关于KdV睟urgers睰uramoto方程的精确亚纯固定解

傅懋准

[摘要]寻找非线性方程的精确解是近年来非线性科学研究的一个基本课题，在这篇文章中，我们研究形如 ωu′+kνuu′+k2αu″+k3μu+k4γu″″=0 的一个常微分方程，作为KdVBurgersKuramoto方程的一个特殊形式，我们将在本文精确地求解出这条方程的精确亚纯解，最后对这些解进行计算机模拟。

[关键词]微分方程；精确解；亚纯函数；椭圆函数

1。引 言

关于KdVBurgersKuramoto方程是[2，3]ut+νuux+μuxxx+αuxx+γuxxxx=0，（1。1）

这里的u，γ，υ，α都是常数。这条方程是在许多不同的物理环境中产生的一个重要的数学模型，是用来对许多物理现象的描述，许多方法已经应用于构造KdVBurgersKuramoto方程的精确解。在2010年，Conte R和TuenWai N[5]已经对三阶非线性微分方程的亚纯通解进行的归纳，并且证明了此类方程有亚纯解u，u∈W，W={椭圆函数，有理函数，增长级为1的单周期函数}。这条方程是

d0u′′′+d1uu′′+d2u′2+d3u2u′+d4u4+c1u′′+c2uu′+c3u3+c4u′+c5u2+c6u+c7=0。（1。2）

所有的三阶方程基本都可以由方程（1。2）变化系数而得到。下面我们对方程（1。1）进行行波变换u=u（η），η=kx+ωt，那么可变为 ωu′+kνuu′+k2αu″+k3μu+k4γu″″=0。（1。3）

不失一般性，我们可以假设 kυ=120，k4γ=1，通过变换u→Tu，T=4120γ14υ，积分一次可以得到方程u+k3μu″+k2αu′+ωu′+60u2=c，（1。4）

这里的c∈

瘙 綇 。本文将在第二部分介绍一种方法来表示亚纯解以及相关知识，第三部分将求解方程（1。4）的亚纯精确解，最后将对这条方程的解进行计算机模拟。

2。方法应用

在2011年，Kudryashov N A[4]引入了一个方法来寻找非线性常微分方程E[u（z）]=0的亚纯解，记E[u（z）]是关于u（z）和它的导数的一个多项式，对于方程E[u（z）]=0。极点z=0有相对应的洛朗展开式为：u（z）=∑Pk=1c-kzk+∑∞k=0ckzk，0<|z|<εi，（2。1）

这里P>0是极点的重数。方程（2。1）的亚纯解可以表示成下面的引理。

引理2。1 方程E[u（z）]=0。的亚纯解的形式为

（1）周期为2ω1，2ω2的椭圆函数为：u（z）=∑Pk=2-1kc-kk-1！dk-2dzk-2 （z，2ω1，2ω2）+h0，（2。2）

椭圆函数解存在的必要条件为c-1=0。

（2）周期为T的单周期函数为： u（z）=πT∑Pk=1-1k-1c-kk-1！dk-1dzk-1cotπzT+h0。（2。3）

（3）有理函数解为： u（z）=∑Pk=1c-kzk+c0，（2。4）

这里的h0，c0是一个常数。

定义2。2 [1]设E（z，u）=0是一个n阶的代数微分方程，假设u（z）=∑+∞n=0un（z-z0）n+p

（u0≠0，p<0，p∈Ζ）是方程的一个亚纯解，将u（z）代入方程，我们可以得到形如E=∑+∞j=0Ejχj+q=0，q是最小的整数，p和q是由方程的某些项来控制，这些项称为控制项，记为E∧（z，u）。对任意的v，E∧（z，u）关于u的导数 E′∧（z，u）v=limλ→0E′∧（z，u+λv）-E′∧（z，u）λ，方程P（i）=limχ→0χ-i-qE′∧（x，u0χp）χi+p=0的根我们称为方程E（z，u）=0的Fuchs指数。

3。亚纯解的表示

设u是方程（1。4）的亚纯解，利用定义2。2的方法我们可以计算出p=-3，u0=1，更计算出它的Fuchs指数是P（i）=-1，132-12i71，132+12i71，因不存在非负整数的Fuchs指数，那么它的洛朗展开式可以唯一确定，首先求出单周期函数解，根据根据引理2。1的单周期函数解的表达形式以及利用数学软件maple的各个系数的计算，可以得到方程（1。4）单周期函数解的洛朗展开式可以写成

u（z）=-1608πTcotπTz-z0k6μ2+138πTcotπT（z-z0）k2α-18πTcotπTz-z03k3μ+L32cotπT（z-z0）+L32cotπTz-z03-1372960k9μ3+79120k5αμ-1120ω，

T=13-3608k6μ2+338k2α29231040k8αμ2-1186640k4α2-1315544960k12μ4π，（3。1）

现在构建方程（1。4）的有理函数解，根据引理2。1，由u0=1，有理函数解最多在复平面最多有一个极点，由于p=-3，因此可得到 u（z）=u0z3+u1z2+u2z+∑mk=0hkzk。（3。2）

把方程（3。2）代入方程（1。3）可以得到有理函数解所相应的式子为

u（z）=1z-z03+-18k3μz-z02+-1608k6μ2+138k2αz-z0-1372960k9μ3+79120k5αμ-1120ω+h0，z0∈C。（3。3）

由于式子（2。2）不能成立，所以方程（1。3）不存在椭圆函数解。

4计算机模拟

在这一部分，将给出计算机模拟来说明主要结果，这里将简单的用单周期解u（z）来计算机模拟出下面的两个图表，对于等式（3。1）的一些解可有：

1。当k=1，μ=1，α=1，z0=0，T=2013915846π，见表（1）。

2。当k=1，μ=1，α=-1，z0=0，T=41531i4945130π，见表（2）。

表1

表2

5。总 结

在本文中，提出了一种方法构建自治非线性微分方程的精确解，通过系数的计算使得方程能得出表达式，更用计算机把解模拟出来，这种方法考虑了结构精确解的奇异性，最终，我们已经获得了亚纯解的一般形式广泛的自治非线性常微分方程。

[参考文献]

[1]Wu C F。Exact Meromorphic Stationary Solutions of the CubicQuintic SwiftHohenberg Equation[J]。分析， 理论与应用 （英文版， 2014（1））。

[2]Kuramoto Y， Tsuzuki T。Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium[J]。Progress of theoretical physics， 1976， 55（2）： 356-369。

[3]Kawahara T， Tanaka M。Interactions of traveling fronts： an exact solution of a nonlinear diffusion equation[J]。Physics Letters A， 1983， 97（8）： 311-314。

[4]Demina M V， Kudryashov N A。Explicit expressions for meromorphic solutions of autonomous nonlinear ordinary differential equations[J]。Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2011， 16（3）： 1127-1134。

[5]Conte R， TuenWai N。Meromorphic solutions of a third order nonlinear differential equation[J]。arXiv preprint arXiv：1002。1209， 2010。