对一类构造基本不等式的解题反思

李带兵

摘 要：基本不等式在课程标准中的要求是C级的，它是高考中的考查热点，常作为压轴题出现. 有一类关于构造基本不等式的题型在这种问题中属于难点问题，不易克服；但如果寻根探源，不难发现复杂的问题背后隐藏着一个非常简单的本质.

关键词：基本不等式；构造思想；解题；反思

数学的美丽不仅在于它的逻辑性，而且在于它的渐变性. 一道难的问题，往往隐含着一个非常简单的本质. 基本不等式常作为高考填空题的压轴选项，而难倒了各路“英雄”. 在这类题目中有一类关涉构造基本不等式的题型，常见于各大调研考试的试卷或各省的高考试卷中，对于它的归纳与总结有利于学生掌握这类问题的处理方式.

调研试题，引发反思

众所周知，基本不等式中有最值定理，简单点讲即和为定值积有最大值；积为定值和有最小值. 但作为高考和各大市压轴的填空题出现的基本不等式，往往就不是最值定理的运用那么简单.它需要挑战学生思维的灵活性，往往会有构造思维在其中的运用. 苏州市2015届高三第一学期期末考试的一道有关基本不等式的压轴填空题，引发了笔者对构造定值类的基本不等式的解题反思.

例1 已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为__________.

解析：从表达式直观看来，并不存在和为定值或积为定值的形式，因此解决问题首先需要对表达进行相关处理.根据分式的性质可知，当分子项的最高次数大于等于分母的最高次数时，可以采用常数分离的数学方法处理. 化简后表达式为1++，根据基本不等式的最值定理可知，表达式有最小值，必须存在积为定值. 因此解题的关键转化为构造表达式中积为定值.

反思：在求解最小值的整个过程中，由于两式分母之和a+b+1=3，所以将+乘以a+b+1再除以3，跟原表达式等价，展开后可得到2+，两式这积为定值，根据基本不等式的最值定理，可求最小值. 能够这样处理的原因，在于两式分母之和为常数，因此，在解决诸如此类的问题可研究表达式的分母是否为常数，若为常数即可做乘以分母之和这样的处理，以构造积为定值.

寻找源头，探究根本

对于这类构造基本不等式的题型，有着深刻的理论基础和最本质的题目源头；它有理论根据可依，有规律可循，因此可按照规律总结根本的解题策略和步骤.

1. 寻找题目源头，发现解题理论依据

重新审视上述问题解决的关键步骤：1++=1+

（a+b）=2++，通过这1的代换来构造+的形式. +这种形式最突出的特点是两项之积为定值，对于积为定值的情况，可用基本不等式的最值定理求解最小值. 可以说上述调研试题是这种1的代换逐步演变过来的，1的代换是上述调研试题的原型. 两者所不同的是课本的例题是1的直接代换，而这道调研试题需要利用题设所给条件构造1. 因此，利用1的代换，构造和为定值或积为定值是突破这类问题的关键点.

在基本不等式中存在两类最值定理，即和为定值时积有最大值；积为定值时和有最小值.所谓和为定值时积有最大值是指“若正数x，y满足x+y=p，则xy有最大值”；所谓积为定值时和有最小值是指“若正数x，y满足xy=p，则x+y有最小值2”. 反思这整个解题过程，不难发现解决这类问题最终的步骤都脱离不了基本不等式的最值定理，因此如果将1的代换看成是这类问题解决的突破口，那么最值定理就可以看成解决这类问题的最终的手段.

窥视问题本质，总结解题策略方法

透过上述理论分析，我们可以断定形如调研试题的问题的本质就是1的代换，我们的策略就是通过给目标表达乘以一个代表1的数学表达式，从而将目标表达式转化成乘积为定值的两个式子这和. 对于这种本质的认识可以将其抽象成这样的数学语言：“正数x，y满足x+y=k，那么形如+的最小值可通过如下构造的方式来求解，即+=

针对上述有关问题本质方面的认识，可以将这类问题的解题步骤具体归纳为如下几步：首先，对待求表达式，进行变形，常用的处理方式有常数分离、利用分式的性质将分子的表达式除到分母上；第二，观察变形后的表达式的两项的分母之和是否为常数，若不是常数，则根据分母的式子，调整题设中所给的定值表达式；第三，将变形后的待求表达式与调整后的定值表达式相乘，并调整系数；第四，利用基本不等式的最值定理求解待求表达式的最小值.

能力拓展，知识迁移

理论总结的目的是为了更好解决问题，但它也仅仅是抽象出了一种简易的模型，真实的问题是多变的，它或多或少与抽象的数学模型有些差距，要真正掌握处理这类问题的技能，需要用实际问题来锻炼自己思维.

1. 变式一：定值表达式为分式

例2 （镇江市2015届第一学期期末考试）已知正数x，y，满足+=1，则+的最小值是_______.

解析：从题设上看所给定值表达式由整式多项式变成分式多项式，但本质上仍然为两个整体之和为定值，因此需要做的处理是将待求表达式中的分母变成关于和的式子.

将多项式分子除到分母上，则+=+，易知分母和：1-+1-=1；所以原式=

反思：无论定值表达式是整式之和还是分式之和，解决这类问题的关键在于能够在待求表达式的分母中再现定值表达式中的元素，以便能够做1的代换并调整系数.

2. 变式二：“定值”表达式为不等式

例3 （苏锡常镇宿五市调研一）已知实数x，y，且x+y≤2，则+的最小值是_______.

解析：通常情况下，基本不等式给出的定值表达式是等式，思维的定式，会让学生在遇到给出“定值”表达式为不等式时，有些不知所措，但问题中1的代换的本质并未改变，所不同的仅仅是将原来的等量关系变成不等关系而已.

待求表达式中分母之和为x+3y+x-y=2（x+y），因为x+y≤2，则2（x+y）≤4；

在构造积为定值时，需要调整系数，即+≥

反思：当定值表达式为不等式时，在问题的本质上并未改变，问题在于学生能否转变思维的定式，从定值为等式的思维走出.

回顾整个解题心得，我们可以从理论与实践两个角度来再度认识这类问题. 从理论的角度来审视这一类构造基本不等式的问题，其实质乃1的代换的变形，它比最简单的1的代换要灵活，因为这类问题在构造1的过程中需要调整表达式的系数；从实际的问题来审视这类问题，有一个通性：待求多项式的每一项的分母都含有题设所给定值表达中的元素. 因此在处理这类问题时应当把握两个突破口：其一，对待求表达式的变形与处理的方向应当是：使表达式的每一项的分母中带有定值表达式中的元素；其二，正如文章第二部分数学模型总结的那样，在进行1的代换操作步骤时应当注意系数的调整，保证表达式与原表达式是等价的.