调定量研究的方法.大家看，对于①与②两个相互关联的不等式，可定量地刻画它们吗？

生1：由可能具有不等式①、②这样的角与它们各自的对边对应成比例的定量关系，③成立，角采用弧度制单位.

师：生1同学提出了非常好的猜想.比例式③是否成立？

生2：不成立.对此只需取具有π的直角三角形进行

6检验，就可否定比例式③.

师：可以改进比例式③的形式吗？

生3：我们对比例式③的分子中的三个角分别取正弦、余弦与正切的运算来试探，此时，比例式③转化为⑥，检验三者中是否存在真命题（余下的检验环节已经较为简单，略；证明过程略）.

课例2高中函数定义教学：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）（x∈A｝叫函数的值域（range）.［2］

师：某加油站经理需要知道油罐桶中的存油量（图2中阴影部分的体积V），如何获得？

图2

生1：通过数学计算得到答案.

师：假定这个油罐桶是一个柱体，它的纵截面是圆，这个圆的半径为r，柱体的长为d.如何求出体积V？

生2：油量的变化取决于竖截圆面的阴影弓形面积变化，而弓形面积主要决定于这个弓形高的变化.因此，只要测得弓形高就可以达到目的.

师：生2的想法其实就是将不容易测量的油料体积V转化为易于测量的弓形高h（如图3），从而，利用弓形高来推知油料的体积V.这其实是建立了一种“对应”关系：有一个弓形高h就会产生一个油料的体积V.

图3

师：这种分析中隐含了一种一般性的解决问题的思想：当面临一个难于测量得到结果的问题（体积V），常常将其转化为一个易于测量得到结果的问题（弓形高h），它的条件是，这两个量之间具有一种换算关系：“对应”.

师：将这种思想一般化，就是在两个数集中，一个数集（一般是实数集，相关性质已经理解）中的元素形成的关系与性质容易取得，而另一个数集中的元素的关系与性质难以取得，如果建立这两个数集之间的一种“对应”关系，那么，就可以用容易取得的数集中元素的关系或性质去推测不容易取得数集中元素的关系或性质.这就是今天所要研究的函数概念的核心思想的要旨（板书函数定义略）.

课例3高中习题教学：设数列{an}的通项an=②，Sn是{an}的前n项和，比较3Sn③与logabn+1④的大小.

师：由要实现的问题结论，我们猜想，③式与④式存在不等关系的可能性非常大.那么，与其对立的命题是，③式与④式可以变得相等吗？

生1：可以.将③式的数量值放大或缩小得到④式，从理论上说这种目的可以实现.

师：那么，如何放缩才能将③式转化为④式？

生2：我们想方设法对③式中的Sn的构成要素an=③式太复杂，而④式太简单，找不到沟通两者的途径，……

师：如何检验生3的想法？

课例4数轴定义教学：规定了原点、正方向与单位长度的直线叫数轴.

师：有理数的组成：负有理数；零；正有理数（板书）.可用一直线上的点表示有理数吗？

生1：负数、正数无限多，零只一个，在直线MN上任取一点O表示零（如图4）.

图4

师：如此，点O将直线MN分成三部分，自身表示0，称为“原点”.于是，负数、正数分别由射线OM、ON（除了端点O）上的点来表示.哪条射线上的点表示负数，哪条射线上的点表示正数呢（学生发现许多方案）？

师：哪种更简单、更方便、更实用？生2：用箭头！

师：在图4的直线MN上，画箭头（如图5）.规定，用具有箭头的射线上的点表示正数，反之，表示负数.称箭头为“正方向”.

图5

师：在图6中如何表示有理数+2？（两个同学选择不同的点A、B，都声称要表示+2）

图6

图7

师：哪一个才是真正表示+2的点？（学生决定用一把“尺子”来裁决，以原点O为起点，在具有正方向的那条射线上依次量两尺，规定“尺子”落脚的终点C表示+2.如图7）

师：“尺子”是一个度量长度的“单位”，称之为“单位长度”（板书数轴定义略）.［4］

课例5初中习题教学：已知，如图8，在△ABC中，∠DAC＝∠B.求证：∠ADC＝∠BAC.

图8

二、课例设计的心路历程

师：用记号标识结论中出现的两个角.

师：图8中，要证明∠ADC＝∠BAC，由于∠BAC被线段AD分割开来，出现了图形重叠，影响思路的发现，怎样处置？

有目的地选择学生生成的材料：首先，把图8中的△ADC平移出来，得到图9和图10；其次，根据已知∠DAC＝∠ABC①和要证明的结论∠ADC＝∠BAC②，把图9放置成图10的形态.

图9

图11

图10

师：比较图10和图11中的这两个三角形之间的角的关系，你们看：

已知条件是∠DAC＝∠ABC①；

所求结论是∠ADC＝∠BAC②；

还有公共角∠DCA＝∠ACB③.

这些等式中，①、③成立，能得出②成立吗？

生1：应该用“三角形的内角和等于180°”，……

生2：三个等式左边都是△DAC的三个角，右边都是△ABC的三个角.我们把这三个式子左、右两边各自相加就得到了两个三角形的内角和了，其计算结果都等于180°，即∠DAC＋∠ADC＋∠DCA＝180°，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，……

生3：∠DAC＋∠ADC＋∠DCA＝∠ABC＋∠BAC＋∠ACB④，我们只要将④式的左右两边都减去①式与③式的左右两边，就能判断结论②式成立（证明略）.［5］

集三十余年教学的成功经验与失败教训，使笔者认识到：教师专业发展的重要体现就是首先必须要站好讲台，实现教学发生有效性.因此，理解知识、理解学生掌握知识的心理路径、理解知识与学生掌握知识心理路径的有效关联是教师需要第一位解决的问题，它最有效的途径就是依靠自己的教学实践，在通过对教学实践的反思中重构教学内容、加深理解学生掌握知识的心理路径，基于此，将教育理论渗透进自己的教学实践，有效整合教育理论与教学实践，因此，教学实践在教师的专业发展中起着基础性的作用.可以这样说，离开了课堂教学实践及其对实践的反思，教师专业发展的目标是不可能实现的.

记得，笔者中师毕业后，刚刚站上讲台时，年仅18岁，两年小学语文教学活动，使笔者认识到将教师的语言儿童化，从而适应年幼学生的认知方式与话语水平组织教学活动非常重要.这种历练，生成了有价值的教学观念，为中学数学教学积累了有益的经验，并打下了扎实的教学行为基础.教学有效性的首要标志，是教师将要传授的知识转化为学生易于理解的语言在课堂上与学生进行讨论，只有如此，才能有效地刺激学生的思维活动，才能将思维动机聚焦于那个知识所形成的问题，才能激发学生的学习兴趣、产生学习动机，基于此，实现数学一系列的数学教学目标.

在进行数学教学活动时，笔者并没有从数学教学目标的体系演化为一般的教学设计与课堂教学行为活动过程，可能是由于自己的数学知识基本上是自学的缘故，笔者在学习中仔细地体悟知识点的微型结构形态与整个数学知识结构体系的关系，例如，课例2的高中函数定义，笔者经由相当长时间的实践产生的理解：一方面，它是高中的第一重要的核心知识，因为抽象函数与后面所要学习的具体函数（具体是指数函数、对数函数、幂函数、方程的零点，后来要学习的三角函数、学习概率时的随机变量函数等）的基础中的基础，在这些具体函数中，都是采用以实数（或其子集）作为自变量，来推测这些具体函数的性质的，由于实数本身的性质我们已经具有非常透彻的理解了，因此，它的教学的重要目标之一，就是启发学生理解运用实数来推测这些具体函数的性质，从而将“未知（具体形态函数的性质）”转化为“已知（实数的性质）”，达到使用“已知”驾驭“未知”的目的；另一方面，对函数定义知识点结构自身的理解，函数定义的核心思想是“对应”，由前者的分析知道，“对应”具有哲学方法论的价值，这是因为，主体总是需要运用“已知”推测“未知”，驾驭“未知”，那就必然要在“未知”与“已知”之间建立联系，函数定义中的“对应”就是这种联系的突出体现.经由如此理解，使笔者认识到，在教学中需要教师选择合适的材料，体现函数知识点的这种核心思想，这就需要典型环境中的典型事件，课例2中笔者选择了“油罐桶”来体现它，教学活动的实践过程证实了它产生了很好的课堂效果.

由此，笔者认识到了在理解知识与学生掌握知识的心理路径及其两者关联的建构极其重要，教学有效性的实现，既需要完善的教学理念，也需要精湛的教学技艺.我们知道，尽管数学知识的客观形态具有科学的确定性，但是作为掌握数学知识的学生主体的心理活动却是丰富的、复杂的，并不是把这种确定的结构性知识形态直接投射到学生的意识结构中，因此，教师理解与把握学生掌握具有某种特定结构数学知识的心理路径，才能真正地使无生命气息的僵死的数学知识灌注生命活力，使这种生命活力与学生活的、动态的思维活力相碰撞、相对接，于是，学生的学习如鱼得水，如虎添翼.如此，才能真正地得到落实数学课程资源的教学目标，发挥数学的教育价值.笔者所设计的这些课例，都是侧重于理解学生掌握知识的心理途径的较为深刻而得到的.

笔者曾经使用了“心理换位”概念表达这种理念.所谓“心理换位”，就是教师在教学设计时，设身处地地站在学生的心理立场上，模仿学生的心理过程去整理信息、探寻问题、生成知识.教师把自己设想成学生，体会学生已经掌握的知识，思考问题的能力，心理活动经验等.教师要将自己在学习这一知识之后获得的东西（数学知识、思维能力与经验等）假想成一无所知，以此来揣摩学生知识生成过程.如此，教师就会深切体会学生在学习数学知识时，那种深陷重围的痛楚，举步维艰的困惑，欲行又止的难局，形成同情学生、为学生着想的意念，从而全心全意地为学生服务，使一切为了学生发展的目标，通过一切依靠学生自己努力的途径来实现.［6］

在笔者的课堂教学活动中，经常出现这样的情况：尽管在课前准备中，自己特别重视分析知识与学生掌握知识的心理路径及其两者的整合，经由此已经准备了非常详尽的知识发生的过程（往往不只是一条路径），例如，笔者清楚地记得，课例1、课例3、课例4与课例5，这些理解与掌握知识的比较困难的方法已经了如指掌、发生知识思路的启转承合的环节都是在自己的心目中非常清晰，然而，每当笔者带着备课笔记来到班级、面对嗷嗷待哺的学生群体时，这些准备好的东西都似乎立即从自己的大脑中隐退了，笔者面对的是仿佛第一次见到的完全陌生的教学内容，于是，又重新依据那些原始的材料与学生一起一步一步地探究发现由这个问题产生结论的过程.

笔者“心理换位”达到如此境界，就自己的经验来说，是长期不懈地分析知识、分析掌握知识的心理途径及其这两者的整合的教学活动过程，并加以实践与反思，从完善教学理念到安置教学细节，不放过任何一个有利于学生掌握知识心理活动的细微之处息息相关的.如此，使一般教师需要意志介入的与学生进行“心理换位”的过程，转化成了自觉的、不需要提醒的带领学生探究掌握知识的活动过程.这就是为什么面对学生时，自己所精心备课的内容都几乎完全忘记了的原因，从而，从根本上克服了这种教师在课堂上“满堂灌”的人性的弱点.这种教学行为的养成与完善为优化教学活动提供了极具价值的启发作用.

三、课例对一般数学教师的启示

当一位教师真心诚意地为学生着想的时候，他对自己的教学结果（特别是失败的部分）极其敏感.当出现不如意的情况时，他会就教学内容与学生在课堂上的表现，思考什么地方出了问题，要对知识、知识发生的现场与自己已经实施了的教学意旨、展现立意的表达手段、课堂上自己的实施行为都如同“过电影”一样地再次闪现，寻求出现失败的原因.如此，通过教学反思，优化教学活动，这些在教学实践中实现专业成长是一条合适的途径，是教师进行教学研究的题材、方法的主要来源.给一般数学教师的启示可以归纳为：

1.分析知识

教学知识具有双重性，既是教学的终点，又是教学的起点.如果只是设定以知识为教学的终点，那么，只要将这种现成的作为终点的知识通过训练记忆下来，再进行相应的运用就行了（现在许多高三数学教师就是如此进行教学的）.因此，教师应该将悬置这种作为目标终点的知识，将其转化为引导学生探究活动的起点，依据知识结构的内在环节及其联结中介，引导学生探究，设计合适的教学过程，将其投射到学生的心理层面上去，启发学生有效构建知识的心理环节及其过渡性中介，进而完成从心理起点到作为目标的终点的知识的认识过程.课例2与课例3就是比较好的体现.

2.分析学情

依据分析知识所获得的结果，分析学情是将知识环节及其联接中介投射到教学相对应的心理环节及其过渡性中介的层面上去的重要环节，它重在分析学生的数学认知结构，针对知识生成的思维活动的运行序列展开，适应学生的心理需求，采用不断地发现问题、提出问题、研究问题、转化问题、解决问题的多轮循环的方式达到目的.由分析学生学习数学的心理过程，我们发现，知识总是被（学生）应用的，知识只有经过数学观念的负载，才能见之于行动，因此，只有经过缜密地分析学情，教师才能在教学现场活动中，取得主动与主导地位.课例1与课例4就是比较好的体现.

3.分析知识与学情的关联

它取决于教师对两个体系的把握：数学知识结构体系与学生发生知识的心理环节体系，教师必须具备有效分析这两者的基本能力，才能在这两个体系中建立某种自然的关系.前者是基础，后者对前者具有一定程度的依赖性.教师只有充分把握所要传授的数学知识结构环节，经由“心理换位”，利用自己的知识发生过程的启示，揣摩学生知识发生的心理环节并加以模拟，从而，选择出关联知识环节与心理环节的切入点及其延伸，从而帮助学生发生知识.因此，教师分析知识结构的能力与水平是优化数学教学设计的前提与基础，依据知识环节，悉心搜寻从知识环节过渡到学生心理环节的某些线索，模拟学生生成知识环节的学生心理环节及其过渡性中介的“接力”序列，设计合适的教学情境，使知识环节自自然而然地与学生的心理环节统一起来.

4.反思意识

教学反思是教师以自己的教学活动过程及其结果为对象，审视与分析教学实践中信守的理念、使用的语言、做出的行动及其产生的结果的思考活动.反思的完整环节就是自我观照、自我觉察乃至于自我责问、自我改变的过程.我们所举的几个课例都是通过反思笔者教学行为及其结果，吸取已经实践了教学活动的经验，特别是借鉴它的教训，渗透在学习中所获得的教育理论，重新设计而成的.如课例4及其分析过程.如果没有对教学行为的反思，就不会加深对知识性质的认识，更加准确细微地获得学生掌握知识时的心理环节及其过渡性中介，从而，教学活动可能原地踏步地低级重复.反思的意义在于，只有通过反思才能充分地发挥先进的教学理念对教师行为的指导作用，才能把潜意识的优良行为活动纳入显意识活动的轨道.教师必须养成反思的习惯，应该不断地对自己的教学活动进行反思，不断地解剖自己，不断地责问自己，不断地搜寻隐藏在自己教学活动后面的观念和思想（成功与失败两个方面），不断地对自己的教学行为做出自我评价，并在批判的基础上进行建构与重建.［7］其实，笔者的每一个具有创意的教学设计无不是长期反思的结果.

四、简要结语

促进数学教师发展，实现数学教师的专业成长，提升数学教学水平的最重要的途径在于要悉心分析数学知识点的构成环节及其联结中介，分析学生发生数学知识的心理环节及其过渡性中介，在这两者的关联中找到合适的途径进行课堂教学.由笔者的切身经历可知，长期不懈地潜心教学研究，通过分析进入基础教育课程标准中的数学知识，分析学生掌握知识的心理途径，设计课堂现场教学的情境，可以达到提升教学设计与在课堂教学中调整设计好的程序的实践智慧与能力，实现专业成长的目的.因此，长期不懈地潜心教学研究是实现数学教师专业成长的一条最为有效的途径.

1.刘绍学，主编.普通高中课程标准实验教科书·必修5［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.刘绍学，主编.普通高中课程标准实验教科书·必修1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.张昆.数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点［J］.数学教育学报，2015（5）.

4.张昆.同课复构：提升教学设计水平的重要途径——以“数轴的定义”教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2014（11）.

5.张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究［J］.中国教育学刊，2011（6）.

6.张昆.高考答卷惜时如金：问题与出路［J］.数学通报，2011（1）.

7.张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径［J］.数学教育学报，2015（1）.F

全国教育科学“十二五”规划教育部重点课题——师范生从教能力模块训练与集成训练的研究与实验（DIA110278）.