选用“数学现实”，践行“单元教学”——以“直线和圆的位置关系”起始课教学为例

☉江苏省徐州市第三十四中学　孙　莉



选用“数学现实”，践行“单元教学”——以“直线和圆的位置关系”起始课教学为例

☉江苏省徐州市第三十四中学孙莉

一、教材分析

在九年级圆的教学时，与圆有关的位置关系是一个重要的教学单元，一般包括点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系.《义务教育数学课程标准（2011年版）》将后者作为选学内容，不列入考试要求之后，各版本教材对前两种位置关系的设置也不相同，比如有些教材将点和圆的位置关系安排在圆的基本概念一节，与三角形的外接圆一起学习；有些教材将其组合在一个单元.但是，笔者比较多种版本教材发现一个共同点，这就是关于直线和圆的位置关系的引入情境多是同一类型：以太阳升起过程中，和地平线的位置关系来引入新课.从数学与生活的广泛联系来看，这样的情境设计固然有一定的道理，然而从数学知识“前后一致、逻辑连贯”的角度看，重视“点和圆的位置关系”作为数学现实情境，也应该是值得重视的一种情境引入方式，下面笔者展示近期执教的一节“直线和圆的位置关系”研讨课教学设计，并跟进解读教学立意，供研讨.

二、“直线和圆的位置关系”教学设计

教学环节（一）从“点与圆的位置关系”出发

开课设计：复习点和圆有关的位置关系，课前在黑板上画出图1（三个点，点B、C、D分别在圆内、上、外），安排学生讲出（教师板书）：点B在圆内⇔BOr.

图1

接着在三个圆外都取一点A，分别作直线AB、AC、AD；让学生观察直线与圆的位置关系，引出本节课的课题：直线和圆的位置关系.

类比点和圆的位置关系，问学生：如何研究直线和圆的位置关系呢？（预设：思考圆心O到直线的距离，如图2，从而作出三条垂线段，即作OH⊥AB……）

图2

继续类比点和圆的位置关系，定义直线和圆相交、相切、相离的概念，并记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，可归纳：直线和圆相交⇔dr.

【一组练习】

（1）圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是：①4.5cm；②6.5cm；③8cm，那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？

（2）已知Rt△ABC的斜边AB=6cm，直角边AC=3cm.圆心为C，半径分别为2cm、4cm的两个圆与AB有怎样的位置关系？半径是多长时，AB与圆相切？

预设意图：通过两道习题及变式训练直线和圆的位置关系的一些概念，通过解题促进概念理解和内化.

教学环节（二）聚焦相切，研究性质

过渡语：继续关注黑板上三个圆，在直线和圆的位置关系中，相交、相离变化较多，暂且不研究，让我们先研究它们的特殊位置关系，就是相切的情形（如图3）.

图3

引导学生观察图3，发现并确认：经过半径OC的外端并且垂直于半径的直线就是圆的切线（即切线的判定定理）.

预设问题1：为什么这是一个定理，而不是公理？

预设意图：启发学生辨析公理和定理是重要的，九年级学生需要明白公理是不证自明的，定理是需要证明的，比如这里可以根据公理“过圆上一点C有且只有一条直线垂直于半径”，或利用反证法推出矛盾来获得证明.值得注意的是，教材没有在这里给出详细推证，教学时这里提及就可以，不必深究，启发优秀学生深入思考.

预设问题2：切线的判定定理反过来思考，可以提出如下命题：圆的切线一定垂直于过切点的半径.请判断该命题的真假，并说明理由.

预设意图：其实是引导学生证明切线的性质定理，也可以通过反证法的思路获得证明.注意对两个定理给出符号语言的表达语句，为后续例题解答提供格式上的规范.

教学环节（三）例题探究，变式思考

图4

例1如图4，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.

求证：AC是⊙O的切线.

预设讲评：根据切线的判定定理，引导学生作出辅助线（比如，连接OD，作OE⊥AC于点E），并说清楚这两种辅助线在解决切线问题中是十分常见的.

例2已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.如图5所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：_______或者__________.

图5

图6

预设追问：如图6所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断.

预设讲评：第一问主要训练学生对切线判定定理的理解；第二问对于初学者有难度，提示辅助线（连接OA）后，关键是证明∠OAE为直角，这里图形的本质是弦切角定理.考虑到教学时间的原因，可以根据学情，相机使用“变式追问”.

教学环节（四）“生长式”课堂小结

小结语（安排学生简要小结本课内容之后）：让我们回到本课开始时的图形，从圆外一点引圆的割线可作无数条；从圆外一点作圆的切线能作几条呢？（再次利用PPT展示图3，让学生分析过点A能引圆的切线几条.）

预设意图：当学生发现并确认有且仅有两条之后，告知下一节课将继续研究这种图形，留下生长式的课堂小结.

附：板书设计

三、教学立意的进一步解读

1.教学内容的组织，值得践行“单元教学”

一年来，我们在《中学数学》等刊物上读到很多同行研究或赏析南通市启秀学中学、专家教师李庾南老师的课例文章，特别是李老师几十年如一日践行着数学单元教学.所谓单元教学，即根据数学知识发生的规律、内在的联系、学生学习的基础与可达到的高度，以及发展思维能力，将学材分为单元或知识模块，从整体上把握教学要求，安排教学内容，分课时实施.从上文课例来看，教材上直线和圆的位置关系第1课时往往只是总结到三种位置关系，数与形之间的对应关系，就进入系列练习巩固阶段，而我们在教学内容设计时，还基于从知识发展的内在联系出发，研究直线与圆相切的关系，即切线的判定和性质定理.由于教学时间原因，将切线长性质作为课堂小结提出来，下一节课继续探讨.

2.教学情境的创设，需要关注“数学现实”

如本文开篇所指出的，新世纪以来的教材一个显著的特点就是关于新知导入环节，设置了大量的“生活现实”引入新课.然而“课标（2011年版）”关于数学情境创设做出了必要的纠偏平衡，这就是需要兼顾生活现实、数学现实及其他学科现实.笔者认为，当前值得关注的应该是数学现实情境的创设，就如同本课例在开课阶段，我们就舍弃了各种教材上流行的太阳升起与地平线之间的关系引入新课的情境创设，而选择了点与圆的位置关系的图形作为引入图形，追求了章建跃教授所倡导的“前后一致、逻辑连贯”的建议.

3.单元教学起始课，预设“生长式小结”

对于单元教学起始课，很多同行会认为这种课型往往容量、难度偏大，不适合一些农村学校或城乡结合部学校实践.事实上，这是一种认识上的封闭现象.所谓教学容量，常常应该是预设大于生成，切实坚持以学定教.比如，上文课例中我们预设了好多追问、变式拓展和富有深度的问题，并不要求所有学生当堂对有难度的问题都即时获得理解消化.再比如，例题教学环节，在例2中我们预设了系列追问，也可以根据教学时间灵活选择.还有，本课小结阶段，我们引导学生回到开课阶段的情境，过圆外一点A引圆的两条切线，为下一节课研究切线长性质提供一种生长式情境.所以这些教学预设都是为了追求不同课时之间的平滑过渡、无缝对接，想来戏剧、影视艺术中常常经营转场效果，也是如此吧.

参考文献：

1.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

2.何明.追求逻辑连贯、生长自然的教学设计［J］.中学数学教学参考（中），2015（3）.

3.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

4.仇锦华.从数学整体观看单元教学［J］.中学数学教学参考（中），2015（11）.