连接体的速度能否同时达到最大——对一道常见题的速度图像分析

陈显盈　俞 美

(温州中学　浙江 温州　325000)



连接体的速度能否同时达到最大
——对一道常见题的速度图像分析

陈显盈俞 美

(温州中学浙江 温州325000)

摘 要：通过理论推导与分析，讨论了连接体的速度能否同时达到最大的问题.

关键词：连接体速度同时最大值

有关连接体的题目是高中物理中常见的一种类型题，我们往往认为连接体中各物体的运动是同步的，如连接体中各物体的速度会同时增大或减小，速度同时达到最大值或最小值等等.那么，连接体中各物体的速度一定会同时达到最大吗？

下面以一道常见连接体题目为例，从图像角度分析各连接体的速度变化情况，研究其速度是否同时达到最大等问题，从而加深对该类连接体物理过程的理解.

1问题再现

【原题】如图1所示，重物A,B,C质量相等，A和B用轻绳相连绕过光滑的小定滑轮，开始时A,B静止，滑轮间距为0.6 m，MN水平，现将物体C轻轻挂于MN中点，则C物体下落多大高度时速度最大？整个过程物体C做什么运动？

这是一道常见的物理题目，一些文献[1]对此题进行了解析.下面笔者从图像角度深入分析重物A，B，C的速度变化情况，从而研究其速度是否同时达到最大等问题.

图1

2问题解决

2.1公式推导

如图2所示，设MN=2b，3物体的质量都为m.

图2

当C物体下降的高度为x时，A,B上升的高度为

此时绳子与水平方向的夹角为θ,则

在运动过程中，A,B,C总机械能守恒.根据机械能守恒定律得

同时代入x=btanθ及vA=vB=vCsinθ并推导可得

得

(1)

(2)

2.2图像绘制

由式(1)、(2)可看出A，B，C的速度随着θ改变而改变，变化情况可以利用Mathematica软件中的Plot函数描述的v-θ曲线来表示，描述结果如图3所示(其中取b=0.3 m，g=9.8 m/s2).可以看出，在θ从0增大到53.13°过程中，A，B，C的速度先从零增大到一定值后再减小到零，但是3个物体的速度并不是同时达到最大值的，其中C的速度一直比A，B的速度大且先增大到最大值，在θ= 53.13°时三者速度同时减小到零.

2.3结果分析

(1)C的速度始终不小于A和B的速度

可以看出，C的速度始终不小于A,B的速度，其中C的速度最大值也比A，B的速度最大值要大，分别为vCmax=1.07 m/s和vAmax=vBmax= 0.555 m/s.

(2)C的速度与A,B的速度并不同时达到最大值

当θ=22.55°时，C的速度取到最大值vCmax=1.07m/s.当θ=37.78°时，A,B的速度取到最大值vAmax=vBmax=0.555m/s.可见，连接体中各物体的速度并不一定同时达到最大.

(3)C的速度与A,B的速度同时达到最小值零

当θ=0或53.13°时，C和A，B的速度同时取到最小值vAmin=vBmin=vCmin=0.

(4)C和A，B同时做上下往复运动

在θ= 53.13°时三者速度同时减小到零时，通过受力分析可知，C受到的拉力会大于重力，所以并不会停止在此处，而是会开始反向上升，速度先增大再减小，相当于下降的逆过程.在θ=0时，三者速度同时减小到零，即返回到了刚开始下降的状态，此后继续做周期性的上下往复运动.

3问题拓展

如果改变该连接体中C物体的质量，是不是一定还能保持周期性的上下往复运动呢？此时，各物体的速度会不会同时达到最大呢？

3.1公式推导

设A,B的质量为m,C的质量为mC，其他条件不变，同理可以推导得

令

则

(3)

(4)

3.2图像绘制

图4　k=0.5

图5　k=2

图6　k=3

3.3结果分析

从图中可以看出，k越大，θ的最大值也越大，即C下降的距离也越大.在θ相同的情况下，k值越大，A,B,C的速度也越大.当k一定且k<2时，三者速度随着θ的增大先增大后减小，在中间某一θ值可以取到最大值，C到最低处后能在拉力的作用下上升而做周期性的上下往复运动；当k≥2时，三者速度随着θ的增大一直增大，C所受重力一直大于所受拉力，不会在拉力的作用下向上做周期性的上下往复运动，而是在重力作用下一直向下运动，A,B,C的速度会同时趋向最大值.

图7

总之，对于该类连接体，A与B的质量相等，当C的质量小于A质量的2倍时，各物体的速度并不会同时达到各自的最大值；当C的质量不小于A质量的2倍时，各物体的速度才会同时趋向最大值.所以，在做该类连接体题目时，不能想当然地认为各物体的速度会同时达到最大值，而要根据题意具体分析.

参 考 文 献

1叶玉琴.连接体速度最大值问题的探讨.物理教学,2011(11):51

(收稿日期：2015-10-08)