基于“逻辑链”构建视野下的数学教学设计——以“勾股定理逆定理”一课为例

☉江苏省无锡市东林中学　杨　峰　周　薇



基于“逻辑链”构建视野下的数学教学设计——以“勾股定理逆定理”一课为例

☉江苏省无锡市东林中学杨峰周薇

数学学科与其他学科的最大不同，在于数学学科是以逻辑严谨而雄冠其他学科的.可见，一堂数学课如果设计的合情合理，如行云流水，是需要构建逻辑链的.以下笔者就以数学教学中最常见的新授课为例，以“勾股定理逆定理”教学为基础，谈一谈在构建逻辑链教学中的一些体会和想法.

勾股定理的逆定理是学生在学习了勾股定理的基础上，进一步学习的内容，是直角三角形的一个判定定理，是对直角三角形的再认识，它是通过代数运算“算”出来三角形是直角三角形，是学生体会“数形结合”这一数学思想的好素材，是初中数学几何部分一个非常重要的内容.在教学中渗透类比、转化、从特殊到一般的思想方法，使学生亲自体验定理的发生、发展、形成的探究过程，真正培养学生的分析思维能力和推理能力.于是，如何有效地建立本课的逻辑体系成为上好这一节新课的关键.

一、知识链接为主线，实际应用为背景

1.复习回顾，孕育新知

问题1：（1）勾股定理的内容是什么？（2）如图1，利用勾股定理求出直角三角形中第三边的长度.

师生活动：学生代表回答，如出现错误请其他学生修正和补充，教师点评.

图1

2.创设情境，引入新课

问题2：如图2，工人师傅想要检测一扇小门两边AB、CD是否垂直于底边BC和门的上边AD，但他只带了一把卷尺，你能替工人师傅想办法完成任务吗？

图2

3.动手实践，得出猜想

问题3：古埃及人曾用下面的方法画直角，把一根长绳打上等距离的13个节，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩订成一个三角形，其中一个角便是直角，如图3.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？除了测量，可以证明吗？

设计意图：通过对已有知识的复习，建立链接，为新知识的学习做好铺垫和准备.

图3

二、实际情景为起点，师生活动作链接

问题4：（1）是不是只有三边为3、4、5的三角形才是直角三角形呢？

（2）分别以“6、8、10”，“5、12、13”为三边作三角形，测量并说出该三角形的形状.这些三角形的三边都满足什么样的数量关系？把我们得到的结论用文字语言叙述出来.

师生活动：学生再一次动手操作，体验观察，在此基础上做出合理的猜想.教师深入小组参与活动，帮助指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题：如果三角形的三边a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

通过动手实践，学生体会命题的形成过程，自然得出勾股定理的逆定理，在这一过程中渗透了由特殊到一般的研究问题的方法，既锻炼了学生的实践和观察能

力，又渗透了人文和探究精神.

1.探究证法，形成定理

问题5：你能对得出的命题进行证明吗？

已知：如图4，在△ABC中，AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2.

图4

求证：△ABC是直角三角形.

师生活动：学生画图，写出已知，求证，先独立书写证明过程，然后在小组间交流，教师参与小组活动适时诱导，最后小组派代表上台展示.教师板书勾股定理逆定理的内容，学生齐声回答.

通过上面铺垫，在本命题证明中构造直角三角形的过程尽量交给学生完成，让学生在不断地尝试与探究过程中亲身体验参与发现的愉悦，从而有效地突破难点.

三、尝试应用相交融，盘根错节构认知

1.尝试应用，巩固新知

（1）判断由下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形.

①a=15，b=8，c=17；

②a=13，b=14，c=15.

学生说出问题①的判断思路，教师板书问题①的详细解答过程，及时纠错，问题②请部分学生板演，最后总结运用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形的三步骤：找，算，判.通过构建逻辑链，进一步熟练和掌握勾股定理的逆定理及其应用，顺势引出勾股数的概念.

勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数构成一组勾股数.

（2）小游戏：①以小组为单位，找出常见的勾股数，越快越好.

②小结：如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.学生通过小组合作找到尽可能多的勾股数，教师关注学生是否真正理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足两个条件：首先，三个数为边长的三角形是直角三角形；其次，三个数是正整数.

（3）综合运用：如图5，在四边形ABCD中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

图5

学生独立完成，每组四号同学上黑板完成，教师巡视，了解学生掌握情况，二号同学点评，最后师生总结.

2.小结梳理，内化新知谈谈这节课的收获：

（1）学会了勾股定理的逆定理的证明方法.

（2）能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.

（3）识记了一些常见的勾股数.

（4）体会到类比、转化、数形结合等思想方法在数学中的应用.

四、生活数学巧关联，逻辑链接回头望

本堂课在教学设计时，注重了新课本身的逻辑内涵，笔者认真分析教材，对教学内容、目标、问题诊断、教学条件支持等方面分析到位，精心处理教材，设置的教学目标充分考虑学生的认知水平，创设学生熟悉的情境，以问题串的形式导引学生进行合作、交流、探究，有效保证教学目标的达成.课堂上学生积极主动，全员参与得力于授课教师选择恰当的教法；得力于所设计的问题层次分明、富有挑战性；本堂课巧妙化解难点，通过教学活动鼓励学生自己探究，让学生真正去思考、去尝试，让学生变得更会思考了，解决问题的能力也加强了，有利于学生主动学习，真正体现学生的主体地位和教师的主导地位.

八年级学生正是由实验几何向推理几何过渡的重要时期，学生知识增多，能力增强，然而学生的思维局限性还很大，能力也有差距，勾股定理的逆定理的证明方法，要求根据已知条件构造一个直角三角形.正是根据以上的情形，笔者注重对于知识生成的自然关注，让新知识在旧知识的基础上“生长出来”，螺旋上升，形成逻辑链接，显得自然且易于被学生掌握和吸收.

但实际教学中，逻辑链构建的本质是加强知识之间的自然联系，完善学生的认知结构，启迪学生将逻辑链进行自然延伸，培养学生发现问题和探究问题的意识.基于以上的认识，笔者在教学设计中增加了内化的过程，课堂教学思路清晰，课堂教学流程设计科学合理，先从实际生活中遇到的问题出发引出勾股定理的逆定理的数学模型，然后通过动手实践、得出猜想、探究证法、形成定理、尝试应用、巩固新知、小结梳理、内化新知，整个流程比较流畅、自然.教学中，笔者针对学生出现的问题能恰当地点拨指导，规范解题格式，有效地提高学生的解题能力，同时在课堂教学过程中能注重数学思想和方法的渗透，强调模型思想和符号感，对问题的阐述基本上能做到准确无误，能指导学生全面归纳规律、方法，让不同的学生都有一定的收获、得到不同的发展，较好地完成了本节课的教学任务.

值得注意的是，生活情境的引入，起到的不仅仅是激趣的作用，更多的时候在课堂上作为数学知识链接的“链接点”出现.尽管这种链接“黏合力”可能并不强，但是一旦与生活情景结合以后，就充满了生活气息，学生也能够感受到时时处处都有数学的影子.本课在教学中的另一个尝试是恰当利用多媒体，使问题形象化、直观化，增强了学生的参与程度，提高课堂教学效率；在探究找勾股数时用到了几何画板，教学中采用问题教学法和探索发现法，用层层推进的提问启发学生通过深入思考和主动探究获取知识，使学生真正成为教学的主体，让他们充分体会参与的乐趣和获得成功的喜悦.可见，逻辑链的使用和尝试，犹如一贴强力的“黏合剂”，有效地打通了思维脉络，使课堂本身更具严谨性，同时也散发着勃勃的生机.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书（数学八年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.