三角函数应试剖析与教学建议
2016-10-20郑勇林
郑勇林
摘 要 本文旨在研究新课标高中教材三角函数有关知识的应试心理以及通过实例剖析学生在解决三角函数相关问题时存在的问题，并做出相应教学建议。
关键词 三角函数 性质 变换 最值
中图分类号：G634.6 文献标识码：A
三角函数是高中数学的重点，在高考题中是较容易得分的考点，也是学生学习的一个难点，不仅公式多且在三角函数的变形过程中有一定的技巧性，如何发掘、灵活正确地运用这些技巧？本文分三个角度进行应试剖析并给出粗浅教学建议。
1基本概念公式牢固掌握
三角函数涉及知识点庞杂众多，那么要想真正领会其中的技巧，就要掌握实质，在教学中重视基础，避免偏题难题怪题，针对高考教学，有的放矢。
近几年高考，三角函数主要以简单的选择题和解答题形式出现，其中选择题主要考察三角函数的简易求值以及判断简单三角函数的周期和奇偶性，解答题主要考察三角函数与解三角形、三角函数与向量结合的综合应用。主要考察内容按综合难度分，有以下几个层次：
（1）通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
（2）三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
（3）充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。
例1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=.
（1）若b=4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值。
点评：以上两题主要考查同角三角函数公式，两角差的正弦，正弦定理、余弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。这是一道典型的三角形三角函数问题，那么解决此题先将其划分知识点：
（1）三角形△ABC内角A，B，C，马上想到知识点：角的变换；
（2）三角形△ABC内边分别为a，b，c，：边的变换。
2三角函数中的基本性质
（1）求定义域：实际上就是解最简单的三角不等式（组），一般可用三角函数图像或三角函数线来确定三角不等式的解。
（2）求值域（最值）
思路：通过三角变换化归为下列基本类型处理：
类型一：可化为y=Asin（ x+ ）+B型（常用二倍角公式、两角和与差公式或引入辅助角）。
类型二：y=asin2x+bsinx+c型，通过换元令t=sinx，化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间上的值域（最值）问题。（注意t的取值范围）。
（3）单调性、周期、对称轴及对称中心
关键：记住三角函数的图像，根据图象并结合整体代入的基本思想即可。
（4）平移后函数性质问题，讲解时要重点强调平移的要领，比如y=sin（2 +）的两种由y=sin 平移得到图像的方法的差异，教师要着重讲解并且强调“沿着x轴平移伸缩，那么平移伸缩的量只针对x变化”。
例2.已知函数f（x）=2sin2（+x） cos2x，x∈[，]，求f（x）的最值；
分析：本题是一道规范的三角函数化简求解基本性质题，解此类题目应正确引导及区分本题若更改成已知函数“f（x）=2sin2（+x） cos2x”时两者解答的不同之处。前者限定函数的定义域为非R，而后者为R，显然后者较简单。
3易错实例
上面谈及了当熟练掌握了三角函数基本知识以后便会形成相应的解题技巧，这种技巧在一定程度上缩减了解题的思考时间，对于高考和平时的做题也在某种程度上是有利的，当然也不排除有弊之处。下面为解题技巧下的易错实例：
例3.要得到函数y=cos2x的图像，只需要将函数y=-sin2x的图像向 移 单位
错解：（1）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+），向左平移个单位。
（2）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[2（-x+）]，所以向左平移个单位。
剖析：上面两种解法，都只注意到了“+”号，而忽略了“-”号的含义，虽然解法2考虑了的系数，但仍然没有理解“-”对函数变换的影响，从而产生错解。
正解：∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[-2（x ）]，所以向右平移个单位。
点评：克服思维定势带来的负迁移，帮助学生构建全面、准确的思维模式是提升学生学习能力的重要步骤，注意对知识的理解与应用。
三角函数是高中数学的基础，它可以与多重知识点相结合，如：函数图像与其它函数问题结合，平面向量问题，数列问题……，那么，如何解决难度较高，综合性较强的问题关键在于对于三角函数基础的掌握。
参考文献
[1] 人民教育出版社.普通高中数学课程标准实验教科书数学4（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007（2）.
[2] 冯忠良，等.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2010.
