利用变式教学培养高中生数学反思能力的范例设计—以《抛物线定义及其几何性质》为例

广东广雅中学(510160) 黄淑珍

利用变式教学培养高中生数学反思能力的范例设计—以《抛物线定义及其几何性质》为例

广东广雅中学(510160) 黄淑珍

一、反思是数学思维活动的核心与动力

世界著名数学家、数学教育大师荷兰的弗赖登塔尔教授精辟指出:“反思是数学思维活动的核心和动力”,“通过反思才能使(学生)的现实世界数学化”,“没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”.《普通高中数学课程标准》中指出:“教师应注意提高学生的数学思维能力,学生在学习数学和运用数学解决问题时,要不断的运用直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表现、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程.”课标还指出,评价应关注学生是否能够对自己的数学学习过程不断进行反思,能够及时有效地调整学习方法.在此基础上教师要合理的利用教材,根据学生的实际情况进行教材整合,使学生在学习过程中能够独立自主的进行观察、猜想、实验、推理、反思.教师要给学生创设探究的空间.由此可见,提高学生的数学反思能力是高中数学教学的重要目标.

事实上,反思是提高学生数学学习能力的重要途径.费赖登塔尔的观点:数学直觉产生了数学的发现,在数学化的过程中,需要分析直觉,并且要对推理过程做出判断和确认,表达出推理的过程.因此,教学中要让学生学会反思,能够思考自己的判断与经历的活动,能够主动挖掘隐含在思维深处的实质问题,深入理解并努力证实数学化的过程,从而借助已有的数学知识与数学方法,创造性地解决问题.在现实中,反思能力强的学生在学习过程中往往表现出强烈的探究精神,并时时有意识的在“反省”中探究问题和答案,重构自己的理解,激活个人的智慧,并超越已有信息,使创新意识和能力得以形成和发展.

可见,培养学生的反思能力是十分必要的,在高中数学课堂中培养反思能力是对学生终身发展的人文关怀,有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考并作出判断.

二、变式教学是培养数学反思能力的重要手段

著名教育学家顾泠沅先生有一句朴素而富有哲理的名言:“听懂的东西做出来,做出来的东西说出来.”在数学教学中怎样才能完成顾先生所提出的“听懂—做出—说出”的过程呢?顾泠沅教授提出了变式过程模式,它是实施课堂有效教学的有效手段.在新课程背景下数学变式问题设计的实践与研究,应是课堂有效教学的策略和方法的优先选项.

数学变式教学,是在数学教学过程中不断的变化数学概念中非本质特征、变换问题中的条件或结论、转换问题的形式或内容,诱发学生从不同角度、不同位置、不同方法去思考问题,培养创新思维,抑制或削弱定势思维的一种教学方法.

通过变式教学,使学生在数学学习过程中对数学问题理解与解决时设计的方法进行多角度、多层次、多形式的理性思考:通过变式教学揭示问题的本质,化繁为简,显示出高层次的思维活动:通过变式教学体现学生主动辨析、拓展、再创造的思维特质与习惯.因此变式教学有利于提升反思能力,而反思能力是学生综合素质发展的重要标志.

传统的高中数学教学模式,学生缺少自主探究,自我反思和独立获取知识的机会.事实上,教学的本质是正确的引导学生,教师的角色不能掩盖学生的主体性反思的过程汇总,学生不仅能对学到的知识回顾和重复,而且还可以研究数学活动所涉及的知识方法和思路等.

变式教学是广大教师在课堂实践中经常使用的教学方式之一,变式、反思这两个词对于学生来说并不陌生,但要做到在数学学习过程中学生能自觉反思、主动变式,还需要教师来培养.笔者通过长期实践,探究如何引导学生进行反思、变式,使学生逐步获取核心要素,形成反思能力,把握概念、原理、性质、问题的本质,促进数学思维品质的提高.

三、利用变式教学培养高中生数学反思能力的范例设计

在高中数学教学中,常规的课堂有:概念课、规则课、解题课等.下面以人教版A版教材选修1-1中2.3《抛物线定义及其几何性质》为例,通过各种课型范例设计谈谈如何利用变式教学培养高中生数学反思能力.

1.概念课范例

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数学的学习过程,就是不断的建立各种数学概念的过程”.由此可见,深刻理解并准确掌握数学概念是何等重要.从培养学生思维能力的要求来看,形成数学概念、揭示其内涵与外延,比数学概念的定义本身更为重要.在形成概念的过程中,可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程,提高学生学习的积极性,通过多样化的变式,逐步培养学生观察、分析及概括能力.

例如抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这个概念的形成,我们可以这样操作:椭圆、双曲线第一定义引入,变换表述得到椭圆、双曲线第二定义,两者的第二定义中缺少了e=1的情况,通过几何画板演示可以得到抛物线的概念:

变式1:从学生熟悉的二次函数图象引入,将图象旋转90°后思考:还是抛物线吗?不难得到,还是抛物线,只是开口方向变了,本质没变:

变式2: 二次函数图象引入,图象对称又美观,可是它是如何形成的呢?通过几何画板设置参数形成动画,让学生反思得到抛物线形成需要满足的条件:

概念形成之后我们可以引导学生反思做出变式:

变式3:抓住字眼“相等”,反思,如果两距离不相等,则两者比例大于1或小于1,此时轨迹分别是什么呢?椭圆、双曲线的第二定义与抛物线定义有啥区别与联系呢?

变式4:抓住字眼“定点”“定直线”,反思点和直线位置关系,则应考虑点在直线上或点不在直线上,此时轨迹分别是什么呢?

此时,联系我们刚学完的常用逻辑用语,可以引导学生反思得到下面的范例:

变式5:在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的___条件:

前面变式范例是抽象定义,我们反思,如何用数学符号来表示呢?由此得到:

变式6:过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的圆的圆心的轨迹是___:

对于平行于y轴的直线系,点到这些直线的距离有什么特点呢?这些直线之间的距离又有什么特点呢?由此得到:

变式7: 已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x=-5的距离小1,点M的轨迹方程是____:

改变数学语言,用距离公式来表示定义,不难得到:

变式8:若则动点M(x,y)的轨迹___;

概念教学的同时,也要明确概念的应用,通过设计变式训练,从多角度强化概念的实践应用,进一步巩固概念.

变式9:设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是____:

变式10:设抛物线y2=8x上一点P到焦点距离为6,则点P坐标是___.

在这里,我们运用变式教学方法引导学生学会反思,每个变式都有差异,但万变不离其宗,都是为了深入理解和揭示抛物线的定义.

概念型变式范例的设计,一般可以引导学生从以下方面反思:

(1)概念的形成过程:(2)概念中的规定和限制,定义中关键的字眼:(3)涉及的点线面位置关系、几何图形关系:(4)概念的名称、数学表述方式:(5)逻辑推理过程演变:(6)概念是否有等价条件?(7)新旧概念联系、类比、迁移:(8)抽象定义的形成可通过联系实际设置问题:

利用变式教学模式,引导学生发现问题,通过探究和变式来理解数学概念,打破了以前只注重做题不注重概念形成过程的学习方式,学生的数学反思能力得到了很好的培养.

2.规则课范例

以高中数学的公理、定理、公式、法则、性质等规则的教学为主要任务的课,称为高中数学规则课.例如《抛物线的简单几何性质》一节中,讲授焦点弦的性质时,我们可以用课本例题引入.如课本61页例4:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

结合椭圆、双曲线时处理弦长问题的方法,引导学生一题多解,得到:

解法1:直接联立方程,解出两根,两点坐标,用两点距离公式求解:

解法2: 联立方程,得到一元二次方程,用弦长公式求解:

解法3: 联立方程,得到一元二次方程,应用抛物线定义,|AB|=x1+x2+p求解.

通过一题多解,让学生体会到应用定义的几何法的简便,引导学生反思:为什么可以应用抛物线的定义?抛物线焦点弦这个公式能通用吗?关注弦长、坐标和作图变化,可以拓展得到以下的变式.

变式1: 经过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=x1+x2+p.

变式2:焦点弦弦长有最小值吗?

变式3:焦点弦的两个焦半径的关系

变式4:

变式5:以AB为直径的圆与准线相切:

变式6:以AF及BF为直径的圆与y轴相切:

变式7:分别作AA1⊥准线于点A1,BB1⊥准线于点B1,则∠A1FB1=90°:

变式8:BC//x轴,则直线AC经过点O;反之,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,直线DB平行于抛物线的对称轴.即过抛物线焦点弦的一端,作准线的垂线,那么垂足、原点以及弦的另一个端点三点共线:

变式9:过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直:

变式10:抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹:

对于焦点弦问题,变式9是容易证明的.按照从特殊到一般的原则,结合抛物线的对称性,可以证明.焦点能否换成对称轴上的其他点呢?

事实上,直线AB过点M(a,0),D在直线x=-a上且A,O,D三点共线,BD//x轴,这三个条件中,以任两个为条件,就能推导出第三个.

规则课变式的设计,一般可以引导学生从以下方面反思: (1)特殊性质的证明方法:(2)一题多解:(3)特殊性质到一般规律:(4)点线面位置关系:(5)三角形、梯形、圆等几何图形关系:(6)题设与结论互换:(7)代数运算与几何直观结合,数形结合:

通过变式反思,不仅促进学生对数学知识和原理的掌握,还有助于培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力,提高学生的数学反思能力.

3.解题课范例

解题教学应以知识获得为基础,以方法训练为途径,以思维发展为主线,以培养创新精神和解题能力为重点,培养学生的应变能力和探究意识,发展学生的思维能力,提高学生的自我评价水平,提高学生的创新意识,优化学生的个性品质.解题课是规则课的拓展或综合,它用来展示一类问题的解决思路或过程.为得到有效的迁移效果,可以适当引导学生反思过程,实施合理变式.

如关于抛物线的最值问题,从“将军饮马问题”引入:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?

“将军饮马问题”在椭圆最值、双曲线最值时曾经接触过,也清楚求解过程中需要灵活运用定义转换两条焦半径,这类问题可以引导学生反思:在抛物线中能够用它来求最值呢?深入分析可知,抛物线的最值问题离不开焦半径和准线.

例如:改编课本61页例4,已知P为抛物线y2=4x上一个动点,F是抛物线的焦点.

变式1:求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值:

反思:此时点P的坐标怎么求出?A点位置一定要在准线上吗?

变式2:若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值:

变式3: 已知P为抛物线y2=2px(p＞0)上一个动点,F是抛物线的焦点,B(3,2)为抛物线内一定点, |PB|+|PF|的最小值为4,求抛物线方程:

反思:具备定义背景的最值问题,根据抛物线的定义转为几何问题来处理,将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离互相转化,看到准线联想焦点,看到焦点联想准线.将军饮马问题的本质是,同侧差最大,两侧和最小.

类比椭圆,最值问题最基本的题型有:(1)抛物线上的点到定点或定直线(准线或平行于准线的直线)的距离之和: (2)抛物线上的点到直线(非准线)的距离:于是还可以得到下面的变式:

变式4:则点P到直线x-y+3=0的距离的最小值为___,点P的坐标为___;

变式5:点P到直线l1:x-y+3=0的距离为d1,点P到直线l2:x=-1的距离为d2,则d1+d2的最小值是___:其中准线也可以换车平行于准线的其他直线:

反思:变式4可以用两种方法来解决.圆锥曲线的最值问题解决方法一般分两种:一是代数法,通过建立函数、不等式模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值:二是几何法,从圆锥曲线的几何性质出发,根据几何意义求最值.

前面两组变式均是从定义出发,解决了最基本的最值问题.变式4、5的代数法可以转化为直线与抛物线的位置关系.此外,再进一步挖掘代数式的几何意义,同样可以发现其本质是一致的.例如:

变式6: 已知实数x,y满足方程y2=4x,则函数的最值是多少?

反思上例,联系线性规划最值题型,学生容易得到:

变式7: 点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.

变式8: 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,F是抛物线的焦点,A(-1,0)是一个定点,则的最小值是____:

反思第三组变式,我们可以发现只要清晰代数式的几何意义,问题本质就是一致的,依然是研究直线与抛物线位置关系,也可用设点代入消元法来求解.

前三组变式中题干中的点都是定点,引导学生反思,能否把定点改成动点呢?我们常见的动点轨迹有哪些呢?圆的最值问题我们是怎么解决的呢?于是得到:

变式9:Q为圆x2+(y-4)2=1上的一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是____:

引导学生反思,在变式范例中,我们实现了定点换成动点出题,那么直线能作一些变式吗?教师可以给出范例:

变式10:已知定长为5的线段AB的两端点在抛物线上移动,则AB的中点M到y轴的最短距离是____;

反思变式10,发现最短距离出现在直线AB经过焦点的时候,并不是直线AB垂直x轴.那么直线AB移动过程中,中点M的轨迹能够求出呢?

变式11:已知定长为5的线段AB的两端点在抛物线上移动,求AB的中点M的轨迹方程.

我们还可以引导学生课后用几何画板画出了中点M的轨迹,会发现,直线过焦点,中点在x轴上方、下方各出现一次最值.为什么不是在垂直x轴时候呢?这跟给定弦长5有密切关系.最短的通径是4,所以把弦长5改成3,这时最值、中点轨迹又会怎么样呢?

变式12:已知定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动,求AB的中点M的轨迹方程.

至此,我们已经把抛物线最值问题从基本题型反思变式引出许多与抛物线几何性质和其图形本质特质有关的问题结论和解决方法.事实上,我们可以继续变式,如:

变式13:直线y=x+b被抛物线y2=4x截得的线段长为5,求直线方程:

变式14:求直线y=x+b被抛物线y2=4x截得的线段中点的轨迹方程:

变式15:抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,准线为l,A、B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是____.

变式16: 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,A(-2,0),B(-4,0),求取得最小值时点P的坐标:

变式17: 已知P为抛物线y2=4x上一个动点,点Q(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的最大值为____:

综合以上变式,可以回到最初的问题:“将军饮马问题”在解决直线、椭圆、双曲线、抛物线的最值问题中是如何应用的?圆锥曲线最值问题有哪些类型和解法?

每一步的反思联想,都会有新的变式,每一步解决新的变式,我们应该有进一步的反思.反思、变式就这样交替出现,问题引领,激发学习兴趣,这样的课堂就是一个无限延展无限发散的舞台,学生的反思能力得到进一步的提升,进而思维品质也得到发展.

解题课变式范例的设计,一般可以引导学生从以下方面反思:(1)一题多解:(2)改变题目条件如数据衍变等:(3)变换数学描述语言:(4)融合知识点变换题型:(5)定点、定直线等改成动点、动直线:(6)特殊结论到一般结论:(7)条件和结论互换:(8)类型题变式,多题通法:

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出:“好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长,找到一个以后,你应当在周围找一找,很可能附近就有好几个.”变式教学培养高中生数学反思能力,就是一题多用,一题多变,多题重组,借题发挥,让学生理解新知把握本质,主动反思主动变式,主动联想主动发现,使知识点融会贯通,从一个例题引出一系列问题,提高课堂效率,让学生思维得到充分的锻炼和发展.

四、变式教学培养高中生反思能力的实践成效与思考

利用变式教学培养高中生数学反思能力中,关键步骤就是如何抓住本质,引导学生不断变式,变式后继续反思,反思后继续变式.以上几种课型的范例设计,旨在给学生提供一些可以思考的方向与范式,让学生在学习定义、性质、命题、方法时能够形成“反思—变式—反思”的习惯.在实际教学中,“变式教学培养数学反思能力”的新课堂模式给学生学习数学注入了新动力.在实验过程中,笔者任教的高二两个平行班中的一个班进行试验,通过每月的月考,期中考试,期末考试等多次考试,对测试后的两个班成绩进行差异显著性检验,发现这两个班的差异性越来越明显.说明变式教学对于提高整体数学成绩方面是有效的.在访谈学生中发现,大部分学生在学习数学时能自觉反思、自主探究,也能自觉进行问题变式,说明学生的数学反思能力提到了提升.学生学习效率提高了.

通过两年的变式教学实践,笔者有几点思考:1.变式教学课堂比较开放发散,思维能力强的学生较快就能形成反思习惯,提高反思能力,成绩进步显著,而基础较薄弱的学生则不注意反思其认知活动过程与结果的因素,只是一味追求解答出问题答案,这点需要教师多加引导:2.要让有限的课堂时间更有效率,变式教学需要把握度,同时要注意课堂节奏,真正有时间让学生反思:3.现阶段我们只能通过了解学生学习习惯和学习成绩来评价他的数学反思能力,如何更科学地评价高中生数学反思能力值得继续研究.