数学基本活动经验的发现与认识

张丽

随着课改的推进，作为课程总目标的“数学基本活动经验”引起了老师更多的关注。在课堂教学中，如何发现并帮助学生积累数学活动经验呢？笔者以苏教版第十二册“圆柱的体积”为例，谈一些自己的认识。

一、教学案例

第一部分：联系旧知，导入新课

1.板书：体积。

2.谈话：今天这节课我们来研究体积。

3.课件出示：等底等高的长方体、正方体。

（1）提问：长方体和正方体体积相等吗？为什么？

板书：长（正）方体的体积=底面积×高

课件再出示圆柱和有关条件。

（2）谈话：这是什么？猜一猜，它的体积和长方体、正方体体积相等吗？用什么方法验证？

生：倒水的办法。（课件演示验证过程）

（3）师：猜一猜，圆柱的体积可以怎么计算？

板书：圆柱的体积=底面积×高

小结：这只是大家的猜测，还要进一步研究。

第二部分：推导圆柱体积公式

1.回顾圆面积公式的推导过程

提问：还记得圆面积的计算公式是怎么推导出来的吗？

结合课件阐述：把圆沿半径或直径平均分成若干份，用不同颜色表示两个半圆，将上半个圆沿半径打开，下半个圆也沿半径打开，再将两部分咬合在一起，拼成了什么图形？

根据学生回答，板书：S长=长×宽

明确对应关系，板书：S长=长×宽

S圆=πr·r

2.把圆柱转化为近似长方体

（1）谈话：刚才我们把圆转化为长方形，推导出了圆面积计算公式。如果要推导圆柱的体积公式，可以把圆柱转化成什么？（长方体）

提问：怎么转化呢？四人小组交流。

小结：用不同颜色表示半个圆柱，通过直径沿高把圆柱平均切成16份，把上半个圆柱打开，下半个圆柱打开，两部分拼在一起，这是变成了什么物体？（近似的长方体）

（2）谈话：如果平均切的份数增加，平均分成32份、64份，这样一直分下去，物体会发生什么变化？（出示图片并提示：越来越接近长方体）

（3）提问：拼成的长方体与原来的圆柱有什么联系？四人小组交流。

生反馈，让生上前指一指，并板书：

长（正）方体的体积=底面积×高或长×宽×高

圆柱的体积=底面积×高或πr·r·h

教师整理学生回答，明确左右两公式的相通之处。

二、对教学设计和实践的初步思考

首先，反思例题呈现。教学中笔者对例题呈现是：先出示长方体、正方体图，提问两者体积是否相等，引出“长（正）方体体积=底面积×高”；再出示圆柱图以及余下问题。这样设计的意图是分步递进出示问题，便于进行层层推进的思考与教学。如果三个图形整体出示的话，可以让学生整体感知三个图形的特征，教材的隐喻是“直柱体的体积都可以用底面积×高来计算”这一事实，接着再提出如何验证的问题。这里出现的疑问是：不同的例题呈现方式，对学生的思考是否会产生不同影响？

其次，反思“圆柱的体积和长方体、正方体的体积相等吗？用什么办法验证呢？”该问题的回答。学生会怎样回答这个问题，教师的预设是学生可能会用操作办法——倒水法，即把三个图形看成容器，用“等积转换”的思路加以验证。实际教学中学生的反馈正如预设，其他学生表示赞同。但研究教材发现，教材的编写意图是进行推理验证，即猜测圆柱的体积是否也等于“底面积×高”，再通过切分圆柱来证明。倒水法验证存在较大误差，无法证明数学意义上的体积相等，但倒水法却又是学生对“验证”的及时反应。到底如何理解“圆柱的体积和长方体、正方体体积相等吗？用什么方法验证呢？”如何看待学生用“倒水”来验证这一问题呢？

再次，反思公式推理论证阶段学具的缺失对学生学习产生的影响。教师在学生思考的基础上以课件为辅助展示了圆柱切分的动画过程，学生通过观察感知了推导过程。有教师提出，只用课件展示切割圆柱的过程会使学生丧失直观地看到拼成长方体和原来圆柱联系的机会。但在日常教学中，学具往往不能做到人手一份。教师该如何在课件和学具之间做出平衡与选择？另外，不断地平均切分圆柱的过程中蕴含着极限思想，如何能在教学中适当渗透这样重要的数学思想？

三、启示

1.经验的改造

通过对“圆柱的体积”的反思，笔者认为教师必须把握生活经验与数学经验、直接经验与间接经验之间的联系，最终形成学生自己的“数学智慧”。因此，经验的改造十分必要。学生的经验具有局限性，他们习惯于用熟悉的想法思考问题，而学生的“视觉具体”就是所谓“熟悉”。生活中的空间经验往往会对抽象的公理体系的形成产生负面影响，学生有必要对这样的经验进行修正和改进，从而超越原有经验，而非停留在以观察为基础的常识性认识上。

2.数学基本活动经验的相对性与基础性

荷兰学者范希尔（Pierre van Hiele）认为学生几何思维水平的发展是循序渐进的，水平的提升是通过教学，而不是随年龄增长或心理成熟自然而然的，教学也不能促使学生跨越式发展。由此我们对“数学基本活动经验”中“基本”的认识不能简单地理解为数学活动的基础经验或根本经验。对于不同年段的学生来说，基本活动经验具有阶段性和相对性。

就“圆柱的体积”而言，学生的基点是长（正）方体的体积计算和圆柱的特征，以及“非形式化演绎”的思维经验，即学生有能力作出非正式的类推但不能作系统性证明的思维经验。例如，通过图形的直观对比猜测圆柱体积的计算方法，将圆面积计算公式推导的思想方法尝试应用于出圆柱体积公式推导的思考。这些学生积累的经验是在经过一段时间的学习逐步发展形成的。

3.对教材的理解与运用

本课教材以问题提出、尝试猜测、知识系统的建构作为基本脉络，以论证“‘圆柱体积=底面积×高是否成立”为核心问题，将圆面积的推导论证过程运用到圆柱体积计算公式的推导上，体现了知识的螺旋递进关系。我们可以感受到本课教材力图关注学生数学活动经验的生成、应用、积累和发展。

教师在使用教材时要考虑帮助学生产生有效的几何直觉。在例题出示时，如果将例题三个立体图形并置，会引发学生怎样的直觉？教师可以尝试在例题出示方式和提问方式上进行思考，以期更好地引发“圆柱体积=底面积×高”这样的推测性直觉。平均切分圆柱的操作过程既包含视觉上的图形解构过程，也能挖掘出数学思想——极限思想。因此，教师在教学中应关注视觉直观、图形构造和推理表达三者之间的联系，整合学生在这三方面的经验，以有效地掌握新知识。

参考文献：

[1]张璐.小学生数学基本活动经验积累的现状调查研究[D].南京师范大学，2015.

[2]马瑞娟.小学数学基本活动经验教学设计研究[D].渤海大学，2014.