高三复习课实施变式教学培养学生数学反思能力的案例分析

广东广雅中学(510160) 梁辉

高三复习课实施变式教学培养学生数学反思能力的案例分析

广东广雅中学(510160) 梁辉

一、利用变式教学培养高中生数学反思能力的意义

当前的数学课堂,教师的主导地位依然强势,课堂上教师讲得多、灌得多,往往忽视了学生个体在学习过程中的重要性许多高中生在数学学习中缺乏反思的机会或反思的过程,未能实现自主探索、独立思考、自己解决问题.因学生缺乏独立思考和创新能力.新课程改革和新课程标准的制定,核心理念是教师应当引导学生主动学习,学生在学习过程中应当明确自己学习的目标和任务,了解应当怎样独立学习?教师在教学中不仅仅要思考教学方法,更要研究引导学生学习的方法和途径,使学生学会反思学习.反思学习不仅仅是回顾过去已经学习的知识点,同时也是为了提高自身,为未来的深度学习做好准备,所谓“温故而知新”就是这个道理.高中教师应该认识到数学反思能力的培养不仅仅是让学生好好学习,提高学习效率,更是为了培养学生的数学学习素养,全面提升综合能力.

顾泠沅对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分析.提出变式教学能够锻炼学生的数学思维能力,促进学生的全面发展,同时在数学变式教学过程中学生的反思能力获得提高.

此外,美国心理学家奥苏贝尔(Ausubel)认为,有意义学习的本质要素是新知识与学习者原有知识建立合理和本质联系.这种合理和本质联系指的就是新知识和学习者认知结构中的某些特殊相关的方面相关联.对于高三的学生来说,已经初步掌握了基本内容,即原有知识已初步了解,在教授新的内容和方法时,如何提高和巩固原有知识与新知识之间的联系,使新知识更易于被学生内化?高三的学生不仅仅依靠课堂,课后的总结反思更为重要,教师需要提供数学反思的方法,潜移默化地培养学生数学反思的习惯,学生的反思习惯养成了,反思能力也就提高了.

二、变式教学培养学生数学反思能力的案例分析

高三复习课中解三角形中的最值问题是高考重点内容之一,它不仅与解三角形常见基础知识密切相关,而且与代数及几何中的一些性质密切联系,这类问题综合性较强,解法灵活,对能力要求较高,下面我们以此内容为案例,来阐述如何以变式教学来提升学生的数学反思能力.

1.多角度分析问题,形成问题的变式

培养学生的数学反思能力,就是要培养学生多角度看问题、解决问题的能力.我们可以通过对问题的多维分析,与学生一起探究出围绕相关问题的变式.

例如: 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=2,C=60°.

(2)若a+b=ab,求△ABC的面积S△ABC.

思考:如果(2)边的关系不确定,问题可以如何设置?变式1:已知c=2,C=60°,求△ABC面积的最大值.

变式2:已知c=2,C=60°,求△ABC周长l的最大值.

变式3:已知a+b=4,C=60°,求△ABC周长的最小值.

2.多角度解决问题,呈现一题多解

一题多解,就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路,用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一数学问题的练习活动,从而提高学生数学反思的能力.一题多解不仅能充分调动学生思维的积极性,提高综合运用知识解答数学问题的能力,还可以锻炼学生思维的灵活性,促进学生长知识、长智慧、开阔思路,引导学生灵活地掌握知识的脉络,激发学生的创造力.下面以上面问题的变式解法为例谈一题多解.

变式1:已知c=2,C=60°,则△ABC面积的最大值为.

思路1是从余弦定理入手,再利用均值不等式求最大值:

思路2是正弦定理入手,转化为三角函数求最值:

思路3:从几何意义上(动点轨迹)入手.

变式2:已知c=2,C=60°,求△ABC周长l的最大值.

思路1仍然是从余弦定理入手,再利用均值不等式求最大值:

思路2仍然是从正弦定理入手,转化为三角函数求最大值:

思路3是先猜想当a=b时周长l最大再证明.

变式3和变式4的思路可以类比变式1、2的思路1和思路2.

3.实施变式教学,揭示问题本质

关于三角形的最值问题,可以思考的角度很多,解决问题的方法也多种多样,我们可以总结反思这些变式的通性通法、最优解法等,提升学生的观察、辨析、反思的能力.

由变式1和变式2我们可以得到三角形中一类典型的问题:

已知△ABC的一边及其对角,求另两边之积或者和的最大值.

解法归纳:

方法1:先余弦定理,再均值不等式:

方法2:利用正弦定理转化为一个角的三角函数:

方法3:借助外接圆(动点轨迹的几何意义).

其中方法1运算简便,方法2运算繁琐,方法3做小题非常简便.

由变式3和变式4我们可以得三角形中另一类典型问题:

已知△ABC的一角及其夹边的和或积,求已知角的对边长的最小值.

解法归纳:

方法1:先余弦定理,再均值不等式或转化为一个二次函数:

方法2:利用正弦定理转化为一个角的三角函数.

其中方法1运算明显比方法2简便.

综上,求解三角形最值问题,可以从两个定理入手,结合均值不等式、合一变换、三角形面积公式、参数方程等,将最值问题转化为求函数值域或者均值不等式取等号.此外还可以从几何意义考虑,例如动点的轨迹,有时可以起到四两拨千斤的效果.

培养学生的数学反思能力,就是要培养学生化繁为简、揭示本质规律的能力.教师在课堂应和学生一起总结变式共性的东西,找出解决问题的最优方法,养成总结反思的习惯.我们要从众多的角度中总结出一般性的规律,即共性的东西,所谓“多题一法”就是这个道理,同时也要广开思路,多角度解决同一问题,即所谓的“一题多法”.

4.变式问题被广泛应用

研究近几年相关的高考题,发现大量问题相关度高.与本节课三角形中的最值问题相关联的高考真题,确实很多,笔者做了一些整理:

【2011全国课标卷理16】在△ABC中,B=60°,则AB+2BC的最大值为____.

【2013全国课标卷II理17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(I)求B:

(II)若b=2,求△ABC面积的最大值.

【2013年江西卷理16】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(1)求角B的大小:

(2)若a+c=1,求b的取值范围.

【2014全国课标卷I理16】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为____.

【2014·陕西卷】△ABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c.

(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C):

(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

【2015高考山东理 16】设f(x)= sinxcosx-

(I)求f(x)的单调区间:

由此可见,实施变式教学意义重大.在课堂上教师应留时间给学生反思,并鼓励学生在课后提出更多的变式,课后反思是非常关键的,这对于提高学生的数学反思能力非常重要,教师应鼓励学生课后多思考和尝试,在反思的方向上,教师可以从以下八个方面给予学生指导:一是反思解题过程中思维的关键点和切入点,促使思维精确化、概括化:二是反思解题过程中所用的知识点、数学思想方法,进一步理解知识的应用和熏陶数学思想方法:三是反思解题过程中所用的数学技能和技巧,强化学生的基本技能:四是反思解题的探究过程,着重反思“为什么这样想”及“思维瓶颈如何突破”,使学生的解题思维进入理性阶段:五是反思解题方法,从而掌握一个类型问题的解题规律:六是反思问题的本质,在知识联系中使问题逐渐深化:七是反思解题过程中的易错点,更加深刻地理解知识,破解思维定势:八是反思问题的变式拓展延伸,培养学生的变式拓展意识与探究能力.

三、实施变式教学培养学生数学反思能力的思考

培养学生的数学反思能力就是要培养学生的创新能力.当学生将所学新知识内化为已有的知识后,特别是学生经历过变式教学,逐步养成反思旧知识,引发学生深入地思考,建构主义(Radical constructivism)认为,知识是不可能由老师传送给学生的,只可能是学习者通过自己的亲身体验来构建.社会建构主义(Social-constructivism)也认为,学习是学生在老师的帮助下,在最近发展区(Zone of proximal development,简称ZPD)内,通过亲身体验和与同伴的交流来获取的.这两种学习理论都认为学习者只有亲身体验过,才能获取和构建自己的知识网络,所以学习仅仅依靠课堂是远远不够的,学生在课后的自我反思显得十分重要,这也是学生之间产生差异的重要因素.不仅在课堂,学生在课后仍对数学问题反复思索,甚至创造性地提出新问题、解决新问题,学生的亲身体验反思,使其达到自我创新的能力,从而提升数学反思的能力.

只要相信学生,给学生一个自由反思的空间,他们会给你意想不到的惊喜!以下是课后学生陆续给出的变式探索:

变式5:已知c=2,a+b=则角C的最大值为___,求三角形面积的最大值.

变式6:已知c=2,b=则△ABC的面积的最大值是___.探究角C的最值情况?

变式7:已知c=2,C=30°,求2a+3b的最大值.

变式8:已知a2+b2=4,C=60°,求c的最小值和周长最大值.

变式9:已知a2+b2=12,c=2,求三角形面积的最大值.

变式10:若2a2+3b2=4,C=60°,求c的最小值和面积最大值.

变式11:已知2a+b=4,C=45°,求c的最小值.变式12:已知a-b=4,C=则c∈____,△ABC周长l∈___.

我始终相信,学生的潜能是无限的,数学课堂志在激发学生的潜力、挖掘学生的创造力.作为教师,我们应该给予学生发挥的时间和空间,而变式教学是一种非常好的手段,教师要利用好这一有利方式,适时地引导和鼓励学生养成数学反思的习惯,有了数学反思的肥沃土壤,学生的创造力就会显现出来.

另一方面,回想起近年来我进行变式教学的过程,在课堂质量上得到了很大提高,学生的数学成绩提升明显,学生对数学课堂的热情甚至对数学老师的热情也越来越高,变式教学使我受益良多,也使学生受益匪浅,变式教给学生的不仅仅是数学知识,更重要的是教会学生多角度看问题、解决问题的方式,教会学生反思总结的方法,我相信学生养成的反思习惯会让他们终身受益.再一方面,这项实践研究的课堂具有师生双向交流、相互影响的双向性,学生课后的数学反思也会创造出更多的问题,这就要求教师必须具备丰富的专业知识、良好的教学艺术和完善的人格魅力,与学生建立平等、和谐的师生关系,才能让变式教学发挥更大的效果.教师应学无止境,奋斗不息.