一道高考试题结论的引申与探究



一道高考试题结论的引申与探究

湖南省浏阳市第一中学1309班(410300)罗邯

1.考题再现

2014年四川省高考数学卷理科第20题

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；

对于第(1)问,易求得椭圆C的标准方程为

2.引申与探究

图1

(1)若y0=0,则线段PQ垂直于x轴,显然OT平分线段PQ.

综合(1)、(2)可得结论成立．

显然,若x0=c(或-c),则定点F和定直线l分别是椭圆的焦点和准线.

上述结论能否类比到双曲线上呢?答案是肯定的.于是就有如下的结论:

图2

证明方法与结论1的类似,本文不再赘述．

同样，若x0=c(或-c),则定点F和定直线l分别是双曲线的焦点和准线．

椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线，而抛物线则称为无心圆锥曲线．经过研究，对于抛物线有如下的结论：

结论3如图3，已知抛物线y2=2px，F(x0,0)是x轴上一定点，直线l:x=x0-p是相应于定点F的定直线，T为直线l上任意一点，过定点F作TF的垂线交抛物线于P、Q两点，则过点T且与y轴垂直的直线平分线段PQ．

图3

证明：设T(x0-p,t)，

(1)若t=0，则线段PQ的中点即为F，结论显然成立．

综合(1)、(2)可得结论成立．

在解决一个问题后，思考此问题相应的逆命题是否成立．通过探究可以得出如下结论．

证明:因为M与定点F不重合,所以弦PQ所在直线的斜率存在且不为零(因x0≠0).

设PQ:y=k(x-x0)(k≠0),

结论6设M是抛物线y2=2px的过定点F(x0,0)的弦PQ的中点,且M与定点F不重合,则过M和y轴垂直的直线与过点F垂直于弦PQ的直线的交点落在定直线l:x=x0-p上.

结论5和结论6的证明过程与结论4的证明过程类似,在此不再再赘述.

(注：本文得到朱保仓老师指导，特此致谢！)