预设对话促进生成，变式拓展即时反馈——以“菱形（第1课时）”教学为例

☉浙江省宁波市镇海区骆驼实验学校　王雪君



预设对话促进生成，变式拓展即时反馈——以“菱形（第1课时）”教学为例

☉浙江省宁波市镇海区骆驼实验学校王雪君

章建跃博士近年来倡导的“教学要重视向学生传递‘基本套路’意识”，深获一线教师的认可，仅笔者关注的《中学数学》（下）近两年来就发表了大量向学生传递“基本套路”的课例.我们知道，“平行四边形”一章学习的基本套路是研究图形的定义、性质与判定，而在性质和判定中往往是从边、角、对角线、对称性等角度展开，这些学习套路应该成为学生自主学习时的方式.本文整理笔者近期开设的“菱形（第1课时）”研讨课的教学设计，并跟进解读教学立意，供研讨.

一、菱形（第1课时）教学设计

（一）开课引入

教师开场：我们知道，当平行四边形有一个内角是直角时，这时成为一个？（矩形）现在老师演示一个教具（如图1），大家注意，我还保证了这个平行四边形的一组邻边相等，这时我们发现这样的四边形四条边会怎样？（都相等）

图1

接着在黑板上画图（如图2），标出字母给出菱形的符号表示.

追问：教材上把这样的四边形称为菱形，那么如何定义这种四边形比较恰当呢？

图2

预设：学生可能会回答教材上的定义，比如有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；或者四条边相等的四边形是菱形.如果是后者，则建议学生类似矩形的定义，调整定义为前者为宜，因为数学追求前后一致、逻辑连贯的特点.四边相等的条件可以转化为前者实现证明，下一节会研究这种菱形的判定方法.接着板书菱形定义与符号语言（略）.

过渡：定义菱形之后，我们仍然先研究菱形的性质，下一节课会研究它的判定.

（二）菱形性质的研究

如图2，猜想菱形有哪些性质，你准备从哪些角度研究？

预设互动：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分.学生可能会漏了对角相等，以及每一条对角线平分一组对角.在学生回答的同时，教师注意启发其他学生互动，补充、完善，同时注意引导学生口述这些性质如何证明，并将相关性质条理化，板书到黑板上（见下文的板书设计）.由于学生可能会漏了从对称性角度来思考菱形的性质，可以给出跟进追问：在学习矩形时，我们知道矩形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，那么，菱形的对称性如何呢？（也是中心对称图形、轴对称图形）接着追问学生菱形的对称轴（对角线所在的直线就是它的对称轴）.

过渡语：下面我们从轴对称的角度来做一个剪拼活动！在活动中验证上面大家发现的菱形性质吧！

剪拼验证：将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开，就得到一个菱形（如图3）.

图3

观察得到的菱形，

（1）你能看出图中哪些线段或角相等？

（2）得到哪些特殊三角形？

（3）菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴之间有什么位置关系？

设计意图：通过跟进实验活动激发学生的学习兴趣，并验证基于图形的一些发现，即做到直观与理性的呼应，让学生知道不仅证得到，而且实验也能看得到.

下面探讨菱形的面积公式.

问题：如图4，如何求菱形ABCD的面积？

图4

预设：学生可能很快会利用图4，作出菱形一边上的高AE，利用平行四边形的面积公式：S菱形=BC·AE求出答案；同时注意启发学生思考其他方法，比如把菱形的面积看成四个小直角三角形的面积之和.

启发：你有什么发现？（预设：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即S菱形ABCD=AC·BD）

（三）典例讲评与变式

例1菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.

预设讲评：这是经典问题，多数学生都能很快获得思路，讲评时注意让学生暴露他们的思维过程，包括草图分析，如何利用菱形性质获得思路等.如果学生在求菱形面积时没有使用上面总结出来的“对角线乘积的一半”，则引导其他学生优化思路.

例2如图5，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°，沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.

图5

预设讲评：学生解决也不困难，重点是由这道习题出发，引导学生积累一类更加特殊的菱形，即含60°角的菱形，接下来给出这类特殊菱形的系列变式.

变式1：如图6，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数.

图6

变式2：如图6，边长为a的菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若∠B=60°，菱形的边长为a，且CE+CF= a，试分析△AEF的形状.

变式3：在“变式2”的条件下，分析△CEF的面积是否发生变化.若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值.

（四）课堂小结与检测

小结问题1：你是从哪些角度来研究菱形的性质的？小组内交流一下.

小结问题2：菱形的性质，你对哪一条性质印象最深，让你印象最深的理由是什么？

小结问题3：今天的解题中，你觉得应该重视哪一种特殊的菱形？这类菱形中有哪些更特殊的性质呢？（预设：含60°角的菱形）

听课检测题：（每小题20分，共100分）

题1：有如下两个操作活动和命题.

命题1：如图7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分四边形ABCD就是菱形；

图7

图8

命题2：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形（如图8）.

请判断上述两个命题的真假：__________.

题2：已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的面积是______cm2.

题3：（文字命题的证明）求证：菱形的四条边都相等.

题4：如图9，菱形ABCD的边AB上有一点F，连接DF交AC于点E.当∠AFD=70°时，求∠CBE的度数.

题5：如图6，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD 上.若∠EAF=60°，判断△AEF的形状，并说明理由.

图9

设计意图：这5个小题分别对应本课学习的顺序，检测题在课中都能找到原型或“影子”.

附：板书设计

二、教学立意的进一步阐释

1.通过对话追问向学生传递图形研究的“基本套路”意识

如郑毓信教授所指出的，当前教学研究的一个重点即是从关注“教”转向关注“学”，深入下去，应该是在关注“学”的前提下重新思考“教”，也就是心中装着学情、预设和促进生成的情况下设计教学的各个环节.上文课例中，我们在各个教学环节都充分考虑了与学生的可能对话与互动，并且跟进追问，促进对话.比如，在探究菱形性质的教学环节，通过先观察菱形从猜想与证明的角度得出菱形的性质，让学生在对话中增强研究菱形问题的“基本套路”意识，促进学生从“学会”到“会学”，促进学生“学力”的发展（李庾南老师语）.

2.利用变式拓展促进学生体会特殊菱形在解题中的价值

数学教学离不开解题教学，解题教学走向高效的一个途径就是课前认真选取典型问题，并在此基础上设计丰富的变式拓展问题，将学生对一个典型问题的思考引向深处，一方面实现了“做一题、会一类、通一片”的解题效果，另一方面也是追求有深度的教学效果.比如，我们在例题讲评环节选用的例1是教材上的原型问题，而例2则将例1的生活情境抽象掉，变成一个纯几何问题，保留含60°角的特殊菱形的基本结构，在此基础上预设了系列变式，追求了很好的教学效果，让不同层次的学生都有向上的动力.而且最后的课堂检测第5题，也跟进检测听课效果.顺便指出，根据笔者近年来的教学经验，加强对所讲评过习题的变式检测，对评估学生是否真正听懂确有实效，值得更多一线教师跟进实践和研究.

三、结束语

章建跃博士指出：“教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，其本质是‘理解数学，理解学生，理解教学’的水平和能力.”想来，就笔者所见有很多所谓的“热点研究”，归根到底还是应该落实在自己的课堂教学中去，而教学设计这项基本功的修炼应该是永远“在路上”，也正是基于上述认识，笔者把自己的一节常态教研课呈现出来，抛砖引玉，期待更多苦心经营的教学设计的实践与反思，让教学设计研究走向更深处.

参考文献：

1.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1，2，3）.

2.章建跃.全面深化数学课改的几个关键［J］.课程·教材·教法，2015，35（5）.