数字图像连续表示及应用

娄联堂，但　威，陈佳骐

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)



数字图像连续表示及应用

娄联堂，但威，陈佳骐

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

摘要研究了离散图像的连续表示及重建问题.首先利用弦理论，给出了图像的连续表示形式，然后利用付里叶变换实现了图像连续表示及重建的快速算法，接着将它们应用于图像无级缩放、图像平滑、边缘检测、角点检测，并与传统离散图像处理方法的实验结果进行了比较.实验结果表明：利用图像连续表示方法处理离散图像可以得到不差于传统的离散图像处理方法处理的结果，此方法使离散图像的解析法处理成为可能.

关键词离散图像的连续表示；图像重建；边缘检测；角点检测；图像平滑

Continuous Representation of Digital Image and Its Application

LouLiantang,DanWei,ChenJiaqi

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China)

AbstractThe continuous representation and reconstruction of discrete image are studied. Firstly, the continuous representation of image is given by string theory. Then, the fast algorithm of continuous image representation and reconstruction are implemented by Fourier transform. Next, the algorithm is applied to image zooming, image smoothing, edge detection and corner detection. Finally, the algorithm is compared with traditional discrete image processing method by some experiments. The results show that the effect of this method is not worse than the traditional discrete image processing method. The method makes it possible to process discrete image analytically.

Keywordscontinuous representation of discrete image; reconstruct of image; edge detection; corner detection; image smoothing

现有图像处理的相关理论相当一部分都是建立在对数字图像的离散[1]的表示形式上，然而采用离散形式对求解图像上某一位置的梯度或高阶导数有较大影响，如在边缘检测[2]、角点检测[3]中.在其他数字图像处理技术如图像平滑[4]中，通常所构建的平滑函数是连续的，但是由于图像的离散表示，使得平滑函数的应用变成了构建相应的模板来对图像进行处理.传统的图像处理方法是离散方法，使很多经典的分析方法无用武之地，本文尝试提出了一种基于弦理论的图像连续表示形式，用一个二元连续函数表示一幅离散图像，对离散图像的平滑与锐化都可以直接用二元连续函数导数和积分解析方法处理，因此与离散图像相比，它便于人们用数学分析方法来进行图像处理，且处理速度不会比离散方法低.离散图像的连续表示使离散图像解析法处理成为可能.

本文将给出数字图像的弦表示、数字图像连续表示及重建算法、图像连续表示形式在图像平滑、边缘检测、角点检测等方面的应用，最后给出了图像无级缩放[5]、边缘检测、角点检测、图像平滑的实验结果，并与它们对应的传统离散图像处理方法进行对比.

1数字图像的弦表示

对于一维开弦x(σ)，σ∈[0,π]若满足Dirichlet(狄利克雷)边界条件：

x(0)=x(π)=0.

(1)

对于x(σ)可由正弦级数展开得到：

(2)

其中：

(3)

推广到二维空间，若D=[0,π]×[0,π]上连续的函数f(x,y)满足下列条件，当(x,y)∈∂D时，f(x,y)=0，则f(x,y)可表示为：

(4)

其中：

(5)

因此，对于离散图像f(x,y)(1≤x≤w，1≤y≤h,其中w，h分别为图像的宽度和高度)，对其四周进行扩展，可令在x=0,x=w+1,y=0，y=h+1时，f(x,y)=0，扩展后的数字图像仍记为f(x,y).此外考虑离散数字图像的带宽是有限的，并且当m,n较大时, 高频分量Fm,n较小，可忽略不计，假设m,n的最大值分别为M,N(1≤M≤w,1≤N≤h)，则数字图像f(x,y)可近似表示为：

(6)

其中0≤x≤w+1,0≤y≤h+1，

(7)

(6)式和(7)式实现了离散图像f(x,y)的连续表示和重建，由(7)式数字图像f(x,y)计算得到Fm,n后，通过(6)式便可重建图像，得到其连续表达式：

(x,y)∈[0,W+1]×[0,H+1],

(8)

其中W,H分别为重建后的图像宽度和高度.

2数字图像连续表示及重建快速算法

要用(6)式来表示离散图像f(x,y)需要计算Fm,n，下面用付里叶变换实现Fm,n的快速计算.由欧拉公式可知，(7)式可化为如下形式：

f12(x,y)+f21(x,y)-f22(x,y)).

(9)

其中F表示二元函数的付里叶变换，0≤x≤2w+1，0≤y≤2h+1.

f12(x,y)=

f21(x,y)=

f22(x,y)=

通过所求出的Fm,n，利用(8)式可以重建图像，设W,H分别为重建后的图像宽度和高度，与上面类似有：

(10)

其中F-1表示二元函数的付里叶逆变换，0≤m≤2W+1,0≤n≤2H+1，且

F(12)=

F(21)=

F(22)=

设高频分量个数分别为M,N(M≤w,N≤h)，则图像连续表示算法步骤如下.

图像重建过程是图像连续表示的逆过程，其重建之后的宽度W和高度H可以与原图像的尺寸w×h不同，重建之后的图像可以实现图像无级缩放.

3数字图像连续表示的应用

3.1图像平滑

f(x,y)*e-(α|x|+β|y|)=

F-1(-F(11)*A+F(12)*A+F(21)*A-F(22)*A),

(11)

其中D∈{(s,t)|x-rx≤s≤x+rx,y-ry≤t≤y+ry},D′∈{(s,t)|-rx≤s≤rx,-ry≤t≤ry},α和β为二维高斯平滑函数的系数，rx,ry分别为窗口水平方向和垂直方向的半径，二元运算*表示两个矩阵的点乘，

3.2图像边缘检测

由(6)式直接求导可以得到图像的任意阶导数，即：

G(12)-G(21)+G(22)),

(12)

其中a,b分别为x,y方向导数的阶数，G(11)=F(11)manb,G(12)=F(12)(2(W+1)-m)anb,G(21)=F(21)ma(2(H+1)-n)b,G(22)=F(22)(2(W+1)-m)a(2(H+1)-n)b.

利用上式并选择合适的边缘检测算子可以实现图像的边缘检测，本文采用微分梯度算子.一阶导数是最简单的算子，每个像素点梯度grad(f)幅度为：

(13)

其中fx,fy分别为x,y方向的一阶导数.

3.3图像角点检测

1988年Harris提出了Harris角点检测算法，其角点响应函数为：

CRF(x,y)=det(M)-k(trace(M))2=

(AB-C2)-k(A+B)2,

(14)

利用(12)式计算fx,fy,代入到(14)式中求出其角点响应函数CRF，当目标像素点的CRF值大于或等于给定的阈值t时, 该像素点即为角点.

4实验结果

为了验证图像连续表示法应用的可行性，本文在Windows7下使用Matlab7.10.0进行图像连续表示法的各种应用及其对比实验.

图像缩放常用的有插值算法，如最临近插值、双线性插值、三次卷积插值.本文将图像重建之后的图像无级缩放与系统的线性插值作对比，图1(a)是一幅256×256的图像，图1(b)是用双线性插值法对图1(a)的宽度和高度放大两倍得到的实验图像(为摆放整齐，文中图像大小被调成一样的)，图1(c)是用双线性插值法对图1(a)缩小两倍得到的实验图像，图1(d)是利用本文重建算法对图1(a)的宽度和高度放大两倍得到的实验图像，两者之间的误差为2.47812461×103(图像误差采用Matlab中系统函数norm范式，下同)，每个像素的平均误差分别为0.00945；图1(e)是利用本文重建算法对图1(a)缩小两倍得到的实验图像，两者之间的误差为1.7374220×103，每个像素的平均误差为0.10604.实验结果表明：图像连续表示法的无级缩放可以得到用双线性插值法缩放图像同样好的效果，并且误差都比较小.

图1　图像无级缩放 Fig.1　Image zooming

图2给出了图像平滑实验结果，图2(a)为原始超声图像，图2(b)为调用Matlab自带的高斯平滑函数得到的实验结果，其中高斯平滑系数σ取值为1.6，窗口大小为5×5. 图2(c)为本文连续表示形式下的图像平滑结果，其中，平滑系数取α=β=0.1，窗口大小系数rx=ry=5，两者之间的误差为1.0722410×104，每个像素的平均误差为0.16361.实验结果表明：图像连续表示法进行图像平滑处理可以得到用高斯平滑处理同样好的效果，两者误差比较小.

图2　图像平滑Fig.2　Image smoothing

Sobel算子是图像边缘检测微分算子法中的一个经典算子，本文方法与Sobel边缘检测对比的实验结果如图3所示，图3(a)为原始图像，图3(b)是用Sobel算子进行边缘检测的结果，图3(c)是用图像连续表示方法进行边缘检测的结果，两者的误差为1.3500283×104. 实验表明本文方法可以准确检测到图像边缘.

图3　边缘检测Fig.3　Edge detection

本文角点响应函数选取的是Harris角点响应函数，与经典Harris角点检测作对比的实验结果如图4所示.

图4　角点检测 Fig.4　Corner detection

图4(a)为原始图像，图4(b)为经典Harris角点检测结果，图4(c)是用图像连续表示方法进行角点检测的结果，两者误差为1.096174×103，每个像素的平均误差只有0.01672.在角点检测的两个实验中，都是先用响应函数求出每一点的CRF值，然后选取3×3范围内CRF值最大且该值大于所求取图像中CRF值最大值1%，满足这样条件的点即为图像的角点.通过对比实验可知，图像连续表示方法可以用于角点检测.

通过上述对比实验可知，不仅可以用离散图像的连续表示方法表示图像、在图像连续表示形式下重建图像，并且还用解析方法对离散图像进行处理，均取得不错的效果，说明离散图像的连续表示在离散图像解析法处理方面是可行的.

参考文献

[1]冈萨雷斯.数字图像处理[M].北京:电子工业出版社,2004:9-12.

[2]邢军. 基于Sobel算子数字图像的边缘检测[J]. 微机发展, 2005(9):48-52.

[3]Harris C, Stephens M. A combined corner and edge detector[C]//AVC. Proceedings of The Fourth Alvey Vision Conference, Manchester: University of Sheffield Printing Unit, 1988: 147-151.

[4]Deng G, Cahill L W. An adaptive gaussian filter for noise reduction and edge detection[C]//IEEE. Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conference. San Francisco: IEEE,1994: 1615-1619.

[5]Unser M, Aldroubi A, Eden M. B-spline signal processing: Part II efficient design and applications[J].IEEE Trans Sign Proc,1993,41(2): 834-848.

中图分类号TP751.1

文献标识码A

文章编号1672-4321(2016)01-0136-05

基金项目国家自然科学基金资助项目(60975011)；中南民族大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(YZZ13003;CZW15051)

作者简介娄联堂(1966-)，男，教授，博士，研究方向：数学应用方法与图像处理，E-mail: louliantang@163.com

收稿日期2015-11-27