借解法探命题

李俊芳

如果说：解题是执利予破坚盾的话，命题就是精制坚盾以御利予.做为命题者，总会在一份练习或试卷中，把自己研究中灵巧之处，智慧之处，充分展示出来，这些智慧的结晶，总会成为解题者的痛苦.往往命题者是老师或专家，而解题者是老师或学生，这是一场没有硝烟的战争！这场战争的过程虽然不会流血，更不会有牺牲，但惊心动魄程度却不亚于有硝烟的战争.做为一线教师，研究命题者命题的方式方法，利于解题，更利于教学.所谓知己知彼，方百战百胜.

问题实数x，y满足x≥y≥1和2x2-xy-7x+y+9=0，则x+y=.

方法探索

解析一直接转化成y=2x2-7x+9x-1，

再根据x≥y≥1，可得到x≥2x2-7x+9x-1≥1，

取前一个不等号，可得到x≥2x2-7x+9x-1，

于是有（x-3）2≤0，

而（x-3）2≥0，所以只有（x-3）2=0.

从而得到x=3，再得到y=3，所以x+y=6.

当然这个解法有漏洞，变形过程中忽视了x的取值范围：应分类讨论，

当x=1时，原方程变形为：4=0，显然不成立；

当x≠1时，把上面的分析过程整理成解题过程即可.

解析二解二元二次不定方程，通常会想到配方法；最理想的结果是形如（ax+b）2+（cy+d）2=0，然而尝试的结果是配方时缺少关键项：y2，这种方法是失败的.

重新梳理思路：鉴于没有y2项，因而所能得到的最好结果应该是形如

（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）=0，

或（ax+b）2+（cx+d）（ey+f）≤0.

应该能分析出结果，但这仅仅只是一个猜想，而且在这个式子中，必须由“+”连接，否则，所得的结果也未必能够真正解决问题.同学们尝试的时发现：

原方程2x2-xy-7x+y+9=0变式成：2（x-2）2-xy+x+y+1=0，

后四项中二次项xy的系数如果“+”，问题似乎就解决了；

就算是“+”，同样出现新的问题：2（x-2）2+xy+x+y+1=0，

可化成：2（x-2）2+（x+1）（y+1）=0，

很明显，根据x≥y≥1，方程的左边是大于0的，即这是无法成立的式子！

所以，这个想法也是失败的！这说明这种配方的方式不正确；同时也说明二次项不应该是-xy，那只能是“x2”了！这个失败乃成功之母的经验告诉我们：配方过程中“2x2”的2有文章可做！我们已经非常接近成功.

正解先变形为x2-6x+9+x2-xy-x+y=0易得（x-3）2+（x-1）（x-y）=0；结合x≥y≥1，方程左边（x-3）2≥0且（x-1）（x-y）≥0，其和为0，回归“非负数之和为0”问题，于是x=y=3，求得：x+y=6.

命题研究“非负数”即不是负数的数，包括正数和0，其最小值是0.当几个非负数之和为0时，如果非负数有不取0的数，其结果均不可能是0，所以每个加数必为0！这就数学中一个重要结论：“非负数之和为0，则各个非负数皆0”.因其内容广博，涉及数与式的偶次方、绝对值、偶次算术根、整式运算、因式分解、分式运算等代数知识，可以检测学生的综合分析和处理数据能力，所以在代数领域中有其独特的魅力，是数学命题中一个重要内容.主要有以下几种常见形式：

偶次方型：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）=0，

绝对值型：

|x1-a1|+|x2-a2|+…+|xn-an|=0，

偶次根式型：

x1-a1+x2-a2+…+xn-an=0，

无一例外，结果都是xi=ai，其中i=1，2，3，…，n.以这些基本模型，可以派生出多种新的有价值的问题、方法，借助“非负数之和为0，则各个非负数皆0”这一模型，命题通常采用倒装式.试举两例如下：

命题举例一令x=2，y=3

x-2=0，y-3=0

（x-2）2+（y-3）2=0

x2-4x+y2-6y+13=0，

这样展示出以下从易到难的问题：

可设置的问题：

1.①对于实数x，若（x-2）2=0成立，则x的值是.

②对于实数y，若（y-3）2=0成立，则y的值是.

2.对于实数x、y，关系式（x-2）2+（y-3）2=0成立，则x+y的值是.

命题变式1：对于实数x、y，关系式x2-4x+y2-6y+13=0成立，求x+y的值.

命题变式2：对于实数x、y，关系式x2+y2+13=4x+6y成立，求x+y的值.

命题变式3：对于实数x、y，关系式x2+y2+13=4x+6y成立，求yx（或xy）的平方根.

命题说明：

变式1，命题的基本思路，考验学生对完全平方公式的掌握程度；相对于原问题，对于刚刚学过完全平方公式的七年级学生，要通过配方，得到原问题，需要把13裂项成为4+9，是有一定难度的，主要目的是让学生获得解决这种问题的经验：对于二元二次方程，主要思路是希望通过配方成“非负数之和为0”问题.

变式2，命题思路，再次设置梯度，相对于变式1，虽然只是进行了移项变形，但对学生的思维提出了新的要求，难度再次升高.

变式3，除了对已知进行了变形，还对所求的结论要求提高：即出现了学生不熟悉的yx型，这也是学生很不喜欢的类型，所以带给学生的压力还会来自心理上！

混搭型：

先看一个问题：

已知：三个实数a、b、c满足a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8，求abc的平方根.

它的编制过程是把平方基本型简化：

（x1-a1）2+（x2-a2）2+…+（xn-an）2=0，

其中n=3，且（x1-1）2+（x2-2）2+（x3-3）2=0，

再令：x1=a-1，x2=b-2，x3=c-3，

就得到：

（a-1-1）2+（b-2-2）2+（c-3-3）2=0；

再打开平方，移项，就会得到：

a+b+c=2a-1+4b-2+6c-3+8.

解法过程不言而明.

其实，这种“倒装式”编制题目的方式，我们老师并不陌生，再回归原问题解析2，探究原问题的编制方法，不难发现，或用这种方式编制出“一模一样”的题目：

对于实数x、y，对于（x-a1）2+（x-y）（y-a2）=a3，可以命制出下面的问题：

1.当a3=0时，赋予a1、a2以常量，并限定x、y的条件，即可编制成一个问题；

2.当a3≠0时，赋予a1、a2以常量，并限定x、y的条件，即可编制成一个求不定方程整数解的问题.

再设置一定的门槛，还可以编制出原问题的姊妹题.

3.还可进一步增加难度：对于实数x、y，对于（b1x-a1）2+（x-y）（b2y-a2）=a3，赋予b1、b2、a1、a2、a3以常量，并限定x、y的条件，可制作成与x、y相关的不定方程题.

当然，对教师来说，编制问题并不容易，对学生来说，解决问题也不容易.所以要经过数番磨练才能窥得一斑.在现在的教学中，我们老师对命题的方式方法上的收获，应该和学生一起来探讨，学生的解决问题的能力也会随之变强.