用反正法证题的几种情形
2016-05-14
反证法是从否定要证命题的结论出发，进行合理的推导，得出矛盾，从而肯定命题结论成立，完成命题论证的方法。本文重点介绍适用反证法的几种命题形式。
一、结论为否定形式的命题
例1：证明y=cos不是周期函数。
证明：若y=cos是周期函数，那么应存在一个非零常数T，使cos=cos……①
设x=0，得cos=cos0=1。
所以存在自然数k1，使=2k1π，T=4k12π2。
其次，在①中令x=4π2，得cos=cos2π=1。
所以又存在自然数k2，使=2k2π，于是=k2， 但k12<1+k12<（k1+1）2 ， 所以不是自然数，即k2不是自然数，得到矛盾。因此假设不成立，即y=cos不是周期函数。
二、结论以“至少”、“至多”、“任一”、“唯一”、“无一”、“全部”等形式出现的命题
例2：试证：方程x=sinx+c（其中c是常数）的解是唯一的。
证明：显然，直线y=x-c与正弦曲线y=sinx必有交点，故方程必有解。如果方程的解不是唯一的，即至少有两个解x1、x2 （x1≠x2）。代入方程相减，得
x1-x2=sinx1-sinx2=2cossin
但sin<， ∴x1-x2<2cos·。
得cos>1， 与cos≤1矛盾。
因此，方程x=sinx+c的解是唯一的。
三、结论以“无限”的形式出现或涉及“无限”性质的命题
例3：试证a+b（其中a、b是有理数，b ≠0）是无理数。
证明：假设a+b是有理数，设a+b=p（p为有理数），由上式得=。
因a、b、p都是有理数，由有理数的四则运算的封闭性知，（b ≠0）是有理数， 不妨设=（r、s是互质整数，且s≠0），则=，3s2=r2。左边为3的倍数，因此右边r也必有因数3，设r=3q，代入得s2 =3q2。
同理推出s有因数3，于是r、s有公约数3，这与上面关于r、s是互质整数的假设矛盾，证得a+b为无理数。
四、关于存在性的命题
例4：设f（x），g（x）是[0，1]上的实值函数，证明存在x0，y0∈[0，1]，使得x0y0-f（x0）-g（y0）≥……………①
证明：反设这样的x0，y0不存在，则对一切x，y∈[0，1]均有xy-f（x）-g（y）<……………②
取数对（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）代入②，得f（0）+g（0）<，f（0）+g（1）<，f（1）+g（0）<，1-f（1）-g（1）<。
从而
1=[1-f（1）-g（1）]+[f（1）+g（0）]+[f（0）+g（1）]-[f（0）+g（0）]………③
≤[1-f（1）-g（1）]+[f（1）+g（0）]+[f（0）+g（1）]+[f（0）+g（0）]
<+++=1。
这一矛盾表明，存在x0，y0∈[0，1]使得①成立。
五、已知成立命题的逆命题
如果原命题与其逆命题都正确时，其逆命题的正确性往往可以用反证法证明。
例5：已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且EF=（AB+CD）。求证：AB∥CD。
证明：假设AB与CD不平行（如图1），取AC中点M，连ME，MF，则在△ACD与△ACB中，按中位线定理得MECD，MFAB。
由于AB与CD不平行，故ME与MF不共线，构成△MEF， 有ME+MF>EF。即CD+AB>EF。这与已知条件（AB+CD）=EF矛盾。从而证得AB∥CD。
本题若不从反证法着手，则证明比较困难。
六、已知条件少或从已知出发所能推出结论甚少的命题
例6：设a、b、c，m、n、p均为实数，且满足ap-2bn+cm=0和b2-ac<0，求证：mp-n2≤0。
证明： 假设mp-n2>0，则mp>n2。由b2-ac<0，得b2
又由ap-2bn+cm=0得bn=（ap+cm）②
把②代入①并化简，得（ap-cm）2<0 ，
产生矛盾，故命题为真。
