等价无穷小代换在求和式极限中的应用

仝淑芳， 郑 军（．西南交通大学交通运输系，四川峨眉山640； ．西南交通大学基础课部，四川峨眉山640）



等价无穷小代换在求和式极限中的应用

仝淑芳1， 郑 军2
（1．西南交通大学交通运输系，四川峨眉山614202； 2．西南交通大学基础课部，四川峨眉山614202）

［摘 要］等价无穷小代换经常用于求函数乘积的极限，讨论了如何利用等价无穷小代换求函数和式的极限．

［关键词］等价无穷小；极限；定积分；广义积分

1　引 言

利用定积分定义与等价无穷小量代换是求极限的两种常用方法，由于等价无穷小量一般不能在加、减法中直接代换以求极限，所以上述两种方法难以直接综合应用．在文献［1］中，作者证明了，在求和因子f（x）有不低于一次的增长性条件下，即当时，可以采用类似于等价无穷小代换的技巧，从而使利用定积分定义与等价无穷小量代换可综合使用．本文的主要结论是，在求和因子没有增长性条件的假设下，证明一类求和式的极限可以采用等价无穷小代换的技巧，使得求和式极限时不仅可以综合利用定积分与等价无穷小代换，也可以利用无界函数的广义积分定义与等价无穷小代换．在下文中，将数列

时，在求和式极限

2　主要结果

若存在，则

即

故

由数列极限定义得

由此可得

注1 在文献［1］中，f（x）与h（x）有不低于一次的增长性，本文减弱了该条件，使得f（x）与h（x）可以有其它的增长方式，例如f（x）与h（x）形式上可以为等．

推论1 ①设函数f（x），h（x）满足：

（ii）在0的某一去心邻域内h（x）≠0且不改变符号；

其中g（x）是定义在（a，b］上的函数，g（x）≠0，且存在常数M及p∈［0，1），使得

则

②设函数f（x），h（x）满足：

（ii）在0的某一去心邻域内h（x）≠0且不改变符号；

其中g（x）是定义在［a，b）上的函数，g（x）≠0，且存在常数M及p∈［0，1），使得

则

即时，

令

则有

由定理可得

注2 ①在文献［1］中，g（x）为闭区间［0，1］上的有界函数，在本文的推论中，g（x）可以减弱为开区间上的无界函数．

②若g（x）为闭区间［0，1］上的有界函数，则推论中g（x）的条件自然满足．

推论2 ①若函数f（x），g（x）满足：

（i）g（x）在上可积（0，1］，且存在常数M及p∈［0，1），使得

（ii）f（x）在x＝0处可微，且f（0）＝0（或f（0）＝1），则

②若函数f（x），g（x）满足：（i）g（x）在［0，1）上可积，且存在常数M及p∈［0，1），使得

（ii）f（x）在x＝0处可微，且f（0）＝0（或f（0）＝1），则

证 只需注意到无界函数的反常积分的定义（见［2］）及g（x）的增长性，利用推论1及文献［1，3］的方法即可证明．

注3 若g（x）在［0，1）上连续，且存在常数M及p∈［0，1），使得对，有

则由无界函数的反常积分的比较审敛法（见p266，定理6，［2］），g（x）在［0，1）上可积．同理，若g（x）在（0，1］上连续，且存在常数M及p∈［0，1），使得对，有，则g（x）在［0， 1）上可积．

下面给出本文结论的几个应用，其中例1和例3取自文献［3］．

解 令f（x）＝sinx，h（x）＝x，则

例2 求

解 注意到

令

则

例3 求

选取

例4 求

解 注意到

令

显然f（x）在x＝0处可微，且f（0）＝1．由于

且

由推论2可得

［参 考 文 献］

［1］ 华梦霞，陈庆．利用等价无穷小代换求和极限［J］．大学数学，2013，29（1）：134－137．

［2］ 同济大学数学系．高等数学［M］．北京：高等教育出版社，2014．

［3］ Yuan N．A Discussion on a limit theorem and its application［J］．College Mathematics，2006，22（1）：90－94．

An Application of the Equivalent Infinitesimal in Solving Sum Limitations

TONG Shu－fang1， ZHENG Jun2
（1．Department of Traffic and Transportation，Southwest Jiaotong University，Emeishan 614202，China；2．Department of Basic Course，Southwest Jiaotong University，Emeishan 614202，China）

Abstract：The equivalent infinitesimal is often used in solving limitations with multiplicativity factors．In this paper，it is discussed how to apply the equivalent infinitesimal to solve limitations with additive factors．

Key words：equivalent infinitesimal；limitation；integration；generalized integration

［基金项目］中央高校基本科研业务费（10801X10096022）

［收稿日期］2015－06－20

［中图分类号］O172．2

［文献标识码］C

［文章编号］1672－1454（2016）01－0105－05