τ-rigid对象和rigid对象

邱晓龙

(厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)



τ-rigid对象和rigid对象

邱晓龙

(厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)

摘要:对于一个cluster－倾斜三元组( D，T，A)，讨论了A中的τ-rigid对象与D中的rigid对象之间的关系，并给出了A中的τ-rigid对象可提升到D中的rigid对象的充要条件．

关键词:support－τ－倾斜对;三角范畴; cluster－倾斜对象; rigid对象

Keller等［1］给出了代数闭域上的2－CY三角范畴D中的cluster－倾斜对象的概念．Cluster－倾斜对象充当了联系三角范畴和Abel范畴的一个桥梁．设( D，T，B)是一个cluster－倾斜三元组，即T是D的cluster－倾斜对象，B是T的自同态代数，则有Abel范畴等价

上面的范畴等价诱导了D中的cluster－倾斜对象和mod－B中的倾斜对象的对应［2］，但这个对应不是一一的，这个现象主要体现在每个几乎完全的倾斜B－模有一个或者两个补，而三角范畴中每个几乎完全的cluster－倾斜对象都有两个补．于是，Adachi等［3］给出了模范畴中support－τ－倾斜对的概念，并证明每个几乎完全的support－τ－倾斜对都有两个补，同时还证明上面的范畴等价诱导了下述一一对应

{ D中的cluster-倾斜对象}↔

在这个一一对应中，把左边的对象称为右边对象通过范畴等价( 1)中等价函子的提升．显然，D中作为cluster－倾斜对象的直和项的rigid－对象与mod－B中作为support－τ－倾斜对的直和项的τ－rigid－模也是相互对应的(这里并不一定是一一对应)．

König等［4］以及Iyama等［5］分别把2－CY三角范畴中cluster－倾斜对象的概念推广到一般的三角范畴，并且都证明了Abel范畴等价( 1)也成立．于是自然要问，在一般三角范畴的前提下，范畴等价( 1)能否诱导一一对应( 2)，或者退一步地，D中的rigid对象能否与mod－B中的τ－rigid模相互对应．

1预备知识

首先记|X|为对象X的不可分解直和项的个数．设B是代数闭域k上的有限维代数，记mod－B为代数B的有限生成右模范畴．由文献［3］可知，如果模M∈mod－B满足HomB( M，τM) = 0，则M称为τ－rigid－模;进一步地，τ－rigid－模M满足|M| = | B|，则称M是τ-倾斜模．给定τ－rigid－模M和投射模P，如果HomB( P，M) = 0，则( M，P)称为τ－rigid－对;若τ－rigid－对( M，P)满足|M| +|P| = |B|，则( M，P)称为support－τ－倾斜对．易知，任意τ－rigid－对( M，P)总有| M| + | P |≤| B|．

从现在开始，总假设D是代数闭域k上一个带Serre对偶H的三角范畴，因此D有AR－变换τD=H［－1］．对D中任意两个对象X，Y，记从X到Y的态射集为D( X，Y)．给定D的子范畴C，称态射f: C→X是X的右C-逼近，如果C∈C，并且有以下C上的函子正合列:

如果对任意对象Y∈D，都存在Y的右C-逼近，则称C为D的反变有限子范畴．对偶地，可以定义左C-逼近以及正变有限子范畴．如果C同时是反变有限和正变有限的，则称C是D的函子有限子范畴［6］．

给定D的子范畴C，记

prC = { X∈D |存在三角C1→C0→X→

C1［1］，其中C0，C1∈C}．

记C⊥={ X∈D|D( C，X) = 0，对偶地，可以定义⊥C．由文献［5］可知:称C为D的rigid子范畴;如果C满足D( C，C［1］) = 0; D中的对象M称为rigid对象，如果add M是D的rigid子范畴;称C为D的cluster－倾斜子范畴，如果C是D的函子有限的rigid子范畴，并且满足C=C［－1］⊥=⊥C［1］; D中的对象T称为D的cluster－倾斜对象，如果add T是D的cluster－倾斜子范畴．

如果M是D的函子有限的rigid子范畴，且记A =prM/M［1］，则称( D，M，A)为rigid三元组;在一个rigid三元组( D，M，A)中，如果M是D的cluster－倾斜子范畴，则( D，M，A)称为一个cluster－倾斜三元组．注意到如果M是D的cluster－倾斜子范畴，则prM=D ［4］．

下面的结论是本文研究的基础:

定理1［4－5］设( D，M; A)是一个rigid三元组．则函子F: D→mod－M，X D(－，X) |M诱导了Abel范畴等价

文献［5］还说明了当M是D的cluster倾斜子范畴时，mod－M的AR－变换诱导自D的AR－变换．事实上，当M是rigid子范畴时也成立，即:

命题1设( D，M; A)是一个rigid三元组．如果X∈prM没有属于M［1］的直和项，则F(τDX)τMF ( X)，其中τM是mod-M的AR－变换．

证明由于X∈prM，则可取一个三角

使得g是X的极小右M-逼近．所以

是F( X)的极小投射表示．根据mod-M的AR-变换的定义，得到一个正合列

进而得到下列正和交换图

所以τMF( X)D(－，τDX) |M=F(τDX)．

考虑自然商函子Q: prM→A，为简便起见，在不引起混淆的情况下，通常把Q( X)记为X．进一步地，如果X∈A，通常假设X没有属于M［1］的直和项．在定理1的范畴等价下，把A和mod-M作等同考虑．根据命题1，对任意的Y∈A，则有A中的同构τMYτDY．因此，可把τM和τD都记作τ．

引理1设( D，M; A)是一个rigid三元组．如果X，Y∈pr( M)满足D( X，Y［1］) = 0，则A( Y，τX) = 0．

证明注意到DD( Y［1］，τX［1］) = D( X，Y［1］) = 0，所以D( Y，τX) = 0．

上面简单的引理1说明了D中的rigid对象对应到A中的τ－rigid对象．而在考虑D是2－Calabi－Yau的情况下，A中的τ－rigid对象都可以提升为D中的rigid对象［3］．但这个提升一般是不成立的，下面我们将给出一个反例．

例1考虑路代数A=kQ，其中箭图Q为1→2→3．众所周知，A的有界导出范畴可由A的有限生成(右)模范畴通过“平移拼接”得到．记P( 1)，P( 2)，P( 3)为A的3个不可分解投射模，则三角范畴Db( A)的子范畴T=add{τ－nP( i)［n］| i = 1，2，3; n∈Z} 是Db( A)的cluster-倾斜子范畴．注意到τ－2P( 3)⊕τ－2P( 3)［1］是A=Db( A) /T［1］中的τ-rigid对象，但显然它在Db( A)中不是rigid对象，如下图所示:

2主定理及其证明

给定一个cluster－倾斜三元组( D，M，A)，由于例1的存在，对A中的τ－rigid对象什么时候可以提升为D中的rigid对象的研究看上去是个有趣的问题．首先给出一个关键引理．记D( X，Y)M［1］是通过M［1］分解的从X到Y的态射的集合．

引理2给定一个cluster－倾斜三元组( D，M，A)．对任意的X，Y∈D，下列自然等价成立:

对我国来说，这种来自体制方面的作用更加明显。这是因为中国的石油地质情况特别复杂；从计划经济向市场经济过渡的中国式发展道路在油气工业中的具体实践尚在探索中，要在实践中“摸着石头过河”会出现曲折；中国石油的主体背负的包袱相当沉重。如巨大的负债和长期中低油价下盈利的困难、体制改革降本增效所伴生的减员压力、高比例的油气进口对油气公司盈利和经济持续发展的影响……因此，与油气有关的体制改革既特别重要又必须特别慎重。我们盼望着直面存在的深层次矛盾、加快步伐落实相关的改革，为油气工业带来新的动力。换言之，深化改革带来的“红利”，是实现油气生产战术和战略接的前提条件之一。

其中D=Hom(－，k)．

证明选定一个三角

其中M1，M0∈M．考虑下列映射

我们断言Im α=D( Y，τX)M［1］．

事实上，首先显然有Imα⊆D( Y，τX)M［1］．下面证明D( Y，τX)M［1］⊆Imα．对任意的f∈D( Y，τX)M［1］，由于M是rigid的，因此fg = 0，进而存在a∈D( M1［1］，τX)使得下图交换

即有f=aη=α( a)，故D( Y，τX)M［1］⊆Imα．这就证明了Imα=D( Y，τX)M［1］，更进一步得到

考虑下列交换图

上图中上面的正方形交换缘自H=τ［1］是Serre对偶，于是立即得到DαD( X，η［1］)．故

最后，断言KerD( X，η［1］) = D( X，Y［1］)M［1］．事实上，注意到下列交换图

对任意的f∈KerD( X，η［1］)，此即η［1］f = 0．故f可通过M0［1］分解，即f∈D( X，Y［1］)M［1］．反过来，任取g∈D ( X，Y［1］)M［1］，由于M是rigid的，所以η［1］g=0，这就表明g∈KerD( X，η［1］)，断言得证．

综上，下列点明本引理的同构成立:

现在可以得到本文的主要结论:

定理2给定一个cluster－倾斜三元组( D，M，A)，对任意的两个对象X，Y∈D有D( X，Y［1］) = 0，当且仅当A( Y，τX) = 0=A( X，Y［1］)．

证明必要性可由引理1直接得到，下证充分性．

因为A( Y，τX) = 0，则D( Y，τX) = D( Y，τX)M［1］;又由引理2，并且A( X，Y［1］) = 0，可知D( Y，τX)M［1］= 0，故有D( Y，τX) = 0．根据Serre对偶，D( Y，τX)DD (τX，τY［1］)，所以D(τX，τY［1］) = 0，进而D( X，Y ［1］) = 0．

根据上面的定理，可以直接推出文献［7］中的关键引理．

推论1给定一个cluster－倾斜三元组( D，M，A)，其中D是一个2－Calabi－Yau三角范畴，则对任意两个对象X，Y有D( X，Y［1］) = 0=D( Y，X［1］)，当且仅当A( Y，τX) = 0=A( X，τY)．

证明只需要注意τ－1［1］1D．

称T∈D是一个cluster-倾斜对象，若add( T)是cluster-倾斜子范畴．假设T是一个cluster-倾斜对象，其自同态代数为B，则函子F=Hom( T，－) : D→mod-B诱导了等价D/addT［1］→mod-B．

定理3假设D是一个带Serre对偶的三角范畴，并且T是它的一个cluster－倾斜对象．则有:

( i)对任意的rigid对象M∈D有|M|≤|T|;

( ii)任意两个cluster－倾斜对象拥有相同个数的不可分解直和项;

( iii)对任意的cluster－倾斜子范畴T'存在一个对象T'，使得T'add( T')．

证明( i)令M=M1⊕M0，其中M1为M的属于add( T［1］)的极大直和项，则|F( M) | = |F( M0) |且F( M0)是mod-B中的τ-rigid模．我们注意到F( M1［－1］)是mod-B中的投射模，并且HomB( F( M1［－1］)，F ( M0) ) = 0．所以( F ( M1［－1］)，F( M0) )是一个τ-rigid -对，因此| F( M1［－1］) | + |F( M0) |≤|B| = |T|．显然|F( M1［－1］) | = | M1|，所以|M|≤|T|．

( ii)可由( i)直接得到．

( iii)首先在T'中取一个对象X，则add( X)⊆T' 且X是rigid的．若add( X) = T'，则命题已得证;否则，存在非零对象Y∈T ' add( X)．注意到X⊕Y也是rigid的．反复进行这个步骤，再根据( i)，命题得证．

注1根据定理3( i)的证明过程，我们实际上可以由D中的一个cluster－倾斜对象构造mod－B中的一个support－τ－倾斜对．

参考文献:

［1］KELLER B，REITEN I．Cluster－tilted algebras are Gorenstein and stably Calabi Yau［J］．Adv Math，2007，211 ( 1) : 123－151．

［2］FU C，LIU P．Lifting to cluster tilting objects in 2－Calabi－Yau triangulated categories［J］．Comm Algebra，2009，37 ( 7) : 2410－2418．

［3］ADACHI T，IYAMA O，REITEN I．τ－tilting theory［J］．Compositio Mathematica，2012，150( 3) : 9704－9711．

［4］KÖNIG S，ZHU B．From triangulated categories to abelian categories［J］．Math Z，2008，258( 1) : 143－160．

［5］IYAMA O，YOSHINO Y．Mutation in triangulated categories and rigid Cohen－Macaulay modules［J］．Invent Math，2008，172: 117－168．

［6］AUSLANDER M，SMALO S O．Almost split sequences in subcategories［J］．J Algebra，1981，69( 2) : 426－454．

［7］LIU P，XIE Y．Lifting to maximal rigid objects in 2－Calabi－Yau triangulated categories［J］．Proc Amer Math Soc，2013，141( 10) : 3361－3367．

τ-rigid Objects and Rigid Objects

QIU Xiaolong

( School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China)

Abstract:Given a cluster－tilting triple ( D，T，A)，we study the relationship between τ－rigid objects in A and rigid objects in D．A necessary and sufficient condition is proposed for that a τ－rigid object in A can be lifted to a rigid object in D．

Key words:support－τ－tilting pair; triangulated category; cluster tilting object; rigid object

基金项目:国家自然科学基金( 11471269)

收稿日期:2015－01－05录用日期: 2015－05－09

doi:10．6043/j．issn．0438－0479．2016．01．015

中图分类号:O 154．1

文献标志码:A

文章编号:0438－0479( 2016) 01－0082－04

Email: xlqiu86@ sina．com

引文格式:邱晓龙．τ－rigid对象和rigid对象［J］．厦门大学学报(自然科学版)，2016，55( 1) : 82－85．

Citation: QIU X L．τ－rigid objects and rigid objects［J］．Journal of Xiamen University( Natural Science)，2016，55( 1) : 82－85．( in Chinese)