一个不可测集的构造

焉志豪

[摘 要] 利用Zermelo选择公理，构造一维空间中的一个Lebesgue不可测集，计算不可测集的内、外测度.该不可测集的构造不依赖于Lebesgue测度的平移不变性.

[关 键 词] 不可测集；稠密集；Caratheodory条件

[中图分类号] O174.1 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）03-0171-01

在实变函数理论中，通常不可测集的构造除了利用Zermelo选择公理，还需利用Lebesgue测度的平移不变性；此外，不可测集的内、外测度并未具体求出.本文的目的是仅利用Zermelo选择公理但不依赖于Lebesgue测度的平移不变性具体构造一个不可测集，同时也计算出集的内、外测度.

在实变函数理论中，关于可测集的刻画有下列重要结果.R中的子集E为可测集的充要条件是：对任何一个集合A，等式m*A=m*（A∩E）+m*（A-E）（8）成立.條件（8）称为Caratheodory条件，该条件也是抽象测度理论中刻画可测集的充要条件.

根据上述定理，若E为不可测集，一定存在一个集合A，使得条件（8）不成立.

参考文献：

[1]郑维行，王升望.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]夏道行，吴卓人，严绍宗，等.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.