平面整体式三自由度全柔顺并联机构拓扑优化构型设计及振动频率分析

朱大昌, 宋马军

(江西理工大学 机电工程学院，江西 赣州　341000)



平面整体式三自由度全柔顺并联机构拓扑优化构型设计及振动频率分析

朱大昌, 宋马军

(江西理工大学 机电工程学院，江西 赣州341000)

摘要：通过建立并联原型机构的微分雅克比矩阵方程，实现平面整体式三自由度全柔顺并联机构与并联原型机构之间的矢量同构映射。在此基础上，建立平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构SIMP(Solid Isotropic Microstructure with Penalization Method)拓扑优化模型，并采用优化准则算法，结合矢量同构映射方程，进行了平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构同构构型设计，通过应力分布和前四阶振动固有频率仿真对比研究表明：所采取的拓扑优化设计方法使平面整体式全柔顺并联机构具有一定的均布刚度和较好的振动抑制性能，且对其振动频率的分析可为机构尺寸优化及振型优化提供了重要的依据。同时，微运动特性的仿真表明其与传统并联原型机构之间的运动学同构性一致。该结果对平面整体式全柔顺并联机构的构型拓扑优化设计有实际意义。

关键词：平面整体式三自由度全柔顺并联机构；微分矢量同构映射；拓扑优化；振动固有频率

微纳制造技术是衡量一个国家制造水平的重要标志，已经渗透到信息、汽车、工业控制、航空、国防等各个领域，在推动科技进步、促进产业发展、保障国防安全等方面发挥着重要作用[1]。微纳机构学作为微纳制造技术中的一个重要组成部分，成为当前微纳制造领域中研究的重点。其传统表现形式为柔顺机构(Compliant Mechanism)：以柔性关节代替传统刚性运动铰链，利用自身柔性构件的弹性变形来转换力、运动或者能量的免装配机构[2-3]。为实现柔顺机构空间多自由度运动特性，学者们提出用柔性铰链取代传统刚性铰链的机构组成形式，从而形成全柔性并联机构[4-6]。然而，这种“堆积木式”机构构型仅在铰链处实现了柔性化，其他构件仍为刚性体，导致形成的刚柔混合体使其运动学和动力学分析非常复杂，且无法满足微纳制造领域对整体刚度和精度的要求。此类柔性机构分析方法主要采用Howell和Midha提出的“伪刚体模型”法[7]，但该方法既不能真实地反映全柔性并联机构的运动性能和力学性能，也不能满足微纳精密定位技术的高精度要求。

为了克服以上缺陷，朱大昌等[8-9]提出采用柔性铰链集成在一块整体材料上，通过线切割方式得到全柔性并联机构支链整体集成式结构，并通过多支链的组合形成新型全柔性并联机构。然而，由于柔性铰链在整体材料上的分布仅由设计者经验决定，具有较强的任意性。因此，提出一种具有一定刚度和抗振性能的新型全柔性并联机构构型设计方法具有实际意义。

本文根据微纳制造技术对微纳定位平台的更高精度要求及其自身的运动特性，为区别传统柔顺并联机构而提出全柔顺并联机构的概念：即采用拓扑优化理论[10-11]，以传统并联机构空间矢量约束为输出条件、支链柔度最小化为优化目标、实现全柔顺并联机构构型设计[12-14]。以平面整体式3-PRR全柔顺并联机构构型设计为例，建立传统并联机构空间微分矢量同构映射方程并将其作为构型拓扑优化的输入输出条件，采用连续体SIMP方法构建全柔顺并联机构拓扑优化模型，应用Optistruct对其进行拓扑优化。同时，还分析了平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构的应力分布、前四阶固有振动频率及振型和全柔顺并联机构的微运动特性。通过与传统同构型并联机构微运动特性对比，证明了该方法的有效性，且能满足微纳定位平台的精度要求。

1矢量同构映射方程

1.1传统平面3-PRR型并联机构构型

传统平面3-PRR型并联机构由动平台、定平台及连接两平台的三个支链所组成，每个支链由一个P副(移动副)和两个R副(转动副)所组成，如图1所示。根据驱动副P的平面配置不同，平面3-PRR型并联机构可实现两种不同的运动形式，即平面两平移运动形式和两平移一转动运动形式，分别如图1(a)和图1(b)所示。本文中研究对象采用图1(a)配置形式。

图1　平面3-PRR型并联原型机构构型简图Fig.1 Structure of planar 3-PRR parallel prototype manipulator

1.2矢量同构雅克比方程

所设计的平面整体式全柔顺并联机构应与并联原型机构在运动特性上保持一致，即两种机构之间的同构性能。机构运动学雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系，而这种关系如果能在机构拓扑中实现，则经拓扑优化所得出来的全柔顺并联机构与并联原型机构之间存在同构性，即两者具有相同的运动特性。基于以上分析，在本节中将求出3-PRR型平面并联原型机构的运动矢量雅克比矩阵，并将其作为3-PRR型平面整体式全柔顺并联机构构型拓扑优化的输入输出同构矢量方程约束条件。

取AR31R32支链分析，其环路矢量方程如图2(a)所示，有：

(1)

等式两边微分，得：

(2)

等式两端点乘R31R32，则有：

(3)

同理，可得出另外两支链的环路矢量方程。

写成矩阵形式如下：

(4)

式中：

根据雅克比矩阵表示为输入输出的映射关系，在式(4)等式两边左乘Jx的逆，得到：

(5)

1.3矢量同构微分运动雅克比方程

本文所研究平面3-PRR型并联机构配置形式为1.1节中的图1(a)。假设动平台三角形边长为e，移动副CR11、BR21、AR31的长度分别为p1、p2、p3；各支链两个转动副之间的连杆R11R12、R21R22、R31R32的长度分别为r1、r2、r3；以C为坐标系原点，CR11方向为X轴，CA方向为Y轴建立笛卡尔坐标系；连杆R11R12、R21R22、R31R32与X轴正向的夹角分别为φ1、φ2、φ3；动平台其中一边R32R12与X轴正向的夹角为δ，如图2所示。

当压电陶瓷驱动移动副CR11、BR21、AR31，在微运动过程中，其所在杆长度分别由p1、p2、p3变为p1+Δp1、p2+Δp2、p3+Δp3；连杆R11R12、R21R22、R31R32与X轴正向夹角也分别由φ1、φ2、φ3变为φ1+Δφ1、φ2+Δφ2、φ3+Δφ3。

图2　平面3-PRR并联原型机构结构示意图Fig.2 planar 3-PRR parallel prototype mechanism

依据1.2节中矢量同构映射法所得的并联机构原型运动雅克比矩阵JD和微分运动学[15]，即对雅克比矩阵JD中的变量微分求解。结合等价无穷小原理可得到平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构的微分Jacobian矩阵为：

(6)

式(6)反映了3-PRR型并联原型机构末端操作空间与各关节间的同构映射关系，在平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构的表现为如下：

23-PRR型平面整体式全柔顺并联机构拓扑优化模型

2.13-PRR型全柔顺并联机构SIMP插值模型

固体各向同性材料惩罚模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization, SIMP)是通过引入惩罚因子，在材料的弹性模量和单元相对密度之间建立起一种显性非线性对应关系，使得中间密度值逐渐向0或1聚集。本文采用的SIMP插值模型数学表达式为：

(8)

2.2敏度分析

在SIMP模型中，通过目标函数敏度值和约束函数敏度值可确定拓扑优化中设计变量的更新迭代变化方向。

2.2.1目标函数敏度分析

目标函数敏度分析为目标函数对设计变量的梯度形式，将式(7)的目标函数C对单元密度ρe求偏导，可得：

(9)

假设载荷输入与设计变量无关，式(7)中对总刚度矩阵按设计变量求导，可得：

(10)

(11)

(12)

2.2.2约束函数敏度分析

平面3-PRR型全柔顺并联机构拓扑优化中以体积作为优化约束，体积对材料密度导数的偏导即为约束函数敏度。其表达如下：

(13)

式(13)所得体积约束敏度为常数1，它确定了设计变量的迭代更新方向。

2.3优化模型求解

本文采用的优化模型求解思路为：基于变分原理，采用拉格朗日乘子构造含有目标函数与约束函数的泛函方程，并确定设计变量的稳态条件，通过求解拉格朗日函数极值实现机构的拓扑优化。输入输出更新迭代如下：

(14)

(15)

式中Λ(k)为第步迭代的体积约束拉格朗日乘子，其更新采用双向凸线性规划法。Ve为单元第k步迭代的体积。

33-PRR型平面整体式全柔顺并联机构同构构型

3.13-PRR型全柔顺并联机构拓扑优化工况

分析图1(a)中的3-PRR型并联原型机构，其拓扑优化工况图如图3所示。

图3所示的拓扑优化工况表示了在设计过程中支链与动平台之间的连接发生了本质的变化：通过拓扑优化设计之后的3-PRR型全柔顺并联机构采取的是一种无铰链的连接方式。本文在设计过程中，设定驱动器放置位置为非设计区域，区域范围根据驱动器规格确定。根据图3的输入输出配置，在SolidWorks中建立相应的平面几何模型，并在Hypermesh中进行前处理，如网格划分、材料单元属性分配及施加输入载荷，如图4所示。

图4　拓扑优化模型结构图Fig.4 Structure of topology optimization model

3.23-PRR型全柔顺并联机构同构构型

选取材料属性如下：

材料：不锈钢304；杨氏模量：2.05×10-5F/mm2；

泊松比：0.3；材料密度：7.85×10-9t/mm3。

施加载荷：1 kN。

根据拓扑优化模型求解方程(7)，可得经拓扑优化后平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构构型的材料最佳分布，如图5所示。图中，白色封闭区域内为非设计区域和密度为1的材料，需要保留，这样的材料分布也最符合应力的流向。白色封闭区域外是密度为0的材料，予以去掉。图6是目标函数柔度与优化迭代的曲线图，图中可得在0~4步是柔度下降幅度最快的阶段，并在第5步开始趋于收敛。

图5　3-PRR型全柔顺并联机构拓扑优化构型Fig.5 Topology optimization structure of planar 3-PRR fully compliant parallel manipulator

图6　拓扑优化迭代收敛曲线Fig.6 Iteration convergence curve of topology optimization

3.3仿真对比研究

将拓扑优化所得的3-PRR型平面整体式全柔顺并联机构构型用Solidworks进行光滑处理，并将处理后的结果导入Hypermesh中进行静力学仿真，其应力分布如图7所示。从应力云图分析可得，最大应力主要集中在驱动装置的输出端，最大应力为29.64 MPa，小于材料的屈服强度。

图7　3-PRR型平面整体式全柔顺并联机构应力分布图Fig.7 The stress distribution graph of 3-PRR type planar integrated fully compliant parallel manipulator

在相同载荷输入工况及边界约束条件下，优化前后机构参数如表1所示。

表1　优化前后机构应力分布情况对比

结果表明：优化后的最大应力比优化前最大应力减少47%，最小应力较优化前有所增大，优化后机构应力均匀性分布优于原机构。

图8为拓扑优化后平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构构型动平台在沿着X、Y方向及绕着Z转动方向的运动特性，相应的参数见表2。

图8　平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构运动特性Fig.8 Kinetic characteristics of planar integrated fully compliant parallel mechanism

根据式(6)的微运动Jacobian矩阵进行并联机构微分运动学分析，假设某个状态下该并联机构的初始条件设置为：

代入式(6)求解得到：

从而求得微运动Jacobian矩阵为：

表2　优化后动平台运动特性

结果表明：优化后的机构运动特性与式(6)的理论计算值处同一数量级，符合微运动特性。优化后的3-PRR型平面整体式全柔顺并联机构与3-PRR型并联原型机构具有运动同构性。

Optistruct拓扑优化的输入为静态载荷，运动特性仿真值为最后迭代步所测值。而基于微分Jacobian求解的理论值，因初始取值为运动空间内某一时刻。故仿真值与理论值的符号和数值上有明显的差异。

3.4振动模态分析

模态是机械结构固有振动特性，对于微纳制造领域的机构而言尤为重要。本文采用Optistruct对拓扑优化后的3-PRR型平面整体式全柔顺并联机构，在相同载荷输入工况及边界约束条件下进行模态分析，并选取该机构前四阶振动模态，如图10~12所示。

图9　一阶振动模态Fig.9 The first order vibration mode

同时，表3为与优化前后1~4阶振动模态相对应的固有频率和振型描述。

图10　二阶振动模态Fig.10 The second order vibration mode

图11　三阶振动模态Fig.11 The three order vibration mode

图12　四阶振动模态Fig.12 The four order vibration mode

阶数固有频率优化前优化后振型说明1756.3260889.261纵向弯曲2863.29771042.444侧向扭转3863.53831043.140侧向扭转42322.0701673.653纵向弯曲

经过拓扑优化后，对平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构进行模态分析，结果表明：优化后机构的低阶固有频率比优化前明显提高。该方法能有效抑制振动，使其各低阶固有频率明显提高，以免影响精密定位性能甚至造成“共振现象”。同时，对振动固有频率和相应振型的分析可为机构在后续优化，如尺寸参数优化、形貌优化等提供切实可行的依据。

4结论

本文提出了一种基于微分矢量同构映射法并引入到平面整体式全柔顺并联机构同构构型拓扑优化设计中。通过构建并联原型机构的微分雅克比矩阵方程，并采用拓扑优化设计方法，获得与并联原型机构微分运动特性一致性的全柔顺并联机构同构构型。通过平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构构型设计，得出如下结论：

(1)本文提出的基于微分矢量同构映射的全柔顺并联机构构型设计方法可实现两种机构之间的同构构型设计，并可在空间多维多尺度全柔顺并联机构构型设计中得以借鉴及应用；

(2)通过应力传递分布和前四阶振动固有频率仿真对比研究，表明所采取的方法可保证平面整体式全柔顺并联机构与传统并联原型机构之间的运动同构性的基础上，具有刚度均布化和一定振动抑制性。且对其振动固有频率和相应振型的分析可为机构在后续优化，如尺寸参数优化、形貌优化等提供切实可行的依据。

(3)通过对拓扑结果提取的平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构进行运动学仿真分析可得：平面3-PRR全柔顺并联机构动平台在X方向的位移为2.269×10-4mm、在Y方向的位移为-2.115×10-4mm和绕着Z轴转动的角位移为-1.486×10-4rad，实现了平面整体式3-PRR型全柔顺并联机构的微运动特性。将其与理论计算值进行比较，各方向上位移均在同一个数量级表明基于微分矢量同构映射的平面整体式全柔顺并联机构拓扑优化设计方法的有效性。

参 考 文 献

[1] 国家自然科学基金委员会工程与材料科学部.机械工程学科发展战略报告(2011-2020)[R]. 北京：科学出版社，2010.

[2] 豪厄尔(美). 柔顺机构学[M]. 余跃庆译. 北京：高等教育出版社，2007.5.

[3] 余跃庆，徐齐平.柔顺机构PR伪刚体动力学建模与特性分析[J]. 农业机械学报，2013,44 (3):225-229.

YU Yue-qing,XU Qi-ping.Dynamic modeling and characteristic analysis of compliant mechanisms based on PR pseudo-rigid-body model[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013,44 (3):225-229.

[4] Xiao S L, Li Y M, Meng Q L.Mobility analysis of a 3-PUU flexure-based manipulator based on screw theory and compliance matrix mechod[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing,2013, 14(8): 1345-1353.

[5] 李杨民，肖宵，汤晖. 一种新型3自由度大行程微定位平台设计与分析[J]. 机械工程学报，2013，49(19): 48-54.

LI Yang-min, XIAO Xiao, TANG Hui. Design and analysis of a novel 3-dof large stroke micro-positioning platform[J].Journal of Mechanical Engineering,2013,49(19):48-54.

[6] 余跃庆，崔忠炜，赵鑫，等. 柔顺关节并联机器人设计与实验[J]. 农业机械学报，2013，44(7): 274-278.

YU Yue-qing,CUI Zhong-wei,ZHAO Xin, et al.Design and experiment of parallel robot with compliant joints[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013，44(7): 274-278.

[7] Midha A, Norton T W, Howell L L.On nomenclature, classification and abstraction of compliant mechanism[J]. Trans ASME. Mech Design, 1994,116(1):270-279.

[8] 朱大昌，顾起华，陈德海，等.具有全柔顺支链的空间四自由度微动超精密定位平台:中国,201010564871.8[P]. 2011-05-25.

[9] 胡俊峰，徐贵阳，郝亚洲.基于动态特性的复合桥式微动平台优化设计[J].农业机械学报，2014，45(1):306-312.

HU Jun-feng,XU Gui-yang,HAO Ya-zhou.Optimization design of a compound bridge-type micro-platform based on dynamic characteristics[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2014，45(1):306-312.

[10] Zhu J H,Hou J, Zhang W H,et al.Structural topology optimization with constraints on multi-fastener joint loads[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2014，50: 561-571.

[11] 占金青，杨康，黄志超.基于节点变量法的连续体结构拓扑优化设计[J].农业机械学报，2014，45(9): 329-332.

ZHAN Jin-qing,YANG Kang,HUANG Zhi-chao.Topology optimization of continuum structures using node variable method[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2014，45(9):329-332.

[12] Kitayama S, Yamazaki K, Yamakawa H.Topology optimization of planar and plate structures using conformal mapping[J]. Struct Multidisc Optim, 2005, 29: 125-133.

[13] 罗震，郭文德，蒙永立，等.全柔性微型机构的拓扑优化设计技术研究[J].航空学报，2005,26(5):617-625.

LUO Zhen, GUO Wen-de, MENG Yong-li, et al.Fully compliant micro-mechanism using topological optimization approach[J].Acta Aeronautica Sinica，2005,26(5):617-625.

[14] Song J H, Kim C.3-D topology optimization based on nodal density of divided sub-elements for enhanced surface representation[J].International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2011, 13(4):557-563.

[15] 朱大昌，冯文结，安梓铭.整体式平面三自由度全柔顺并联机构构型拓扑优化设计[J].机械工程学报，2015，51(5):30-36.

ZHU Da-chang,FENG Wen-jie,AN Zi-ming.Topology optimization integrated design of 3-DOF fully compliant planar parallel manipulator[J].Journal of Mechanical Engineering，2015，51(5):30-36.

[16] Bendsoe M P,Sigmund O.Material interpolation schemes in topology optimization[J]. Archives of Applied Mechanics,1999,69(9/10): 635-654.

Configuration design with topology optimization and vibration frequency analysis for 3-DOF planar integrated fully compliant parallel mechanism

ZHUDa-chang,SONGMa-jun

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

Abstract:Through establishing the differential Jacobian matrix equation of parallel prototypical mechanism, the vector isomorphic mapping between planar integrated fully compliant parallel mechanism (PIFCPM) and parallel prototypical mechanism was realized. On this basis, the solid isotropic microstructure with penalization method(SIMP) topology optimization model of a 3-PRR type PIFCPM was built, an optimization criteria algorithm was introduced and combining with the vector isomorphic mapping equation, the isomorphic structure of the 3-PRR type PIFCPM was designed. Via a contrast simulation study on the stress distribution and first four vibration natural frequencies of the PIFCPM, it is shown that the topology optimization method introduced in the paper can achieve more uniform stiffness distribution and better performance of vibration suppression. The analysis of its vibration frequencies provides an important basis for the size and modal optimization of the mechanism. Meanwhile, the simulation regarding differential kinematical characteristics shows the kinematics isomorphism between PIFCPM and traditional parallel prototypical mechanism. The method and analysis results are helpful for structural design of PIFCPMs.

Key words:3-DOF planar integrated fully compliant parallel manipulator; differential vector isomorphic mapping; topology optimization; vibration natural frequency

中图分类号:TH11

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.005

通信作者宋马军 男，硕士，讲师，1990年4月生

收稿日期：2015-04-20修改稿收到日期：2015-07-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51165009);江西省自然科学基金重点项目(20142BAB206019);中国博士后科学基金(2013M541874)

第一作者 朱大昌 男，博士，教授，1973年10月生