向量在高中数学中的灵活使用

殷浩宇

【摘要】向量是数学里面的一个重要内容，从初中开始接触向量的概念，在高中阶段向量开始发挥一些独特的作用，深刻理解向量的定义以及灵活使用向量的方法往往可以起到意想不到的效果。本文通过介绍平面向量的一些特殊方法来说明向量的灵活性和重要性。

【关键词】平面向量 高中数学 特殊方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0159-02

1.平面向量数量积的几何意义及其应用

1.1平面向量数量积的意义

平面向量的数量积的定义式为： · = cosθ其坐标表达式为： =（x1，y1）， =（x2，y2）， · =x1x2+y1y2。在利用这两个表达式求向量数量积有时会遇到麻烦，这些量都不容易获得。

首先对向量的数量积表达式做一个简单的化简：： · =： （ cosθ），其中括号中的 cosθ的几何意义指的是向量 在向量 的投影，因此只要知道其中一个向量的模长，还知道另一个向量在该向量上投影的长度，就可以算出这两个向量的数量积。

1.2平面向量数量积几何意义的应用

例1 如下图所示，在平行四边形ABCD，AE⊥BD于E点，且AE=3，求 · 的值。

分析：本题的常规做法是将向量 和 都表示为某两个已知向量的线性表达式，但是该图形中任何两个向量的模长不清楚，夹角更是不知道，这里就遇到了困难，不知道从哪里下手。

解： 根据平面向量数量积的几何意义， 和 的数量积等于其中一个向量的模乘以另一个向量在该向量上的投影。由于已经知道 的模，所以求 在 的投影，容易发现，投影就是 模的两倍，答案就是3×6=18。

例2 O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，求 · 的值。

分析：由于三角形并没有完全确定下来，外心的位置就更加难以琢磨，要求一个动态的向量的数量积，肯定是个定值，但是没有角度，没有模长，求解这个数量积无从下手。

解：外心是外接圆的圆心，是三条边的中垂线的交点，因此，外心到三条边的投影均是三边的中点。利用向量的加法公式， = （ + ），这样只要求 和 ， 的数量积即可。 在 上的投影是2， 在 上的投影是1。所以，最终答案是 （4×2+2×1）=5

2.建立坐标系求解平面向量题

虽然，平面向量有坐标，但在没有坐标的时候可以尝试建立坐标系，来解决一些棘手的向量问题。向量的坐标法的优点是，不需要考虑太多的夹角和模长，只需要坐标间的简单运算即可得到答案。

例3 已知P是△ABC内一点，且满足a +b +c = ，证明P是△ABC的内心。

分析：证明内心，就是要证明到三边距离相等，或者证明和顶点的连线是角平分线，这些通过题中给出的向量表达式都不容易证明，这时不妨考虑建立坐标系来证明这个结论。

解：不妨以A点为坐标原点，AB为x轴的正半轴方向，建立直角坐标系，设△ABC的三边长分别是a，b，c，只需要证明P到三边的距离相等即可，或者说P的纵坐标是C纵坐标的 。

我们设A，B，C，P四点的坐标分别为（0，0），（xb，0），（xc，yc），（xp，yp），将坐标代入题中给出的等式，由于只需要比较纵坐标，我们看左边向量的纵坐标等于0，即-ayp-byp+c（yc-yp）=0，，整理可得 = 。

同理，可类似的以B为原点，以C为原点，证明类似结论。

我们就得到了S△PAB：S△PBC：S△PAC=c：a：b，这说明P到三边的距离是相等的，也就是P是△ABC的内心。

3.向量和三点共线问题

3.1一些基本结论

在平面中A、B、C三点共线的充要条件是： =x +y （O为平面内任意一点），其中x+y=1。

证明：

充分性，若 =x +y ，且x+y=1，则有 - = （x-1） +y 化简得 =y（ - ）=y ，则 ， 共线，所以A、B、C三点共线。

必要性，若A、B、C三点共线，则有 ， 共线，故 =λ ，任取平面的一点O， = - ， = - ，代入得 - =λ -λ ，化简得到 =（1-λ） +λ ，前面的系数满足规律。

3.2共线结论的应用

例4已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 =x ， =y ，则 的值

分析：直线MN也是不固定的，因此没办法直接求出x和y的值，至少没有简便的方法求出上述表达式的值。考虑到M，N，G是三点共线的，我们可以尝试使用三点共线的向量结论。

解： 由于G是△ABC的重心，容易得到 = （ + ），而，代入上述的表达式得到 = + ，由三点共线的向量结论可知，前面的系数和为1.

即 + =1？圯 =1？圯 =

4.向量和三角形的四心

4.1三角形四心的向量等价表达式

（1） + + = ？圳O是△ABC的重心

（2） · = · = · ？圳O是△ABC的垂心

（3）设a，b，c是三条边长，a +b +c = ？圳O为△ABC的内心

（4） = = ？圳O是△ABC的外心

证明：

（1）略

（2）要证明O是△ABC的垂心，那就是要证明AO垂直于BC，BO垂直于AC，CO垂直于AB，用向量方法就是证明数量积等于0.

化简表达式 · = · ？圳 （ - ）= · =0.得到AC垂于OB，同理可得其它两组对应垂直。所以O是垂心。

（3）略，在前面例题中已经证明

（4）略

4.2三角形四心向量表达式的判定

例5 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 = +λ（ + ）·λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

分析： 这个向量表达式是表示 方向上的单位向量，因此 + 表示的是∠A的平分线方向的向量。

解：正如前面一样处理，将 平移到左边去，可以得到

- = =λ（ + ），说明AP向量在∠A的角平分线上，P点一定经过的是内心，选B。

5.总结

综上所述，向量在高中是比较灵活的，也经常和其它知识综合在一起。要顺利解出向量相关的题，一定要对向量的各种表达式非常熟悉，必要时要能够针对每种几何关系写出对应的向量表达式，这样才能以不变应万变。