时标上具有多时滞的二阶中立型方程的振动性

邸聪娜，李丽华，张灵敏

(河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北 秦皇岛，066004)

时标上具有多时滞的二阶中立型方程的振动性

邸聪娜，李丽华，张灵敏

(河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北 秦皇岛，066004)

中立型方程是一类重要的微分方程，其振动性理论在计算机、生物等许多领域中都有着非常广泛的应用，本研究考虑了时标T上具有正负系数和多个变时滞的二阶中立型动力方程，针对P(t)的不同取值，给出了方程的若干振动准则。

中立型方程；多时滞；振动性

中立型方程是一类重要的微分方程，其振动性理论在计算机、生物等许多领域中都有着非常广泛的应用，尤其近年来，计算机科学研究中出现了一些同时具有正负系数的中立型方程的模型，使得这类方程的研究日益受到重视。而自从Stefan Hilger提出时标理论[1]，对导数积分赋予了新的定义，很多学者便致力于时标上中立型动力方程的研究[2～8]。

笔者考虑了时标T上具有正负系数和多个变时滞的二阶中立型动力方程

(1)

对于方程(1)的特殊情形，许多文献已做过研究，如邸聪娜等[5，6]分别研究了线性中立型方程

[x(t)+P(t)x(τ(t))]ΔΔ=q(t)x(g(t))

及具有振动系数的线性方程

而后邸聪娜等[7]又研究了方程

的振动性。受到以上结果的启发，笔者针对P(t)的不同取值分别进行讨论，给出了具有多变时滞动力方程(1)的振动准则。

1 基本假设和引理

假设supT=∞，fi，gj∈C(R，R)，且定义[t0，∞]T={t∈T，t0≤t<∞}，并且考虑如下假设：

(H1) 存在αi>0,βj>0，使得fi(u)/u≥αi(u≠0),gj(u)/u≤βj(u≠0)。

记

y(t)=x(t)+P(t)x(τ(t))

(2)

(3)

引理1 设(H1)，(H2)成立,0≤P(t)≤1,x(t)为方程(1)的一个最终正解，则存在t1≥t0，当t≥t1时，有z(t)>0,zΔ(t)≥0,[A(t)zΔ(t)]Δ≤0,zΔΔ(t)≤0,x(t)≥[1-p(t)]y(t)≥0。

证明 由于x(t)是方程(1)的一个最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))=x(γ(t))>0,x(δj(t))>0,从而y(t)>0，因此z(t)>0(t≥t1)。

由于方程(1)，(2)，(3)及(H1)和(H2)，可得

(4)

(5)

事实上，若存在t2≥t1，使得zΔ(t2)<0，则当t≥t2时，由(5)式有

A(t)zΔ(t)≤A(t2)zΔ(t2)<0

两边积分得：

而由[A(t)zΔ(t)]Δ=AΔ(t)zΔ(t)+A(t)zΔΔ(t)，及(5)式知，zΔΔ(t)≤0。

由0≤P(t)≤1及(2)式知,y(t)≥x(t)(t≥t1),于是

y(t)≤x(t)+P(t)y(τ(t))≤x(t)+P(t)y(t)

从而有x(t)≥[1-P(t)]y(t)≥0。证毕。

2 主要结果和证明

(6)

则方程(1)是振动的。

证明 假设x(t)是方程(1)的一个最终正解(最终负解的情况类似可证)，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。所以，由引理1和(4)式知,yΔ(t)>0(t≥t1),即y(t)为单调增函数。由0≤P(t)≤1及(2)式知，y(γ(t))≥x(γ(t))(t≥t1)。于是

y(γ(t))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(τ(γ(t)))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(γ(t))

从而x(γ(t))≥[1-P(γ(t))]y(γ(t))≥0，代入(5)式，由(6)式得

[A(t)zΔ(t)]Δ≤-ψ(t)y(γ(t))≤0

(7)

由y(t)>0,yΔ(t)>0(t≥t1)知，存在常数λ>0及t2≥t1，使得y(γ(t))≥λ>0(t≥t2)，于是由(7)式得：

[A(t)zΔ(t)]Δ+λψ(t)≤0

(8)

证明 设x(t)为方程(1)的无界非振动解，假设x(t)>0(当x(t)<0时类似可证)，则存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。

由-1≤P(t)≤0得y(t)≤x(t)(t≥t1)，且可推得y(t)≥0(t≥t1)。事实上，倘若不然，即y(t)<0，则x(t)=y(t)-P(t)x(τ(t))<-P(t)x(τ(t))≤x(τ(t))，这与x(t)无界矛盾！因此y(t)≥0。

由方程(1)和(H1)，(H3)，(H4)得

且{A(t)yΔ(t)}Δ最终不恒为0，从而A(t)yΔ(t)单调减且能断言yΔ(t)≥0(t≥t1)。

由于y(t)不能为0，所以由y(t)≥0，yΔ(t)≥0(t≥t1)可知存在常数M>0及t2≥t1，当t≥t2时，

y(γ(t))≥M。当y(γ(t))≤x(γ(t))时，有

这与A(t)yΔ(t)≥0(t≥t1)矛盾。证毕。

3 结 论

本次研究考虑了具有多个时滞的中立型动力方程，通过对系数的不同取值范围的讨论，给出方程的若干振动准则，推广了已有文献的结果，完善了时标上中立型方程的振动理论。

[1] Bohner M,Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkhäser,2001.[2] Bohner Martin,Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

[3] Liu Ailian,Wu Hongwu,Zhu Siming.Oscillation for nonautonomous neutral dynamic delay equations on time scales[J].Acta Mathematica Scientia，2006,26B(1):99-106.

[4] 陈大学,刘洁纯.具有分布时滞的二阶非线性中立型时标动力方程的振动定理[J].系统科学与数学, 2010,30(9)：1 191-1 205.

[5] 邸聪娜,邵丽丽,吕金凤,等.时标上二阶线性中立型动力方程有界解的振动准则[J].河北科技师范学院学报,2009,23(3):58-61，76.

[6] 邸聪娜,李民良,郭雅彩,等.时标上具有振动系数的中立型动力方程非振动解的存在性[J].河北科技师范学院学报,2010,24(1):53-55.

[7] 邸聪娜,邵香媛,王玉宽.时标上的一类二阶中立型方程正解的存在性[J].河北科技师范学院学报,2015,29(2):31-35.

[8] Bohner Martin, Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

(责任编辑：朱宝昌)

Existence of Positive Solution for Second-Order Neutral Dynamic Equations on Time Scales

DI Congna, LI Lihua, ZhANG Lingmin

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei, 066004, China)

Neutral equation is an important class of differential equations and its oscillation theory has been widely applied in computer, biology and many other fields. The second-order neutral dynamic equation with positive/negative coefficients and multi-delays was considered to set up several oscillation criteria of the equation according to different values ofP(t).

neutral equation; multi-delays; oscillation

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2016.02.011

2016-01-22; 修改稿收到日期: 2016-04-12

O175.12

A

1672-7983(2016)02-0059-03

邸聪娜(1983-)，女，讲师。主要方向：微分方程的振动性与稳定性。