慧眼识“圆”，突破解题壁垒
2016-04-23金惠忠
金惠忠
摘 要：部分和圆相关的高考试题，将圆隐藏在已知条件中，不易被学生发觉，这增加了学生解题的难度. 本文整理分析了圆作为隐蔽条件的几种形式，以此帮助学生突破解题壁垒.
关键词：高考；圆；隐藏；数形结合
在近几年各地的高考试题中，笔者发现和圆相关的试题时有出现，同时部分试题将圆隐藏在已知条件中，以隐性的形式出现. 解题时，若能根据已知条件及时发现这些隐藏的圆，就能找到突破口，从而使问题得以迅速解决.
遇直角條件，可用圆
平面几何中的一个基本性质，圆的直径所对的圆周角是直角. 当遇到直角或垂直条件时，应考虑到直角三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，利用这样的圆可以辅助解题，达到事半功倍的效果.
例1 （2014年高考北京卷文科第7题）已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为
（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
解析：由条件∠APB=90°可知，点P的轨迹是以O为圆心，以AB为直径的圆. 又点P在圆C上，故P为圆C和圆O的公共点. 如图1所示，当圆C和圆O的位置关系为外切时，m取得最大值，此时圆心距OC等于两圆半径之差，即OC=m-1=5，得m=6，故选B.
例2 （2013年高考安徽卷理科第13题）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.
解析：由题意可知，A（-，a），B（，a）.
由∠ACB=90°可知，点C在以AB为直径的圆上，设为圆M，
则M（0，a），半径r=，则圆M的标准方程为：x2+（y-a）2=a.
又点C在抛物线y=x2上，故由方程组y=x2，
遇到“PA=tPB”条件， 慧眼识圆
已知两定点A（-a，0），B（a，0），动点P满足PA=tPB（t>0，t≠1），则点P的轨迹是圆.
证明：设点P（x，y），由PA=tPB，得=t，
如果动点与两定点连线长度存在倍数关系，且倍数不为1，那么动点的轨迹是圆，利用这个结论，慧眼识“圆”，就能使问题迅速得以解决.
例3 （2008年高考江苏卷第13题）满足条件AB=2，AC=BC的△ABC的面积的最大值为__________.
解析：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图2所示，则A（-1，0），B（1，0），设点C（x，y），由AC=BC，得=，
化简整理得，（x-3）2+y2=8，
根据题意，A，B，C三点不共线，故y≠0，故点C的轨迹方程为（x-3）2+y2=8（y≠0）.
所以点C在以M（3，0）为圆心，半径r=2的圆上.
因为AB在x轴上，当点C距离x轴越远，△ABC的面积越大，
.
例4 （2013年高考江苏卷第17题）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上.
（1）若圆心C也在直线l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使得MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解析：（1）略.
（2）由于圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，故可设C为（a，2a-4），
故圆C的标准方程为（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1.
设M为（x，y），根据MA=2MO，得=2，整理得
x2+（y+1）2=4，故点M的轨迹是以D（0，-1）为圆心，以2为半径的圆.
所以点M既在圆D上又在圆C上，即圆D和圆C有公共点，
遇到二次方程条件，构造圆
圆方程的代数形式为二元二次结构，利用圆方程的这样一种结构特征，当遇到已知条件中具备二次方程结构特点时，可考虑构造圆，以达到顺利解题的目的. 事实上这也是数形结合、转化与化归思想的重要体现.
例5 （2014年高考浙江卷文科第16题）已知实数a，b满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是__________.
解析：将a视为常数，b，c视为方程的未知数，已知条件可等价转化为，直线b+c+a=0和圆b2+c2=1-a2有公共点，故圆心O（0，0）到直线b+c+a=0的距离小于等于半径，即≤，解得-≤a≤，所以a的最大值为.
例6 （2013年高考湖南卷理科第10题）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为____________.
解析：令x=a，y=2b，t=a2+4b2+9c2，
已知条件可转化为，直线x+y+（3c-6）=0和圆x2+y2=t-9c2有公共点，
+12≥12，当且仅当a=2，b=1，c=时取等号，故a2+4b2+9c2的最小值为12.
本文旨在通过分析近年来和“隐圆”相关的高考试题，培养学生注重对问题中条件的转化与化归，加强数形结合思想的运用，迅速识别问题中隐藏的圆，帮助学生突破解题壁垒.
