简谐激励下板壳结构加强筋仿生布局降噪方法

滕晓艳， 江旭东， 邹广平， 史冬岩

(1.哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨　150001； 2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨　150001；3.哈尔滨理工大学 机械动力工程学院，哈尔滨　150080)



简谐激励下板壳结构加强筋仿生布局降噪方法

滕晓艳1,2， 江旭东1,3， 邹广平2， 史冬岩1

(1.哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨150001； 2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨150001；3.哈尔滨理工大学 机械动力工程学院，哈尔滨150080)

摘要：分析叶脉脉序形态的形成机理及构型规律，提取叶脉脉序生长的结构力学准则。以最小弹性应变能与抑制最大剪应力为主及次脉生长准则、以矢量平衡方程为脉序分歧准则建立具有叶脉分枝结构特征的板壳加强结构仿生设计模型。以降低谐振结构声辐射为目标，利用相似原理提出适合板壳结构加强筋布局设计的仿生脉序生长算法。并用典型薄板结构进行加强筋分布设计，验证板壳加强结构仿生布局方法在降噪中的可行性及有效性。

关键词：板壳结构；仿生脉序；简谐激励；加强筋布局；降噪

板壳结构作为汽车、船舶、飞行器等装备的基本组成部件，也是产生、传递振动的主要载体。板壳加筋可增强机械系统的动态稳定性，减少振动产生的声辐射，降低噪声。加强筋布局形式对结构辐射噪声水平影响显著，通过对结构质量、刚度及阻尼进行布局优化可改善其声振性能，因而颇受关注。

随拓扑优化方法逐渐成熟，通过数学规划法进行加强筋布局优化研究，可降低指定区域声压或结构的辐射声功率水平。杜建镔等[1-2]针对两种不同力学性能材料组成的薄板结构，以结构声辐射功率或声场中指定区域场点声压最小化为优化目标，通过变密度法获得薄板结构材料的最优分布形式。Bojczuk等[3-4]将Kirchhoff板布局优化问题转化为非自伴随问题，通过拓扑导数法对直线加强筋与B样条曲线形状加强筋进行拓扑优化设计。Liu等[5]利用材料导数法及伴随变量法构造Hilbert空间内形状梯度函数，优化加强筋自由边界的轮廓形状。张卫红等[6]研究面向非规则有限元模型的薄壁结构加筋布局设计方法，提出实现平面与曲面加筋结构拉伸方向约束定义的新方法，探讨几何背景网格与加筋设计有限元网格尺寸关系。刘海等[7]以最小辐射声功率为优化目标，利用变密度拓扑优化方法获得简谐激励下板壳结构加强筋的最优布局。而将生物进化方法与拓扑优化方法融合，已有基于准则法的加强筋仿生布局优化方法。丁晓红等[8-9]在对根系分枝系统形态最优性及成长机理研究基础上提出薄板结构加强筋自适应成长设计方法，分别求解结构布局的刚度与频率优化问题。季金等[10]对启发式优化算法进行改进，通过优化准则建立满足KKT条件的板壳结构加强筋自适应成长设计方法。岑海堂等[11-12]通过分析植物叶脉构型规律，采用结构仿生方法提出仿生型飞机盖板筋板及机翼结构，确定加强筋最佳分布位置。薛开等[13]根据双子叶植物叶脉脉序形成的结构力说提出仿生脉序生长算法，并对板壳结构进行加强筋分布设计。

板壳加强结构本质上为具有分枝构型的板梁复合结构，基于数学规划法的加强筋布局优化方法虽可获得薄壁结构沿厚度方向材料的最优分布形态，但缺乏加强筋布局形式与最优传递路径间清晰的对应关系。植物叶脉分枝结构与板梁复合结构具有生物相似性，虽有对板壳加强结构静、动力学特性优化的仿生拓扑法，但对抗振板壳结构的仿生拓扑优化研究较少。因此，本文借鉴叶脉脉序生长形态最优性原理，以结构声辐射功率为设计目标，提出简谐激励下板壳加强筋结构仿脉序布局的降噪方法。

1板壳加强筋结构振动声辐射优化模型

在结构-声辐射计算中，设加筋板镶嵌于无限大障板上，只考虑板壳结构上表面与流体接触，加强筋仅影响结构振动。在单频谐振载荷作用下半空间内辐射声强可表示为

(1)

式中：ω为激振频率：Is为场点辐射声强：V(Q)为板壳结构上表面Q处质点振动速度：Vn(R)为上表面R处质点法向振动速度：r为质点Q与R的欧式距离：k，ρ为流体波数及密度。

板壳振动辐射声场中，将近场辐射声强在板壳结构上表面积分，得振动板壳总辐射声功率为

(2)

考虑辐射声功率为激振频率的函数，将声辐射功率在一定频段下的平均值定义为目标函数，则声辐射优化方程为

(3)

式中：ωn，ω1为频带上、下限；Vm，Vs为加强筋主、次脉体积用量；V0为加强筋总体初始体积；ηm，ηs为加强筋主脉、脉体积约束因子。

2板壳结构加强筋布局仿生脉序生长算法

植物叶脉的分布形态具有等级、网状结构特征，主、次脉相互倾斜、交错、分歧以承受环境载荷作用。一般认为，叶脉的承载能力由三级脉序决定，主脉尺寸最大，承受绝大部分载荷，各级次脉尺寸依次减小，承载能力逐级下降[14]。植物形态力说认为，叶片内部生长诱发的弹性应力场能为叶脉生长提供力学环境，在叶脉形成过程中，由于生物体变形速度远小于力信号传播速度，因而认为各级脉序的成长过程近似为准静态过程[15]。植物叶脉形成过程包括分化、重塑两阶段，主、次脉等各级脉序在分化阶段形成雏形后在黏弹性阻力作用下重塑，形成几何构型与分布形态[16]。因此，植物脉序分布形态、成长机理与加强筋布局设计具有相似性。本文借鉴植物脉序分枝结构特征，提炼加强筋主、次脉生长准则，以谐振结构声辐射功率为目标进行抗振板壳加强结构的仿生研究。

2.1基于最小弹性应变能的主脉生长准则

在叶片内部黏弹性应力场作用下主脉的平衡构型可理解为脉序细胞在形成层固定通道中能量损耗最小化结果。若将主脉生长过程的能量流理解为结构的弹性变形能，则主脉几何构型与分布形态具有能量最优性。在单频简谐激励作用下，板梁复合结构速度与位移谐响应关系为V=jωu(ω)ej(ωt+φ)，谐振结构弹性应变能幅值为U(ω)=uT(ω)Ku(ω)/2。谐振结构弹性应变能与辐射声功率具有正相关关系，因此，以弹性应变能最小化的主脉生长准则作为加强筋主体布局准则更合理。

谐振结构弹性应变能按载荷激振频率随时间周期性变化，为有效抑制结构振动、降低声辐射功率，本文按单频简谐激励作用下弹性应变能幅值计算板梁复合结构的平均弹性应变能，优化主脉脉序布局。优化频带内，板壳加强筋结构平均弹性应变能为

式中：u(ω)为谐振结构节点位移幅值列阵；K为总体刚度阵。

无阻尼情况下板梁复合结构振动方程为

(K-ω2M)φ=0

(5)

式中：ω，φ为结构固有频率及归一化振型；M为质量阵。

设主脉梁候选单元i的生长前后结构各变量下标可分别用0、1表示，略去Δωi二阶小量，则式(5)随结构拓扑改变的增量形式为

(6)

式中：ΔK=K1-K0；ΔM=M1-M0；Δφi=φ1i-φ0i。

据式(6)，主脉候选梁单元i生长后归一化振型为

(7)

通过Rayleigh阻尼模型描述板梁耦合结构的黏性阻尼效应，有

C1=αM+βK

(8)

式中：C1为结构阻尼矩阵；α，β为质量、刚度阻尼因子。

鉴于固有振型对刚度、质量及阻尼矩阵的正交性，则有

(9)

式中：ζ1i为与ω1i对应的模态阻尼比。

由此，将式(9)代入谐振结构动力学方程，得结构的频响函数矩阵为

(10)

谐振结构位移列阵表示为

u1(ω)=Hu1(ω)F(ω)

(11)

式中：F(ω)为简谐外载荷列阵。

主脉候选梁单元i生长后的谐振结构平均弹性应变能为

(12)

联合式(4)与式(11)，主脉候选梁单元i生长前后谐振结构平均弹性应变能增量为

(13)

2.2基于抑制最大剪应力的次脉生长准则

植物形态力说认为，次脉生长类似树干纤维成长，皆沿释放剪应力方向，因此采用抑制最大剪应力作为次脉生长准则。在优化频率范围内，次脉待生长点i的平均最大剪应力可定义为i节点周围局部区域内最大剪应力在频带内的平均值，即

(14)

式中：τi(ω)为次脉待生长点i的最大剪应力；m为i节点周围单元个数；n为优化频率区间平分份数。

据加强结构在次脉候选梁单元i生长前后的位移增量Δu，提取次脉待生长点位移增量Δu′，即

(15)

式中：Fv为位移增量Δu′的虚拟外载荷列阵。

据谐振结构动力学方程，有

(16)

将式(16)代入式(15)，则次脉待生长点位移增量可表示为

[Hu1(ω)F(ω)-Hu0(ω)F(ω)]

(17)

由式(17)，次脉待生长点应力增量为

Δσ=DBΔu′

(18)

式中：D，B为板梁复合结构材料、应变矩阵。

由式(18)，次脉待生长点的平均最大剪应力为

(19)

由于次脉生长用以有效的释放生长处局部最大剪应力，则可由式(17)、(19)确定次脉待生长点在候选次脉梁单元生长前后的平均最大剪应力变化量，剪应力削减最大待生长点即可确定为次脉的下一生长点。

2.3脉序分歧矢量平衡

叶脉形成的分化阶段，主、次脉在生长准则约束下依次生长形成闭环结构；重塑阶段脉络在分歧处会微调脉序方向及宽度尺寸，脉序分歧调节原理见图1。

图1　脉络分歧处的矢量平衡Fig.1 Vector equilibrium at junction of leaf veins

由此，脉序在分歧处的矢量平衡方程为

(20)

式中：di为分歧处各段脉序宽度；ei为脉序横截面单位外法向矢量； fi为分歧处各段脉序宽度矢量。

2.4优化流程

加强筋生长算法主要包括程序初始化、主次脉生成子程序及脉序光滑子程序，见图2。其中，对叶脉生长的分化阶段，建立板梁复合结构有限元模型，获得加强筋脉序生长能量、应力场；根据载荷作用点与位移边界条件配置主脉种子位置，利用最小应变能原则确定主脉分布构型；依据最大剪应力原则在主脉上配置次脉种子位置，利用抑制最大剪应力原则确定次脉分布构型。对叶脉生长重塑阶段，利用最小二乘法光滑加强筋脉序的分布构型，通过矢量平衡控制方程修正脉序分歧处宽度及方向。

图2　脉序生长算法流程图Fig.2 Flow chart of vein growthalgorithm

3数值算例

板壳结构声辐射优化加强筋布局形式多为正交、等间距、垂直排列的分布构型，为对比传统与仿生的降噪效果，分析四边简支方板及对边固支圆孔方板在两种加强筋布局形式下的声辐射功率及相同体积约束下的噪声水平与降噪能力。

3.1四边简支方板

方形薄板四边简支，板中心处受集中简谐载荷作用，见图3，传统加筋强化方式为正交布局，见图4。方板边长L=0.8 m，厚t=0.01 m，加强筋主脉初始宽度dm0=0.01 m，高hm0=0.016 m，次脉宽ds0=0.005 m，高hs0=0.016 m，主脉体积约束量0.2V0，次脉体积约束量0.1V0，简谐激励力幅值Fa=1 N，材料弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，声速c=342 m/s，空气密度ρa=1.21 kg/m3，声功率参考值W0=10-12W，优化频段ω=0～1 200 Hz。

选4组不同种子作为主脉加强筋初始成长点，见图5，种子选择对加强筋分布具有显著影响。其中图5(a)为主脉从中心处向基板边界对称生长，结构应变能为U1=2.09×10-3U0，U0为基板应变能。图5(b)为主脉从基板中心附近沿对角线平行方向对称生长，结构应变能为U1=9.07×10-3U0。图5(c)为主脉从基板4边角点向中心区域对称生长，结构应变能为U1=6.05×10-3U0。图5(d)为主脉从基板4边中点向中心区域对称生长，结构应变能为U1=4.14×10-3U0。在主脉相同体积用量约束下，对比主脉脉序形成后的板梁复合结构弹性应变能，具有最小弹性应变能的复合结构即为具有最优主脉脉序布局加筋结构。因此，图5(a)即为遵循弹性应变能最小准则的主脉加强筋最优布局。

图3 四边简支方板Fig.3Squareplatewithfoursimplysupportededges图4 正交加强筋板Fig.4Platestructurewithorthogonallayoutstiffer

图5　选择不同种子时四边简支方板加强筋主脉分布Fig.5 Stiffer layout of primary vein in four simply supported square plate byselecting various seeds

主脉以基板中心作为生长点，次脉以主脉的剪应力极大值点作为种子位置，在主脉上沿释放剪应力方向分岔生长，且主、次脉遇到结构简支边界后停止生长，见图6(a)。通过对初始脉序拟合及脉络分歧点处矢量平衡处理，获得加强筋分布构型，见图6(b)。

与基板结构(图3)相比，仿生优化结构(图6(b))声辐射功率峰值显著下降，且向高频方向移动；与传统正交加筋结构(图4)相比，仿生优化结构最大声辐射功率下降约10dB，且在优化频带内的平均声辐射功率减少约6.2dB，见图7。因此，加强筋仿脉序分布构型质量与刚度分布更优，相同体积约束下仿生布局设计的减振降噪性能更优。

图6　加强筋仿脉序布局Fig.6 Stiffer layout of bionic vein

图7　声辐射功率对比Fig.7 Sound radiation power for comparison

3.2对边固支开孔方板

正方形薄板边长L=0.4 m，厚t=0.04 m，板中心开直径d=0.1 m圆孔，边界条件为对边固支，见图8。传统正交加筋强化结构见图9。加强筋主脉初始宽dm0=0.006 m，高hm0=0.01 m，次脉宽为主脉一半，高与主脉相同，主脉体积约束量0.2V0，次脉体积约束量0.1V0。简谐激励力分别反向作用于左右边界中点，幅值Fa=1 N，材料弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，声速c=342 m/s，空气密度ρa=1.21 kg/m3，声功率参考值W0=10-12W，优化频段范围ω=0～1 200 Hz。

图8 对边固支开口方板Fig.8Holedsquareplatewithoppositepinnededges图9 正交加强筋开口板Fig.9Holedsquareplatewithorthogonallayoutstiffer

按主脉种子数量及位置的弹性应变能最小准则，主脉种子设置在四个角点及载荷作用处，基板+主脉结构具有最小弹性应变能。主脉从4个角点出发终止于圆孔处的自由边界，并与始于载荷处的主脉互相连接；次脉沿主脉上剪应力极大值点生长，终止于固支边界，见图10。

图10　加强筋仿脉序布局Fig.10 Stiffer layout of bionic vein

与传统正交加筋结构(图9)相比，仿生优化结构(图10(b))的最大声辐射功率下降约6.4 dB，其优化频带内的平均声辐射功率减少约4.7 dB，见图11，结构振动噪声得到有效抑制。因此，仿生布局设计具有更优的质量与刚度分布，减振降噪效果显著。

图11　声辐射功率对比Fig.11 Sound radiation power for comparison

4结论

针对板壳加强结构的减振降噪，借鉴叶脉分枝结构特征，利用相似原理，研究抗振板壳结构的加强筋仿生设计方法，结论如下：

(1)叶脉分枝结构具有等级及闭环特点，对环境载荷的适应性与结构效能具有相似性。提取叶脉脉序生长的结构力学准则，建立加强筋脉序的生长准则与分枝准则，提出谐振板壳结构加强筋仿生布局的降噪设计方法。

(2)以最小应变能及抑制最大剪应变为生长准则，以矢量平衡方程为分歧准则，实现加强筋布局的等级优化；加强筋分布主次分明，板梁结构降噪效能增强显著，且适合加工。

(3)用板壳结构加强筋布局设计的仿生脉序生长算法探索中高频振动薄壁结构的声辐射优化仿生，可为板梁复合结构动力学仿生设计提供新的研究途径。

参 考 文 献

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Bionic approach for stiffener layout on plate and shell structure under harmonic excitation for noise reduction

TENGXiao-yan1,2,JIANGXu-dong1,3,ZOUGuang-ping2,SHIDong-yan1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China；2. College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China；3. School of Mechanical Engineering, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

Abstract:A structural mechanical criterion for leaf vein growth was extracted by analyzing the leaf venation morphogenesis. A primary vein growth was governed by the minimal elastic strain energy while a secondary vein growth by the releasing of maximal shear stress. At each junction, leaf veins were oriented and their widths were set according to a vector equilibrium equation. A bionic design model of reinforced plate/shell structure was established with the feature of leaf vein branched structure. By using the similarity principle, a bionic venation growth algorithm was presented to address the stiffener layout design for plate/shell structures to mitigate structural acoustic radiation. Taking typical thin plate structures for instance, the stiffener layout designs were implemented to verify the practicability and effectiveness of the bionic venation growth approach in noise reduction.

Key words:plate/shell structure; bionic venation; harmonic excitation; stiffener layout; noise reduction

中图分类号:TH535

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.001

通信作者江旭东 男，博士，讲师，1977年12月生

收稿日期：2015-04-09修改稿收到日期：2015-08-26

基金项目：国家自然科学基金项目(51505096)；黑龙江省自然科学基金项目(E2015026)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(HEUCF150701)

第一作者 滕晓艳 女，博士，讲师，1980年6月生