构建高等数学知识群的实践与思考

赵衍才

【摘要】 如何有效改善学生对高等数学的兴趣和效果，一直是高等数学，特别是高职高专高等数学改革的热门话题，但目前的状况是“在相当部分高职院校，高等数学课程改革目前尚处于纸上谈兵阶段，实践中的改革乏力”.在多 年实践经验的基础上，本文提出了构建“高等数学知识 群”的教学改革模式，意在将高等数学的教学改革引向细致和深入.

【关键词】 高等数学；高等数学知识群； 高等数学改革.

【分类号】 G642.4

一、研究现状综述

目前，高职高等数学的教学改革的主要思想是如何提高学生学习的兴趣和效果，许多学者进行了有益的探索和思考.

模块化教学是当前的一个研究热点，其一般做法为：先将高等数学分为若干个模块，模块设计好后，由各系专业教师根据专业需要选择模块，提出模块内容的具体要求，再由数学教师组织教学.在教学实践中，根据专业需要对模块内容的设置和选择进行了调整，初步完成模块化教学内容体系的构建.如文献[3] 中，将高等数学划分为6个模块，分别为：一元微积分、线性代数、概率初步、统计初步、积分变换、数学建模与数学实验.

这些模块化划分对改革高等数学的教学有很大帮助，但笔者认为，这些划分宏观层面的意味比较强，还不很细致和深入.在本文中，我们将提出构建“高等数学知识群”的思想，这可以看作是一种比模块化更加微观的划分，而且可以彻底打破传统的模块化划分.

二、高等数学知识群的构建

所谓高等数学知识群的构建，我们将其定义为：人们通过类比、对比、或其他方式的联想，而将一系列数学知识、数学方法聚合在一起，并集中学习的做法.由此可见，高等数学知识群的构建是人们的心理活动对数学知识和数学方法内在的关联性的一个自然反应，是人们心理活动的结果.因此，高等数学知识群可能因人而异，它是开放的、发展的、不断完善的.在教学中可以依学情等因素由教师自主组合.

（一）只通过一个函数的联想而构建起函数单调性、极值、最值、凹凸性、曲率及相关专业知识的高等数学知识群

通过直观观察，学生很容易理解极值的第一充分条件.无需证明即可让学生理解并运用.

3.自然过渡到第三个问题：还能进一步求最值吗？

学生易于得到答案：在x=± 3 时取最小值，没有最大值.可进一步限定范围：函数在闭区间[-2，2]或[-2，3]或任意其他闭区间上的最值？

4.自然过渡到第四个问题：凹凸性？

启发学生类比认识：利用一阶导数能判断单调性，利用二阶导数即可判断凹凸性.进一步，还可引入拐点的定义和判断方法.

5.自然过渡到第五个问题：凹凸性反映了弯曲的方式，那么弯曲的程度如何衡量？从而展开曲率的知识.

6.这些知识对我们的专业领域有什么帮助吗？

可以针对不同专业的学生，设计不同的实际问题，如：针对经济类的学生，可设计最大利润的问题；工程技术类的学生，可设计道路、桥梁等的曲率渐变的问题；理科学生，可设计飞机俯冲时座椅对人体的压力等问题.

7.能画出函数的图像吗？

使学生自然而然的认识到：问题1-5的解决可帮助我们画出函数的图像.

注意到：上述全部内容，可在两个连续课时内完成.由于是环环相扣，学生兴趣很高.然后，再用一个课时，让学生练习.我们实践的结果是，效果很好.如果按照传统的课本顺序讲解，需要用四课时，且效果不好.

8.能求二元函数的极值吗？

我们尝试过，即使这个问题不做深入研究，只做简单介绍，到下册正式学习二元函数极值时，效果也明显较好.

（二）导数和偏导数知识群

现有的教材均把一元函数求导和二元函数求偏导分在上、下两册，而笔者在教学实践中做了贯通，将其做为一个知识群处理，收到了很好的效果.具体处理方法为：在讲完一元函数求导后，很自然地引出一系列问题：二元函数有导数吗？——偏导的概念——求偏导的方法——其实质就是一元函数求导.

然后我们将一元函数求导和二元函数求偏导一起让学生练习，实践表明：学生不仅能提早接触多元函数的偏导数，而且对求一元函数的导数也掌握得更好，高等数学上册的期末考试成绩明显较高.当然也不难理解，该届学生学习高等数学下册时，对偏导数的掌握也更好.还有一个方面的好处：学习上册时多用了2个课时左右，但学习下册是节省了大约6个课时.

三、展 望

高等数学知识群是开放的、发展的、不断变化的，可依学情等因素由教师自主组合.组合过程中，可以打破大的模块限制甚至是上、下册内容的限制.笔者的教学实践表明，适当利用，可以极大提高学生学习高等数学的积极性，从而有效扭转当前高等数学教学枯燥、乏味的现状.望致力于高等数学改革的同行有所启发并继续探索总结提高.