探究错源 合理纠错

何栋国 徐德泽

摘 要：很多学生容易把对数的真数写错，究其原因是对于真数的理解的偏差，由此反思我们平时纠错策略，如果缺乏权威性，学生便不足以信服；如果没有巧妙的手段，就不能迅速及时纠正错误；如果没有实实在在的措施，学生不能自觉纠错到极致；如果没有找对病因，便无法根除而出现反复. 因此，纠错应该从根上入手，从源头治理，才见成效，效果才能持久.

关键词：对数；基础概念；纠错；策略

每年担任毕业班教学时，都会发现学生的一些不良的解题习惯，有些习惯容易改变，有些习惯却很难改变，简直就是顽疾，比如对数的真数的书写“错位”，前边改了后边又犯了，按了葫芦起了瓢，很难改观. 有时笔者就怀疑是不是基础年级出了问题，因此便在高一教授对数部分新课期间，每年都去听课调研. 不过令人高兴的是大多数老师还是很注意对数的写法，处理很规范. 但是为什么学生到了高三还是写错呢？

初探对数真数的理解错位是书写错位的原因

对数的真数是谁？指数吗？这些问题很容易回答，而且都能正确回答. 但是我们的学生仍然在心里还是把真数默认为和一个幂的指数具有一样的地位，比如学生写“log25”，它写出来的是“log”，若写“ln5”，则更是厉害地写成“ln5”，简直就把5当成“ln”的指数了. 按照这样的思路推理下去，学生为什么总是习惯于把对数函数式，比如“log2（x+1）”写成“log”就不难理解了，因为学生们从心底上就把真数当成指数，而指数哪有加括号的？以后如果遇到诸如“函数f（x）=logx+2”时，学生再问：“老师，老师，这个地方是不是缺一个括号呀？”这也就不要大惊小怪了.

案例1 下面是高三期初模拟卷上的一道求函数值的题目：已知函数f（x）=log3x+2的定义域为（0，3]，则f（7）的值为__________.

本来以为这道题目不用评讲，可是试卷改出来之后，发现根本就不是想象的那回事，错了一大片. 在展示课上，特地邀请几位理直气壮的学生，谈谈自己的想法，发现他们的解法是：f（7）=log37+2=log39=2，一看就明白，这是把函数f（x）=log3x+2直接理解为“f（x）=log3（x+2）”，甚至有人还埋怨老师的试卷印刷质量有问题，漏掉括号了或者说2和x写得太近了. 而实质上，学生是因为书写错位，理解也错误，比如本题，学生习惯于写“f（x）=log”所致. 可见，对数的写法真的需要规范，真的需要真正搞懂真数的意义，纠错要从根上治理.

高中阶段纠错策略的新认识

1. 纠错应该有“强权威”

对充分条件的理解，大家往往都会从演义定义去理解，如子集意义，“推出”意义，特别是对于“推出”“p?q”的理解. 学生遇到“推出”通常会把它理解为像解不等式、解方程等，即把条件理解为不等式、方程，把结论理解为不等式或方程的解.

下面是一道让学生纠结的题目：

案例2 “x-a>0”是“x≥a”成立的

（ ）

A. 充分非必要条件

B. 充分必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分必要条件

错解：因为由x>a不能得出x≥a，故不是充分条件；

而x≥a能得出x>a，故为必要条件.所以选C.

本题实质上是对“p?q”的含义的理解，若直接讲解具有一定困难，学生不易接受，笔者在教学时进行如下设计：

教师：这道题你们为什么会认为正确答案是必要非充分条件？

学生：由“x-a>0”推不出“x≥a”.

教师：那么什么是“推出”呢？谁来解释一下“p?q”的含义？

学生：沉默……

教师：在遇到一个自己弄不懂的概念时，我们应该做什么？

学生：请教老师，请教同学.

教师：错，应该请教教材，教材才是最权威的.

学生：（学生才想起来翻阅教材）若p，则q为真，记为“p?q”.

教师：你能用自己的话将其解释得更通俗易懂吗？

学生：若p真，则q为真.

教师：你能用“推出”的本意来解析题目的意思吗？

学生：如果x∈（a，+∞），那么x∈[a，+∞），所以是充分条件；但是当x=a时，a?（a，+∞），即x≥a不成，所以是不必要条件.

可见，有些错误之所以总是改不了，或许是因为没有认真看书所致，对教材不熟悉，不清楚概念的原始定义，理解概念仅仅靠查看总结好的经过演义加工的复习资料，这是当前高三复习的通病，这些概念的纠错只有从本源出发，才更有说服力.

2. 纠错应该有“巧手段”

案例3 导数的单调区间问题往往出现两个单调性相同的区间并列书写的情形，学生常常错用 “∪”，

而且这种现象反反复，屡禁不止.笔者在处理这些问题的时候，一般都会做出一些小规则，用这些规则约束学生自觉回避“∪”. 我们再来看下面一道练习：已知函数f（x）=x3-3x2-3x+2，求函数y=f（x）的单调区间__________.

故函数在（-∞，1-），（1+，+∞）内单调递增，在（1-，1+）内单调递减.

我们在求单调区间的时候，都会涉及解不等式. 在教学中发现，不少学生求不等式f ′（x）>0的解集最喜欢把解集直接写成区间的形式，如f ′（x）>0，解得（-∞，1-）∪（1+，+∞），但是这样一来，在书写函数的单调增区间的时候，学生就会产生一种困惑，为什么前面可以写成“∪”而书写单调区间却不能？虽然这个问题很幼稚，但是我们还是要想出一种方法，让他们问不出来. 因此，笔者建议学生在解不等式f ′（x）>0时，其解集最好写成不等式的形式，暂时不要改写成区间，减少“∪”的使用率.

再如下面这道典型易错题：若等比数列公比为q，前n项和为Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q=________.

这道题最容易忘记对公比分q≠1及q=1来讨论，致使产生了增解q=1. 不过本题如果分类讨论，过程也很冗长. 笔者的建议是采用整体的思想，从Sn的本义出发，即Sn=a1+a2+…+an. 比如2Sn=Sn+2+Sn+1相当于2Sn=（Sn+an+1+an+2）+（Sn+an+1），容易得到2an+1+an+2=0，所以q=-2.

3. 纠错应该有“实措施”

案例4 大家知道，利用均值不等式求最值最容易出现的一种错误，就是辛辛苦苦求出来的结果却不是真正的最值. 像这样的错误，每次都在分析错因，学生也搞得很明白，但是总免不了出错. 下面是一道典型的易错题：若正数x，y满足x+2y=1，则+的最小值是__________.

错解：1=x+2y≥2，得≥2，+≥2=≥4，最小值是4.

上述解法中两次使用了均值不等式，但x+2y≥2取等号的条件是x=2y，+≥2取等号的条件是x=y，因此，+≥2=≥4前后两个等号同时成立条件是x=2y且x=y，即x=y= 0，而x，y是正数，因此只能是+>4，4不是它的最小值. 那么如何才能自觉避免类似错误呢？笔者的建议是，对于今后使用基本不等式求最值时，一定要书写 “当且仅当”，虽然这有些形式主义，但这种形式是必要的，因为它是把好失误的最后一道关口. 也就是说，注意书写规范不仅仅是形式，更是对自己负责的表现.

再如，下面这道易错题：

，实际上只要养成画函数图象求值域，就一定可以避免类似错误. 画函数图象求函数值域，尤其是三角函数这样的单调性变化多端函数，可以清清楚楚地看出函数的值域，而不至于多一块，少一块.在教学中，如果已知正弦值，如sinA=，求三角形内角A，错求得而忘记的现象也是时常发生的. 如果这种错误被纠正过来后，反而有很多学生更加糊涂了，学生们会疑惑地质问自己，如果cosA=，那么为什么角A没有两个值？所有这些，其实都是由没有画图观察的习惯造成的.