提升探究意识，优化探究方法

程金元

摘 要：习题课教学强调解题能力的培养和提高，但并不是意味在课堂中或课下要进行题海战术，而是要通过一些具有典型性、全面性的习题的探究，帮助学生形成一种学习方式，形成探究意识和方法，挖掘习题中隐藏的各种知识的网络关系，加强对知识的理解和掌握.

关键词：习题课；探究性学习；发散；化归；引申；变式

习题课是我们日常教学中很常见的一种课型，它是根据学生近期学习中对于概念公式性质等数学知识模糊，或数学思维数学方法模糊的学情，特定安排的有针对性的解题教学课程，是数学学习中的重要环节. 问题是数学的心脏，习题教学就是教师根据学生的平时作业练习中暴露的问题引导学生探究解题的方法和技能，并形成数学意识和方法. 通过探究，激发学生的学习积极性和提高解题能力，优化学生的思维方式，提升学生的探究意识和合作意识，激活思维，启迪智慧，增强学生的成功感和成就感. 它是新授课的补充和延续，以达到进一步巩固数学基础知识，形成解题技能、技巧和培养学生运用所学知识解决实际问题.

发散探究，一题多解

发散探究学习是教师在教学的过程中，指导学生以类似科学研究的方法去分析问题、解决问题，获取知识，形成能力，要求学生对问题能从不同角度进行探索，开阔视野，激活思维，也即是对同一问题尽可能地鼓励学生超越常规，提出多种设想和解答，一题多解的训练.它不仅可以加深学生对所学知识的理解，达到熟练运用的目的，更重要的是扩大学生认识的空间，激发灵感，提高思维的创造性. 如在上完《圆锥曲线》中双曲线一节的新课后，教师不妨在习题课中选择以下例题学习，通过探究性学习以达到既复习巩固旧知，又挑战高考的目的.

例1 [2014·福建卷]已知双曲线E：-=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求双曲线E的离心率.

（2）如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8. 试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.

分析（1）：已知渐近线求双曲线的离心率，一般学生会想到利用离心率公式直接解题，教师引导学生发散思维，联想其变形公式，会自然产生另一种解法.发散思维，使学生既掌握知识，又形成常见的解题方法.

解：方法一：（1）双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，

故=2，所以=2，所以c=a，所以e==.

方法二：e=====.

第（2）问本身的高考要求就是探究，要求考生在有限的时间内，根据题意及所学知识探究发现结论，这种要求只有在平时的习题课中加强训练，不断提升学生探究意识，优化学生探究方法，才能达到.

（2）存在这样的双曲线E，使得总与l有且只有一个公共点. 理由如下：由（1）知，双曲线E的方程为-=1. 探究方法，先特殊后一般. 先考虑特殊情况，即直线l与双曲线E在右顶点相切.不妨设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为-=1.

所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为-=1.

以上教师对同一问题尽可能地鼓励学生超越常规探究，提出不同的设想和解答，从而一题多解，不仅可以加深学生对所学知识的理解，达到熟练运用的目的，更重要的是扩大学生认识的空间，激发灵感，提高思维的创造性.

方法二：（1）同方法一.

（2） 当l⊥x轴时，S△OAB=8，可得l：x=2，且l与双曲线E：-=1有且只有一个公共点.

当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与渐近线4x2-y2=0交于A（x1，y1），B（x2，y2），依题意得k>2或k<-2.

化归转化，多题一解

化归与转化是中学数学中重要的思想方法. 学生在探究学习中研究或解决问题的过程中，通过观察、类比、联想、分析、对比等手段，将待解决的问题归结转换成已经解决或比较容易解决的问题，其目的就是将数学中的问题由复杂转化为简单，陌生新鲜的转化为熟悉成熟的. 运用化归转化探究时要遵循化繁为简、化生为熟、等价转换、正难则反、形象具体等原则. 如在学习完圆锥曲线一节后，习题中出现有多种不同类型曲线中点弦问题，教师不妨就这种问题设专题上习题课.

例2 已知双曲线方程2x2-y2=2.

（1）过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1，P2，当点P（2，1）是P1，P2中点时，求此直线方程.

（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2，且Q是Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

此类题有很多解法，其中比较优化的方法是“设点作差法”，即设弦与二次曲线的交点为（x1，y1），（x2，y2）代入二次曲线方程，通过作差，结合斜率公式、中点坐标公式，“设而不求”求直线方程的一种方法. 但也可以用“对称变换”法求解，具体如下：

解：（1）若直线斜率不存在，即P1，P2垂直于x轴，根据双曲线的对称性，知弦P1，P2的中点应该在x轴上，而点P（2，1）不在x轴上，故直线的斜率存在.

设双曲线方程2x2-y2=2①上一动点为（x，y），则该点关于点P（2，1）的对称曲线为

2（4-x）2-（2-y）2=2②，①-②得，2x-y-7=0，此为所求曲线方程.

“对称变换”解法转化策略为：若以点P（a，b）为中点的二次曲线分f（x，y）=0①的弦存在，则它关于P（a，b）的中心对称曲线为f（2a-x，2b-y）=0②，①-②得到的方程即是以点P（a，b）为中点的弦所在的直线的方程.

这种转化化归的思想方法，使学生不难发现解决第二问的办法.

中点弦问题（含中点弦所在直线方程，弦中点轨迹问题）都可以转化这种方法解决，当然，除此之外，还可以用“待定系数法”、“设点作差法”.

以下题目均为多题一解：

例3 已知抛物线y2=8x，过点P（4，1）作一直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点恰为点P的AB所在直线方程.

例4 求过椭圆+=1内一点P（2，-1）且被点P平分的弦AB的所在的直线方程.

引申推广，发现规律

这一环节可设计与本节知识有密切联系的综合应用题，使学生通过练习明确本节知识点在整个单元数学中的作用，为拓展学生智能进行教学扩充、知识延伸. 教师要在课前精心设计教学过程，从学生的学习兴趣出发，使学生在教师创设好的问题情境下，带有激励性和挑战性地进行自主学习，达到认知过程和情感过程的统一，达到夯实基础、学会方法、训练能力、培养素质的目的. 还是以中点弦问题为例.

例5 椭圆+=1（a>b>0）弦AB的中点P（x0，y0），则弦AB与OP斜率之积为e2-1（斜率存在且不为0）.

运用“设点作差法”，学生不难探究出以下结论：

通过探究，师生发现优美的公式定理. 然后，教师再利用以上结论，解决例4. 达到举一反三，回避题海战术的目的.

变式迁移，训练求同

学生对知识和技能的掌握，有时要经过反复训练才能熟练应用. 教学中，应引导学生对知识的变式训练，达到对本节练习知识熟练理解并形成正确迁移的功效. 只有在变式比较中，学生才能学会求同存异，才能学会一分为二地认识问题、分析问题、解决问题. 在变式中比较，从而突出教学重点，突破破教学难点，避免新旧知识间的混淆，提高学生知识的迁移能力，培养学生的反思能力. 变式训练探究，还应该通过对原题目的变化延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，从而深刻挖掘例题、习题的教育功能，培养学生的创新能力.

例2变式拓展1

已知斜率为3的直线与等轴双曲线x2-y2=6相交于P1，P2，求PP的中点P的轨迹方程.

例2变式拓展2

已知椭圆+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆上存在两个不同的点关于该直线对称.

例3的变式1

已知抛物线y2=2x，过点P（2，1）作一直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.

例3的变式2

已知抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，试求k的取值范围.

限于篇幅，部分例题及变式解法省略.总之，习题课探究中离不开发散、转化、引申、变式训练，由此促进学生迁移. 建构主义认为，迁移是认知结构在新条件下的重新建构，当一种学习对另一种迁移起促进作用就是正迁移，否则就是负迁移，这种习题教学中探究就是要充分使学生实现思维从模仿向创造的转移，由单向思维向多元思维的过度，形成正迁移，同时使学生不仅掌握知识，形成技能，而且提升数学思维水平，优化思维方法.