小波函数应用于GPS高程拟合的分析

唐健林，徐　陶，龙　盈

(1. 湖南省地质测绘院，湖南 衡阳 421001； 2. 湖南省勘测设计院，湖南 长沙 410014)



小波函数应用于GPS高程拟合的分析

唐健林1，徐陶2，龙盈1

(1. 湖南省地质测绘院，湖南 衡阳 421001； 2. 湖南省勘测设计院，湖南 长沙 410014)

Analysis of Wavelet Function Used in the Fitting of GPS Elevation

TANG Jianlin，XU Tao，LONG Ying

摘要：将小波函数引入到GPS高程拟合，利用小波基函数伸缩平移的特性，结合最小二乘法对散乱的GPS点进行拟合。通过实例验证了小波函数实现GPS高程转换的可行性，并与传统拟合算法多项式曲面拟合法的计算结果进行比较，证明在大面积且地形起伏较大的测区，小波函数拟合残差值更小，精度优于多项式曲面拟合法，更能反映测区实际高程异常的变化。

关键词：小波函数；高程拟合；多项式曲面拟合

随着GPS测高技术的发展，目前已能获得高精度的测站大地高[1]。高程系统包括正高、正常高和大地高系统[2]。大地高h是地面点沿参考椭球面法线到参考椭球面的距离,而我国采用正常高系统，正常高H是地面点沿铅垂线到似地大水准面的距离[2]。正常高和大地高之差即为高程异常，其关系如下

h=H+ξ

(1)

由式(1)可知，如何高精度地拟合高程异常值ξ成为GPS高程转换的关键问题。常用的拟合方法有多项式曲面拟合法[3]、多面函数法[4]、地球位模型[5]等。随着神经网络和粒子群算法等新兴数学方法的出现，国内外学者目前较多研究和这些新理论结合的拟合方法，如神经元网络拟合[5-6]、粒子群算法[7-8]、支持向量机[7-8]等。本文中提出将小波理论应用于GPS高程拟合，构造小波拟合函数对某测区GPS实测数据进行拟合，并与常用的拟合方法计算结果进行比较分析。

一、小波理论

小波理论是20世纪80年代中期发展起来的新兴应用数学理论和方法，主要用于数字信号处理和图像处理。随着理论的完善，在数值分析领域，通过多分辨分析和小波变换可以构造多种用于数值分析的小波基函数。利用尺度函数或小波基函数代替传统的多项式作为逼近函数解决了许多复杂的工程数值计算问题[9-11]。

对ψ(t)平移、伸缩可以得到一族小波函数[12]

(2)

ψj,k(t)=2-j/2ψ(2-j/2t-k)j,k∈Z

(3)

通过式(3)得其小波族函数表达式为

(4)

式(4)为一维Mexican Hat小波族函数，对于GPS高程拟合则需通过平面二维坐标求解高程异常值。因此需将式(4)推广到二维情形。设ψ(x,y)是二维母小波函数，它可以通过一维小波的张量积形式给出：ψ(x,y)=ψ(x)ψ(y)。二维Mexican Hat母小波函数表达式为

通过式(4)可求得二维Mexican Hat小波族函数表达式

(5)

二、小波拟合函数

给定一组离散的三维数据点(xi,yi,ξi),通过寻找某种函数,在最小二乘原理下求得任意点(x,y)所对应的值ξ即为二维函数拟合问题，记为ξ=f(x,y)。如何寻找函数f(x,y)并使得逼近误差最小，是拟合的关键。本文中利用Mexican Hat小波基函数作为拟合函数，并在最小二乘原理下构造实现GPS高程转换的拟合函数f(x,y)。设定如下

(6)

式中，ψl1,l2,k(x,y)为二维Mexican Hat小波族函数；am为待定系数。由式(6)可知，只需确定系数am，就能获得拟合函数的表达式。定义函数逼近误差平方和为

(7)

为使逼近误差最小，在最小二乘原理下确定系数am。根据极值定理，式(7)取极小值的充要条件是

k=0,1,…,m;m≤n

(8)

整理式(8)得

(9)

通过已知数据集合(xi,yi,ξi)，利用式(9)即可求得系数am，进而求得函数表达式。在GPS高程拟合时，为检验拟合精度，应设置一系列已知高程异常的检核点求出拟合残差vi=ξ拟-ξi。其拟合精度为

(10)

式中，n为参与拟合计算的检核点个数。式(10)又称为预报残差，用来大致代替整个测区GPS高程异常拟合计算的精度[13]。

三、算例分析

本文中选用云南省马关县大丫口矿区GPS实测数据，测区位于云南省东南部。马关县境内高差起伏悬殊，最高海拔2579 m，最低海拔123 m。测区内共观测GPS点47个，其中联测等级水准点14个。测区面积约300 km，平均高程1500 m，最大高差约500 m。由于地形起伏较大，GPS观测的大地高与已知水准高程求得的高程异常变化较大，最大高程异常为29.335 6 m，最小为27.457 8 m。为了检验拟合精度，本文中选用6个已知高程异常点作为起算数据(见表1)，其余8个水准点作为检核点。同时将小波函数计算结果同常用的多项式曲面拟合结果进行比较(见表2)，对应的检核点拟合误差曲线如图1所示。

表1　GPS控制网和已知水准点　m

表2　小波函数和多项式曲面拟合残差比较　m

图1　小波函数和多项式曲面拟合残差序列

由表2拟合数据可知，由小波函数拟合的高程异常残差绝对值大部分在0～0.1 m内，最大值22号点残差为0.115 8 m，拟合效果较好，证明小波函数能应用于GPS高程拟合计算。常用的多项式曲面拟合法拟合的高程异常残差绝对值大部分在0.1～0.3 m内，仅有31号点残差绝对值为0.056 1 m。通过残差值比较可知，小波函数在本文计算实例中拟合的高程异常残差明显小于常用的多项式曲面拟合残差。证明在大面积测区范围内，高程异常值变化较大时，小波函数通过母小波的伸缩和平移更能反映实际的高程异常变化。由表2拟合数据残差通过式(10)计算得到小波函数和多项式曲面拟合法拟合精度分别为0.082 2和0.182 6 m。由此可知，小波函数在本文中计算实例中GPS高程拟合精度优于多项式曲面拟合。

四、结论

1) 通过实际算例可知，利用小波函数的伸缩和平移性质结合最小二乘法对离散的GPS点进行高程拟合是可行的，且拟合效果较好。

2) 由表2和图1可知，本文中算例利用小波函数进行GPS高程拟合残差值小于常用的多项式曲面拟合残差值，且拟合精度优于多项式曲面拟合精度。

3) 在地形起伏较大的测区，高程异常变化较大时，利用小波基函数伸缩平移的性质较多项式曲面拟合法更能反映测区实际高程异常变化。

4) 由表2可知，本文中算例采用的两种拟合方法其拟合残差都未达到毫米级，分析原因可能与当地地形起伏有关。

参考文献：

[1]吴寒，姚文斌.附加随机模型的GPS高程转换方法[J].大地测量与地球动力学,2010,30(3): 67-70.

[2]孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉：武汉大学出版社，2002.

[3]刘长建，柴洪州，吴洪举，等. GPS水准拟合模型的选取与精度探讨[J].测绘科学,2009,34(4)：80-81.

[4]贺炳彦，张贵钢.用于GPS高程拟合的多面函数模型的应用研究[J].西安科技大学学报,2010,30(5)：579-582.

[5]张杰. 用地球位模型和BP神经网络转换GPS高程[J].测绘科学技术学报,2009,26(6)：408-413.

[6]刘成龙，杨天宇.基于BP神经网络的 GPS高程拟合方法的探讨[J].西南交通大学学报,2007,42(2)：148-152.

[7]黄磊，张书毕，王亮亮，等. 粒子群最小二乘支持向量机在GPS高程拟合中的应用[J].测绘科学,2010,35(5)：190-192.

[8]姬张建，袁运斌，盛传贞.混沌粒子群支持向量机并考虑地形改正的GPS高程拟合[J].大地测量与地球动力学，2010,30(2)：95-98.

[9]CANUTO C, TABACCO A, URBAN K.The Wavelet Element Method Part I:Construction and Analysis[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,1996(6):1-52.

[10]CANUTO C, TABACCO A, URBAN K.The Wavelet Element Method Part I:Realization and Additional Feature in 2D and 3D[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2000(8):123-165.

[11]COHEN A. Numerical Analysis of Wavelet Method[M].Amsterdam: Holland Elsevier Press,2003.

[12]张国华，张文娟，薛鹏翔.小波分析与应用基础[M].西安：西北工业大学出版社，2006.

[13]高原，张恒瑾，赵春江.多项式曲面模型在GPS高程拟合中的应用[J].测绘科学,2011,36(3)：179-181.

中图分类号：P228.4

文献标识码：B

文章编号：0494-0911(2016)03-0058-03

作者简介：唐健林(1964—)，男，高级工程师，主要研究方向为控制测量、摄影测量。E-mail:492287960@qq.com

收稿日期：2015-03-20

引文格式： 唐健林，徐陶，龙盈. 小波函数应用于GPS高程拟合的分析[J].测绘通报，2016(3)：58-60.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0086.