Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性
2016-04-12裴元太付瑞琴
杨 海，裴元太，付瑞琴
( 1．西安工程大学理学院，陕西西安710048; 2．西安石油大学理学院，陕西西安710065)
Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性
杨海1*，裴元太1，付瑞琴2
( 1．西安工程大学理学院，陕西西安710048; 2．西安石油大学理学院，陕西西安710065)
摘要:设a是大于1的正整数，v2( a)表示2可以整除a的最高次幂．运用初等数论方法研究了方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性．证明了当a满足以下3个条件之一时该方程无解( x，n) : ( i) a是偶数，v2( a)是奇数; ( ii) a是偶数，v2( a) = 2; ( iii) a是奇数且a≡5或9( mod 16)．同时也证明了至少有5/6的正整数a可使该方程没有适合n＞2的解( x，n)．
关键词:指数Diophantine方程;可解性;密率
1引言及主要结论
令N是所有正整数的集合．设a是大于1的正整数，ν2( a)表示2可以整除a的最高次幂．2000年，Szalay［1］证明了当a=2时，方程
无解( x，n)．此后，人们对于方程( 1)及其推广形式进行了很多研究［2－6］．最近，梁明［7］证明了当a≡2或3 ( mod 4)时，方程( 1)无解;并且提出猜想:对于任何大于1的正整数a，方程( 1)都无解．这是一个至今尚未解决的问题．由文献［1］的结果可知至少有1/2的正整数a可使方程( 1)无解．
本文运用初等数论方法证明了以下结果:
定理1方程( 1)没有可使n是偶数的解( x，n)．
推论1如果正整数a满足下列条件之一，则方程( 1)无解:
( i) a是偶数，ν2( a)是奇数;
( ii) a是偶数，ν2( a) = 2;
( iii) a是奇数，a≡5或9( mod 16)．
推论2至少有5/6的正整数a，可使方程( 1)无解( x，n)．
显然，上述推论包括了文献［7］在a是偶数时的结果，并且改进了文献［7］中a无解的密率．
2若干引理
引理1［8］对于任何非平方正整数d，方程
( u，v) = ( uk，vk) ( k=1，2，…)是方程( 2)的全部解．
引理2设( u，v) = ( ur，vr)和( us，vs)是方程( 2)的两组解，其中r，s是不同的正整数．如果2| ur且2 us，那么必有2 r和2|s．
证明情形(Ⅰ) :当2|t时，由式( 3)可知
由式( 4)可知此时ut= 2u2
2r－1是奇数．由此可知:如果2|ur，那么
由式( 3)和( 5)可得
因为由式( 2)可知u21－dv21= 1，于是u21和dv21的奇偶性不相同，所以有
因为2|ur，所以由式( 6)和( 7)可知2 | u1．
情形(Ⅱ) :当2 s时，由式( 6)可知u1|us，故根据2|u1可得2|us．由此可知:如果2 us，那么必有2 | s．于是，由式( 5)和2|s即得本引理．证毕．
引理3［9］方程X2+ 1 = Yn，n＞1，X，Y，n∈N无解( X，Y，n)．
引理4［10］设p是奇素数，方程Xp+ 1 = 2Y2，min{ X，Y}＞1，X，Y∈N仅有解( p，X，Y) = ( 3，23，78)．
引理5［3］方程( 1)没有适合4|n的解( x，n)．
3定理的证明
设( x，n)是式( 1)的一组n为偶数的解可得
当d=1时，根据引理3可知式( 8)无解，于是d＞1为非平方正整数．
如果2 | n，那么由式( 8)中前两个等式可知方程( 2)有两组解
因此，根据引理1和式( 9)可得
当a是偶数时，由式( 10)可知2|ur且2 us，所以根据引理2可得
因为( a+1)2
n
同时，由式( 11)可知2 r，所以由式( 6)可知u1| ur，故由式( 10)，( 14)和( 15)可得78|223，矛盾．
同样，当a是奇数时，因为由式( 10)可知2| us且2 ur，所以根据引理2可得
因为2|r，所以由式( 3)和( 10)可得
综上所述可知:方程( 1)没有可使n为偶数的解( x，n)．定理证毕．
因此，由式( 18)可得
4推论1的证明
设( x，n)是方程( 1)的一组解，由式( 1)可得式( 8)．根据本文定理可知n必为奇数．
情形(Ⅰ) :当a为偶数时，由式( 8)中前2个等式分别可得
由式( 19)可知gcd( a，d) = 1，故由式( 20)可得
当ν2( a)是奇数时，由式( 21)可知2a|z2，故有
因此，由式( 8)中第2个等式和式( 22)可得
由于a是偶数，故由式( 23)可知n也是偶数这一矛盾．因此条件( i)成立．
另外，由式( 8)中前2个等式可得
由式( 24)和( 25)可得
由于此时a+1是奇数，所以根据文献［8］的定理3．6．3和式( 26)可知a+1≡±1( mod 8)．由此可得a≡0或6( mod 8)．因为当a≡6( mod 8)时，ν2( a) = 1，由条件( i)已知此时方程( 1)无解，故必有
由式( 27)可知:当a≡4( mod 8)，即ν2( a) = 2时，方程( 1)也无解．因此条件( ii)成立．
5推论2的证明
对于正整数X，设A( X)是不大于X且使方程( 1)无解的正整数a的个数．对于正整数m，设集合
可知Bm( X)中元素a都是适合ν2( a) = 2m－1为奇数的偶数，而且Bm( X)中元素的个数
其中[X/22m]是X/22m的整数部分．因此，根据推论1和文献［7］的定理以及式( 28)可知
上式等号右端第一项1/4即由文献［7］中a≡3( mod 4)部分的结论得出．推论2证毕．
参考文献:
［1］SZALAY L．On the diophantine equation ( 2n－1) ( 3n－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2000，57( 1/2) : 1－9．
［2］HAJDU L，SZALAY L．On the diophantine equation ( 2n－1) ( 6n－1) = x2and ( an－1) ( akn－1) = x2［J］．Period Math Hungar，2000，40( 2) : 141－145．
［3］COHN J H E．The diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Period Math Hungar，2002，44( 2) : 169－175．
［4］LE M H．A note on the exponential diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2009，74( 3/4) : 401－403．
［5］LI L，SZALAY L．On the exponential diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2010，77( 3/ 4) : 465－470．
［6］YUAN P Z，ZHANG Z F．On the diophantine equation ( an－1) ( bn－1) = x2［J］．Publ Math Debrecen，2012，80( 3/4) : 327－331．
［7］梁明．关于Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2［J］．数学杂志，2012，32( 3) : 511－514．
［8］华罗庚．数论导引［M］．北京:科学出版社，1979: 287－289．
［9］LEBESGUE V A．Sur l'impossiblilité en nombres entiers de l'équation xm= y2+ 1［J］．Nouv Ann Math，1850，9( 1) : 178－181．
［10］BENNETT M A，SKINNER C M．Ternary diophantine equation via Galois representations and modular forms［J］．Canada J Math，2004，56( 1) : 23－54．
The Diophantine Equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2
YANG Hai1*，PEI Yuantai1，FU Ruiqin2
( 1．School of Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an 710048，China; 2．School of Science，Xi'an Shiyou University，Xi'an 710065，China)
Abstract:Let a be a positive integer with a＞1，and v2( a) denotes the highest power of 2 dividing a．The main purpose of this paper is using elementary number theory methods to study the solvability of the equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2．We prove that no solution ( x，n) to the equation exists if one of the following conditions is satisfied: ( i) a is even，and v2( a) is odd; ( ii) a is even，and v2( a) = 2; ( iii) a is odd，and a≡5 or 9 ( mod 16)．We also prove that there are at least five sixths of positive integers a which make the equation have no solution ( x，n) with n＞2．
Key words:exponential Diophantine equation; solvability; density
*通信作者:xpuyhai@ 163．com
基金项目:国家自然科学基金( 11226038，11371012) ;陕西省教育厅科研计划项目( 14Jk1311)
收稿日期:2015－03－02录用日期: 2015－05－05
doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．017
中图分类号:O 156．7
文献标志码:A
文章编号:0438－0479( 2016) 01－0091－03
引文格式:杨海，裴元太，付瑞琴．Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性［J］．厦门大学学报(自然科学版)，2016，55( 1) : 91－93．
Citation: YANG H，PEI Y T，FU R Q．The Diophantine equation ( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2［J］．Journal of Xiamen University( Natural Science)，2016，55( 1) : 91－93．( in Chinese)
