如何求不可度量的物体宽度、长度、高度

2016-05-14赵金龙

理科考试研究·初中 2016年8期

赵金龙

全日制义务教育数学课程标准指出：数学与人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用.课程内容也包括数学结果的形成过程和数学思想方法.课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验.

下面结合教科书借助所学过的知识，就不可度量的物体宽度、长度、高度的求法作一探导.

方法一构造出两个全等的三角形，利用全等三角形的对应边相等的原理来求不可度量的距离.

例题1（人教版新课程八年级数学（上）P9例题）如图1，有一个池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？

理由：在△ABC和△DEC中，

CA=CD，

∠1=∠2，

CB=CE，所以△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE.

例题2（人教版新课程八年级数学（上）P13例题）如图2，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？

理由：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，

BC=CD，

∠ACB=∠ECD，

所以△ABC≌△EDC（ASA），

所以AB=DE.

方法二利用函数关系式来求出不可度量的高.

例题3（人教版新课程八年级数学（上）P76、练习T9改编）自由下落物体的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是h=4.9t2，如图3，有一物从楼顶上自由落下，它到达地面的时间为5秒，则此建筑物的高度是多少？

解h=4.9×52=4.9×25

=122.5（米）.

因此，此建筑物的高度为122.5米.

方法三构造出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例的原理来求不可度量的距离.

例题4（人教版新课程九年级数学（下）P49例题）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构造出两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图4，木杆EF长 m，它的影长为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.

解太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，

又因为∠AOB=∠DFE=90°，所以△ABO∽△DEF，

BOEF=OAFD，所以BO=OA·EFFD=201×23≈134 m.

因此金字塔的高约为134米.

例题5（人教版新课程九年级数学（下）P50例题）如图5，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ.

解因为∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，

所以△PQR∽△PST，PQPS=QRST，QPQP+45=6090，

解得PQ=90.因此河宽大约为90米.

方法四构造出直角三角形，利用直角三角形的三角函数关系来求不可度量的距离.

例题6（人教版新课程九年级数学（下）P92例题）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m）

解如图6所示，

α=30°，β=60°，AD=120，

因为tanα=BDAD，tanβ=CDAD，

所以BD=ADtanα=120tan30°

=120×33=403，

所以CD=ADtanβ=120tan60°=120×3=1203，

所以BC=BD+CD=403+1203=1603≈277.1.