变换参考系解二体问题——以2014年北约自主招生一道物理题为例



变换参考系解二体问题
——以2014年北约自主招生一道物理题为例

王 勇

【题目】真空中质量分别为m1和m2的两个小球，只受万有引力作用，某个时刻两个小球相距l0，小球1的速度为v0，方向指向小球2，小球2的速度为v0，速度方向垂直两球球心的连线，问若m1=m2=m0，当速度v0满足什么条件时，两小球的间距可以为无穷远？

解法1:惯性参考系法(质心参考系)

解题思路：寻找惯性参考系，分析两小球相对于惯性参考系的受力，确定两小球在惯性参考系的运动特点，直接运用牛顿运动定律或能量守恒求两小球相对惯性参考系的位移.

两小球组成的系统不受外力，质心做匀速直线运动，以质心为惯性参考系.

方法1:小球1距质心

质心的速度

小球1相对于质心速度为

方向如图1所示.

图1

小球1受力

在质心参考系中可认为小球1受到固定在质心处等效质点3的万有引力作用，等效质点3的质量

在受到与距离平方成反比的有心力作用下小球1将做圆锥曲线运动.同理可知小球2的运动.

由于小球1到质心的距离与两小球之间的间距成比例，当两小球相距无穷远时，即小球1距质心(等效质点3)无穷远,根据能量守恒，减小的动能转化为增加的势能,有

代入v1x,v1y,m3,r1与r的比例关系可得

当v1=v2=v0，m1=m2=m0，r=l0则

在质心参考系中根据能量守恒，有

代入v1x,v1y,v2x,v2y,m3,r1与r的比例关系同样有

解法2:非惯性参考系法

解题思路：以另一小球为非惯性参考系引入惯性力，分析小球相对非惯性系中受力，确定小球相对于非惯性系的运动特点，转化后运用牛顿运动定律或能量守恒求小球相对于非惯性系的位移.

方法1:以小球2为非惯性参考系，小球1受力

其中

则

小球1受到与距离平方成反比的有心力作用，将以小球2为中心做圆锥曲线运动，中心质点的等效质量为m1+m2.

根据能量守恒，减小的动能转化为增加的势能,有

其中小球1相对于小球2的相对速度为

代入v12同样有

方法2：以小球2为非惯性参考系，以小球1为研究对象根据牛顿运动定律有

F+m1a2=m1a12

其中

则

在只有万有引力的作用下小球1相对于固定不动小球2做圆锥曲线运动,小球1的等效质量为

根据能量守恒，减小的动能转化为增加的势能,有

代入m′，v12同样有

(收稿日期：2015-10-16)

*作者简介：王勇(1978-)，男，中教高级，主要从事物理竞赛教学与研究.

(常州高级中学江苏 常州213000)