一种通用的有理分式分解法

汤皓 魏雪娇

【摘 要】在高等数学中，常遇到求解有理函数（不）定积分、高阶导数、幂级数展开式的问题。除个别特殊情况外，它们都需要将有理函数分解为部分分式之和来解决。本文针对现有有理分式分解法所求得部分分式形式不统一及不适于高次分式分析的问题，提出一种将有理分式分解为部分分式的通用方法。在复数域用 变换和留数定理对此法进行证明，并给出它在有理分式积分中的应用。

【关键词】有理分式 部分分式 变换 留数定理

【Abstract】In higher mathematics， often encountered in solving rational function （not） integral， derivative， power series expansion problem. In addition to the particular circumstances， they all need to be decomposed into partial fraction of rational functions. To deal with the problem of disaccord in partial fractions and the limitation in higher degree fraction caused by the current method， an universal method of factoring rational fraction is proposed. Laplace transforms and residue theorem are used in its proof course， and its application in integration of rational fraction is put forward as an example.

【Key word】rational fraction； partial fractions； Laplace transforms； residue theorem

分解有理函数最常见的方法为待定系数法，但其步骤繁琐，计算量大，其余方法如赋值法、求导法、极限法等作为待定系数法的补充确有较好的应用。但以上方法所得部分分式的形式并不统一，这往往会影响到后续的计算，且它们并不适于有理函数分母为较高次幂多项式时的分析。另一方面，由于一次分式在所有分式函数中形式最简，且当分子为常数时，对其求导、求积、求幂级数展开式均相当容易。因此本文拟得到各项分子均为常数，分母均为一次因式的部分分式，并用复变函数积分变换的方法确定各项常数，此举将引入虚数，但部分分式的形式会变得统一，且不影响最终结果。