中厚耦合板结构的振动特性分析

王久法，薛 开，李秋红

（1.中国船舶重工集团公司 第七一○研究所，宜昌443003；2.哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨 150001）

中厚耦合板结构的振动特性分析

王久法1，薛 开2，李秋红2

（1.中国船舶重工集团公司 第七一○研究所，宜昌443003；2.哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨 150001）

基于Mindlin板理论，采用改进傅立叶级数的方法对任意弹性边界条件和耦合条件下的耦合板进行了振动分析。为建立通用的结构模型，在耦合板结构的耦合边上均匀布置六种类型线性约束弹簧模拟耦合条件，在非耦合边上布置五种类型的线性约束弹簧模拟边界条件。耦合板结构的弯曲振动位移函数和面内振动位移函数表示为标准的二维傅立叶余弦级数和辅助级数的线性组合，通过辅助级数的引入，解决了位移导数在边界不连续的问题。利用Hamilton原理建立求解方程，推导出中厚耦合板结构的振动控制方程的矩阵表达式，通过求解矩阵方程可以得到耦合板结构的固有频率和响应。通过数值仿真分析计算，并与有限元结果和实验进行比较，验证了该方法的准确性。

耦合板；Mindlin理论；改进的傅立叶级数；任意弹性边界条件

0 引 言

耦合板结构作为一种基本的单元构件，被广泛应用于航空航天、船舶工程和土木工程等诸多领域中，如船体、车身都可以简化为若干块板结构相互连接而成的耦合板系统。耦合板结构的振动特性对系统的综合性能有着重要的影响，为了深入地了解其振动特性，为系统的减振降噪提供基础，近年来，众多的学者对耦合板结构的振动特性进行研究，提出了各种建模方法。

Guyader等人[1-2]采用模态分析技术研究耦合结构振动能量传输特性，Cremer等人[3-4]从弹性波传播的角度研究了两个互成直角的耦合板的结构振动问题，Cuschieri[5]用导纳功率流法、Kessissoglou[6]采用波传递与模态分析相结合的方法研究了L-型耦合板通过连接处的振动功率流。上述的这些研究只考虑了弯曲振动间的耦合作用，忽略面内振动的耦合。忽略面内振动会在高频处会产生较大的偏差，为了解决这个问题，一些学者研究了考虑面内振动时耦合板的振动特性。Cuschieri[7]用导纳功率流法、Farag[8]采用模态法、Wang[9]用子结构法、kessissoglou[10]用弹性波理论、李凯[11]利用振动声强及能量可视化技术、Tian[12]采用统计能量法分别分析了L板的功率流传递特性，杜敬涛[13]用改进傅立叶级数法研究了耦合板在任意边界条件下的振动特性。

以上的研究在建立振动模型时都是基于Kirchoff板理论，此理论忽略了板的横向剪切变形和转动惯量的影响，因而会产生一定的误差。当耦合板的厚度增加时，此理论将不再适用。因此一些学者用Mindlin理论，同时考虑了面内振动的影响，Liu等人[14]采用波传播法研究了耦合板的振动特性。不过，这些研究为了简化问题的分析难度，在建立边界条件时，将边界条件假设为经典边界条件，而且认为两板间的耦合是刚性的，对于更符合工程实际的弹性边界和弹性耦合条件，尚未有涉及。

为了研究结构在弹性边界条件下的振动，Li等人[15-17]提出了改进傅立叶级数的方法对矩形板、圆柱壳、圆板等结构的振动特性进行了研究。本文在上述研究的基础上，基于Mindlin板理论和面内振动理论，结合Hamilton原理，以改进傅立叶级数法研究了在任意边界条件和耦合条件下耦合板的振动特性。其中，耦合板以任意角度耦合。任意的边界条件和耦合条件通过均匀布置的弹簧来模拟。弯曲振动的位移函数和面内振动的位移函数都表示为标准的二维傅立叶余弦级数和四项辅助级数的线性组合，通过对未知系数求极值，得到与振动控制方程等价的矩阵表达式，耦合板的振动频率和响应可通过求解矩阵而得到。最后给出了数值仿真结果，通过和实验及有限元结果进行比较，验证了本方法的准确性。

1 理论模型的建立

在以往的研究中，耦合板结构模型的耦合角度通常假设为直角，耦合条件假设为刚性耦合，边界条件局限于经典边界条件。本文为了建立耦合板结构的通用模型，采用约束弹簧来模型耦合条件和边界条件，模型如图1所示。

耦合条件通过在耦合边设置三种类型的位移约束弹簧和三种类型的旋转约束弹簧来描述，通过改变其刚度值可以模拟任意的耦合条件，同时通过这六类弹簧可以全面考虑耦合板结构中的弯矩、横向剪切、面内剪切以及纵向作用四种效应。非耦合边分别设置横向位移、面内位移、旋转和扭转等五种类型的约束弹簧，通过改变其刚度值来对任意的边界条件进行模拟。例如将旋转约束弹簧刚度值设置为零，而剩余四种类型的弹簧刚度设置为无穷大，就相当于模拟了弯曲振动为简支、面内振动为固支时的边界条件。

图1 任意边界条件和耦合条件下耦合板结构示图Fig.1 A couple plate structure with general elastic boundary support and coupling conditions

由弹性力学知识可得，耦合板结构的Hamilton方程为：

式中：V代表耦合板结构的总势能，T代表耦合板结构的总动能，Wext为施加于耦合板结构上的外力所做的功。对图1所示的耦合板结构，总势能和总动能可写为：

式中：V1bend、T1bend、V1in、T1in、V1spring、W1ext分别为板1弯曲振动的势能和动能、面内振动的势能、动能以及弹簧势能和外力所做的功，V2bend、T2bend、V2in、T2in、V2spring、W2ext分别为板2弯曲振动的势能和动能、面内振动的势能、动能以及弹簧势能和外力所做的功，Vcouple为两板间的耦合势能。其中：

板2弯曲振动的势能V2bend、动能T2bend、面内振动的势能V2in、动能T2in以及弹簧势能V2spring，可以通过将公式（5）-（10）中的下标1换成2得到。

式中：w1、ψ1x和ψ1y为板1弯曲振动沿z1方向的位移、沿x1方向的转角和y1方向的转角，u1和v1为面内振动沿x1和y1方向的位移。f（x1，y1）为施加于板1上的外力，当其为点力时，f（x1，y1）=Fδ（x1-x0）（y1-y0），δ为Delta函数，F为力的幅值，x0和y0为外力作用点的坐标值。a1和b为板的长度和宽度，ρ1为密度，μ1为泊松比，h1为厚度，为弯曲刚度，k为剪切系数，剪切刚度G1=E1/［2（1+μ1）］。 k1x0、K1x0和K1yx0（k1xa、K1xa和K1yxa）为在x1=0（x1=a1）处横向位移、旋转和扭转约束弹簧刚度，k1y0、K1y0和K1xy0（k1yb、K1yb和K1xyb）为在y1=0（y1=b）处横向位移、旋转和扭转约束弹簧刚度。以上变量都是与板1相关的变量，将这些变量中的下标1改为2，则表示为与板2相关的参数。

两板的耦合势能为：

式中：θ为两板间的耦合夹角，Kc1、Kc2、Kc3、kc1、kc2和kc3分别为六类耦合弹簧的刚度系数。当六类耦合弹簧的刚度系数都取为无穷大时，耦合板结构为刚性耦合。

2 耦合板的位移函数

板1弯曲振动的位移函数、两个转角函数以及面内振动位移函数可通过沿x和y轴方向的两个分量来描述，本文中采用二维改进傅立叶级数展开来表示：

式中：λm=mπ/a1，λn=nπ/b，l=1、2，分别为用来描述板结构弯曲振动和面内振动的未知Fourier系数和辅助级数的系数，与x1相关的辅助函数表示为：

与y1相关的辅助函数可以将（17）-（18）式中的a1和x1分别用b和y1进行替换得到。从（12）-（16）式可以看出，弯曲振动和面内振动的位移函数和转角函数展开时除了标准的二维傅立叶级数，还有四项辅助的单傅立叶级数。在四条边界上，位移和转角关于x1或y1的一阶导数潜在的不连续将有效地转移到了辅助项，因此，位移函数和转角函数在整个板的求解域内展开时都有连续的一阶导数。所以这种傅立叶级数解形式，不仅适用于任意边界条件，也可以改善级数的收敛性。板2的振动位移函数也可参照板1的形式写出。

将（12）-（16）式代入哈密尔顿方程（1）中，并写成矩阵的形式有：

其中：A=［A1，A2］T，A1为板1振动位移的展开系数组成的列向量，A2为板2振动位移的展开系数组成的列向量。A1形式为：

3 振动特性分析

显然，对于任意激励频率ω耦合板结构的振动响应的Fourier系数向量可以由（19）式得到。将响应系数代入方程（12）-（16）中，即可得到该激励下耦合板结构的振动位移分布。当外力F=0时，即可进行模态分析，耦合板系统的固有频率和特征向量可以通过求解（19）式的矩阵特征值而得到，将特征向量代入方程（12）-（16）中，即可得到系统的振型。

结构导纳常用来描述结构动力学特性，其反映了结构对于输入激励的响应情况。在计算出耦合板结构的振动位移后，结构导纳为：

式中：ν为结构振动的响应速度，F为激励力。

根据功率流的定义，某一激励频率下输入结构中的时间平均功率流：

式中：Pin为时间平均功率流，F（t）为作用力的瞬时大小，v（t）为该点的振动响应速度，*表示取复共轭，T为时间间隔。对于简谐振动，F（t）=Fejωt，v（t）=vejωt，结合（22）式，（21）式可以写为：

4 数值仿真与实验分析

耦合板的结构参数及其材料参数为：板1和板2的长度分别为a1=0.25 m和a2=0.25 m，宽度为b1=b2=0.5 m，板的密度为ρ＝2 700 kg/m3，弹性模量E＝70 GPa，泊松比μ＝0.28，剪切系数k＝5/6，结构阻尼η＝0.01。为了表述方便，本文中用C表示固支边界条件，F表示自由边界条件，S表示简支边界条件。

为了验证本方法的准确性，表1中给出了耦合板结构在各种边界条件下的无量纲振动频率。耦合板结构的耦合角度为90°，耦合条件为刚性耦合时，板的厚度h1=h2=0.01 m。表中弯曲振动边界条件FFFFFF表示板1沿边界y1=0，x1=a1，y1=b和板2沿边界x2=0，y2=0，y2=b的弯曲振动边界条件都为自由边界条件，面内振动边界条件为相同的描述顺序。本文中面内振动的简支边界条件定义为边界法向方向上的零位移和切向方向上的零应力。表中也示出了相应边界条件下有限元的计算结果，通过对比，本方法的结果和有限元的结果吻合良好，两者的偏差小于2%。

表1 耦合板在不同边界条件下的固有频率Tab.1 The first seven frequency parameters for the coupled plate with different boundary conditions

续表1

为了比较应用Kirchhoff理论和Mindlin理论建模的异同，在图2与图3中，基于这两种理论，计算了激励作用在点x1=0.2 m，y1=0.1 m的输入功率流。其中，耦合板结构的弯曲振动边界条件全为简支，面内振动边界条件全为自由，耦合角度为180°，耦合条件为刚性耦合，板的厚度h1=h2为0.005 m和0.05 m。

图2 h1=h2=0.005 m时耦合板结构的输入功率流Fig.2 Input power flow for coupled plate with h1=h2=0.005 m

图3 h1=h2=0.05 m时耦合板结构的输入功率流Fig.3 Input power flow for coupled plate h1=h2=0.05 m

图中实线为Mindlin理论的计算结果，点线为Kirchhoff理论的计算结果，图中也给出了有限元的计算结果。从功率流曲线图和模态对比可知，输入功率流的峰值在共振频率处。计算结果表明，在板较薄时，两种理论的计算结果几乎相等，而且与有限元的结果也能很好地吻合；在板较厚时，Kirchhoff理论得到的曲线与Mindlin理论和有限元法得到的曲线有较大的偏差，其计算的共振频率要明显高于Mindlin理论和有限元的结果，即Kirchhoff理论不再准确。

图4 耦合板结构振动响应测试系统Fig.4 Measuring system for vibrational response of coupled plates

图5 板1上点（0.1m，0.1m）的振动响应Fig.5 Vibrational response at(0.1m,0.1m)on the surface of plate 1

图6 板2上点（0.1m，0.25m）的振动响应Fig.6 Vibrational response at(0.1m,0.25m)on the surface of plate 2

为了进一步验证本方法的准确性，图5和图6给出了实验和理论计算得到的响应曲线，实线为实验结果，虚线为用本文方法得到的结果。其中耦合板结构的耦合角度为90°，耦合条件为刚性耦合时，板的厚度h1=h2=0.01 m，弯曲振动的边界条件为FCFFFF，面内振动的边界条件为FCFFFF。实验方案如图4所示，信号发生器为DH1301，激振器为DH410-002，电荷适调器为DH5855，阻抗头为CL-YD-331A，加速度传感器为DH131E，信号采集器为DH5922。实验中，激振器作用点的位置为x1=0.1 m，y1= 0.1 m，在激振点安装阻抗头用来同时采集激振点的力和加速度，在位置x2=0.1 m，y2=0.25 m处安装加速度传感器采集响应点的加速度。

图5中的曲线为激励点的速度导纳曲线，图6中的曲线为响应点的速度导纳曲线。从图中可以看出，在低频段，理论结果和实验结果在低频段能很好地吻合；在高频段，实验中传感器的质量对实验结果影响加大，同时实验的边界条件和理论计算边界条件会存在一定的差异，从而导致两种方法得到的曲线有些许偏差，但它们的趋势是一致的。

5 结 论

本文基于Mindlin理论，并考虑了板的面内振动，采用改进傅立叶级数方法分析了任意边界支撑条件下弹性耦合板的振动特性。板的弯曲振动与面内振动位移函数都表示为标准的二维级数和四项辅助的单傅立叶级数的线性组合，通过引入辅助的级数，解决了位移导数在边界潜在不连续的问题。本方法中，所有位移展开系数可以通过Hamilton原理进行求解，而所有的固有频率都可以通过求解特征值而得到。本方法不仅适用于任意耦合角度的耦合板，而且也适用于任意边界条件和耦合条件的耦合板。最后的数值计算结果和实验表明，本方法具有较高的计算精度。

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Vibration characteristic analysis of moderately thick coupled rectangular plates

WANG Jiu-fa1,XUE Kai2,LI Qiu-hong2
(1.No.710 R&D Institute,CSIC,Yichang 433003,China;2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Base on Mindlin plate theory,an improve Fourier series method is employed to analyze the vibration of coupled plates with general elastic boundary support and coupled condition.In order to establish general model,six types of springs are uniformly distributed along coupling edge to simulate the arbitrary coupling conditions,and five kinds of springs are uniformly distributed along boundary edge to simulate the arbitrary boundary condition.The vibration displacements of the flexural and in-plane vibration are expressed with the linear combination of a double Fourier cosine series and auxiliary series functions.The use of these supplementary functions is to solve the discontinuity problems which encountered in the displacement partial differentials along the edges.The matrix eigenvalue equation,which is equivalent to governing differential equations of the coupled plate,can be deduced by using Hamilton’s principle,and the frequencies and response of coupled plates can be obtained by solving the matrix equation.Finally,the numerical results and the comparisons with both FEA and experiment are presented to validate the correct of the method.

coupled plates;Mindlin theory;improved Fourier series;general elastic boundary support

TP533

：Adoi：10.3969/j.issn.1007-7294.2016.05.009

1007-7294（2016）05-0583-08

2015-12-18

国家自然科学基金项目（51105087）；中央高校基本科研业务费专项资金资助（HEUCF130701）

王久法（1987-），男，博士，E-mail：wangjiufa1987@sina.com；薛 开（1964-），男，教授，博士生导师；李秋红（1980-），女，博士。