“SSA”全等条件的深度探究

陈月红

学习完《全等三角形》一章我们可以对“两个三角形至少需要具备多少条件时，才能说两个三角形全等呢？”这个问题给予明确的回答，判定两个三角形全等的条件至少需要三个，可以是基本事实“SAS”，“ASA”，“SSS”以及由“ASA”结合“三角形内角和定理”得到的推论“AAS”，直角三角形中特殊的“HL”.而“AAA”无法判定三角形全等，可以很容易举出“大小不同的等边三角形”为反例，那么只剩下一种“神秘的SSA”没有进行深入的研究，我们只知道SSA可以举出不全等的反例，如“等腰三角形在底边上任取一个非中点的点，连接顶角上的顶点与该点，分成的两个三角形满足SSA但显然不全等”（见图），但“HL”实际上又是特殊的SSA，那么是不是直角三角形中的SSA都能判定全等？是不是只有直角三角形中才有SSA判定全等的可能性？到底具备怎样条件的SSA才是可以判定全等的？下面我们可以借助作图来深入地研究一下这个问题.

一、已知原三角形是一个一般锐角△ABC，BC>AC>AB，且∠A>∠B>∠C，SSA情况共6种：

1.如果已知∠A，AB，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一边上截取AB长，再以B为圆心，BC长为半径画弧，与AC只有一个交点，说明满足条件的三角形是唯一的.

2.如果已知∠A，AC，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一边上截取AC长，再以C为圆心，BC长为半径画弧，与AB只有一个交点，说明满足条件的三角形是唯一的.

3.如果已知∠B，AB，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一边上截取AB长，再以A为圆心，AC长为半径画弧，与BC只有一个交点，说明满足条件的三角形是唯一的.

4.如果已知∠B， BC，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一边上截取BC长，再以C为圆心，AC长为半径画弧，与AB有两个交点A、A′，说明满足条件的三角形不唯一.

5.如果已知∠C，AC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一边上截取AC长，再以A为圆心，AB长为半径画弧，与BC有两个交点B、B′，说明满足条件的三角形不唯一.

6.如果已知∠C，BC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一边上截取BC长，再以B为圆心，AB长为半径画弧，与AC有两个交点A、A′，说明满足条件的三角形不唯一.

汇总以上条件和结论：

表1 原三角形是锐角三角形已知角已知角邻边已知角对边三角形唯一吗？∠AABAC不唯一（可以是钝角三角形）∠CAC>AB不唯一（可以是钝角三角形）∠CBC>AB不唯一（可以是钝角三角形）通过作图，我们发现在锐角三角形中已知的SSA三个条件中，如果该角的对边比邻边大，则三角形唯一确定；如果该角的对边比邻边小，则三角形不能唯一确定.

二、已知原三角形是一个一般的Rt△ABC，BC>AC>AB，且∠A（=90°）>∠B>∠C，SSA情况共2种，如表2.

总结其中四种情况与前面的结论一致，但有两种情况虽然已知角的对边小于邻边，但三角形仍唯一确定，是由于直角三角形的特殊性，两条直角边长度虽然短但却是“最短”，那么作图只有唯一交点.

三、原三角形是钝角三角形情况，与锐角三角形情况类似，结论一致.

四、通过以上研究可以得到以下结论

1.一般情况下，两个三角形对应相等的三个条件如果是SSA，那么能否说明全等取决于选择的角的对边与邻边的大小关系，如果对边大于邻边则全等，如果对边小于邻边则不一定全等；

不唯一∠CBC>AB 不唯一2.特殊情况下，如果该角的对边小于邻边，但该对边的长度是直线外一点到直线的最短距离，那么全等；

3.SSA不能说明全等的根本原因是能够再作出一个满足条件的点，使得三角形形状无法确定，反例可以是一个锐角三角形和一个钝角三角形；可以是两个钝角三角形，但最大的角不是对应角；可以是一个直角三角形和一个钝角三角形等；

4.如果已知的两个三角形能够确定形状，如已知的两个三角形都是锐角三角形或都是直角三角形、都是钝角三角形，而且最大的角是对应角，那么作图时的点就会有选择性，SSA就可以判定全等.