“四知”引领二轮复习　“任务驱动法”激活教学*——以一节高三二轮复习课为例

2016-04-06伊波

中学数学研究(江西) 2016年2期

“四知”引领二轮复习“任务驱动法”激活教学*
——以一节高三二轮复习课为例

黑龙江省大庆实验中学(163000)伊波

1背景

本节课是本组承担的黑龙江省教育科学“十·二五”规划课题：任务驱动教学法在数学探究课教学中的应用研究(省重点课题，编号JJB1211003)阶段性研究成果.这里提到的“四知”教学法是在黑龙江名师、特级教师杨春堂老师所提出的“三知”教学法上发展和提升而来的.笔者在二轮复习中结合“四知教学法“、“任务驱动法”进行教学，教学成效显著，较大的激发了学生的学习兴致和学习效率，初步形成了自身的教学特色.本节课是笔者在校内的青年教师汇报课上向校内外老师们展示的一节二轮复习课，课后的讨论中评论员给予了很高的评价，并且本节课被推荐到市里做了相应的说课，也收到了不错的交流效果.

2教学内容解析

一元不等式恒成立问题及其简单应用，内容在教材上虽然没有直接的显现出来，但是该内容是高考重点考查的内容，是函数与不等式的交叉内容，无论是简单题、中等题还是较难题都可能涉及到，并且在高中数学各个章节中都能体现出来，如数列、圆锥曲线、立体几何等.

一元不等式恒成立问题是一个综合性较强、考查学生综合能力的问题.看似为不等式问题，实则为函数最值问题，然而又不完全等同于函数最值问题，而是需要学生有选择性的进行问题转化，从而避重就轻，使问题简易化.而且很多“隐形问题”最终都可以转化成一元不等式恒成立问题，也就是其有比较广泛的应用.

从数学思想上来看，其着重突出了转化与化归、函数与方程、数形结合等数学基本思想.所以本节课在培养学生数学思想方法的能力方面有举足轻重的作用，更能培养学生解决综合问题的能力.

3教学设计与评析

在整个教学过程中，教师以“忆知”、“驱知”、“用知”、“感知”组成教学环节，提前给学生分发导学案，用问题驱动法带动学生回忆、梳理已学知识、总结方法与规律、并且能用所学知识解决相应的数学问题.在教师引导下，课堂上突出学生的主体地位，在小组合作讨论下解决问题(课堂上每个环节都采取小组抢答的方式来解决问题)，从而实现教学目标的有效达成，形成高效的课堂.

(1)忆知：教师提出问题，以问题驱动学生对知识的直接梳理与回忆.

通过一轮复习，学生已经较熟练地掌握了一元不等式恒成立问题及其简单应用的基本理论知识，所以这里直接以问题驱动的方法，让学生直接总结出相关的理论知识，这样既能让老师了解学生的掌握情况，又能让学生参与到课堂中来，一举两得.

教学片段1

问题1一元不等式恒成立问题的本质

第五小组抢答：最值问题.我们小组的回答完毕！

问题2解决一元不等式恒成立问题的常见方法

第六小组抢答：分离法，单调性法，转换变元，判别式法，根的分布法，换元法、导数法，分类讨论，数形结合，求必要条件等.我们小组的回答完毕！

问题3解决一元不等式恒成立问题的解题原则

第一小组抢答：分清变元与参数，搞清不等式与函数类型，选择适当方法，尽量避免讨论，转化成最值问题.我们小组的回答完毕！

问题4一元不等式恒成立问题的常见应用

第四小组抢答：定义域逆向题，单调性逆向题，不等式有解问题，两个函数比较大小问题、在圆锥曲线、数列等其他内容的应用，等等.我们小组的回答完毕！

教师：同学们利用导学案，在课下查阅笔记和资料较好的完成了上面四个问题，各个小组表现都很出色，希望在下面的问题中你们能更好的展示自己.你们已经总体上把握了一元不等式恒成立问题及其简单应用的基本理论知识，但是记得这些东西，循规蹈矩的去解决问题，我们反而会被束缚住，所以同学们要把“功夫”化为无形，能够“润物细无声”，自如地去解决这类问题.各小组，下面才是见真招的时候.

设计目的：通过问题的驱动、学生的课下任务完成、学生课上问题的解决能够让学生自主的掌握理论知识，通过老师的总结和激励，为接下来的课堂气氛打下坚实基础.

(2)驱知：设计经典问题，驱动学生去解决问题，并且归纳总结出解决问题的规律、方法和数学思想.

这里我设计的问题是由浅入深，学生通过小组合作，课堂上以学生的“主体活动”为主，让他们自主再建立和回忆知识与方法体系.学生可以通过讨论、板演、多媒体设备等丰富自己的讨论结果.

教学片段2

问题1对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式ax2+7>x-2a恒成立的x的取值范围.

教师：同学们，第三小组的回答怎么样？(掌声)难不成你们都是这么做的？

教师：谢谢第一组和第三组的精彩表现，谁能帮我总结一下你们都学到了什么？可以从解题方法、规律、数学思想等方面入手.

第一小组抢答：第三组用到的方法是“转换变元法”、“一次型函数的单调性求最值法”，这里所用到的数学思想有转化与化归、函数思想.我们组所用方法是“参变量分离法”，所用到的数学思想有转化与化归思想.我们小组的回答完毕！(掌声)

教师：通过同学们的掌声可以看出第一小组的总结还是比较恰当的，这里我想强调的是：本题虽然较为简单，但是用到的方法、思想都很重要，尤其是一元一次型不等式恒成立问题(在有限区间上)的解决方法是直接代入区间端点解不等式即可(注意端点值是否包含).而“参数变量分离法”要注意参数变量容不容易分离，分离过程要不要讨论，分离完的函数容不容易求最值等，也就是我们要评估用此方法的繁杂程度(下课了同学们可以研究一下“触摸高考”栏目的第1题).在本题中，两种方法都是比较简单的，但实际上遇到别的问题未必是这样的，选择简单的方法是上策，例如本题中你要是搞清楚了不等式类型为一元一次型不等式恒成立问题(在有限区间上)，我们即可按照所总结的结论直接解决即可，而参数变量分离法是需要简单探索一下的！这里我提到了不等式类型为一元一次型不等式恒成立问题(在有限区间上)，我们再看一个相似的问题.

变式已知函数f(x)=x2+ax+3-a，对∀a∈R，f(x)≥2恒成立，求x的取值范围.

第六小组抢答：将原式整理成(x-1)a+x2+1≥0，a∈R恒成立，因为一次函数在定义域R上的值域也为R，所以不合题意，则g(a)=(x-1)a+x2+1不能为一次函数，只能为常值函数，所以x=1，经检验x=1符合题意，所以x的取值范围为{1}.我们小组的回答完毕！(热烈掌声)

教师：很好！注意一元一次型不等式恒成立问题(变量范围为R)的特殊性！我们把上面的变式变一下，下面我们研究第二个问题.

设计目的：通过简单的问题，进一步让学生掌握转化变元和参数变量分离这两种常用方法，感受数学思想，并且能够掌握一次函数型恒成立问题的解题策略以及如何选择最优方法.通过问题的巧妙设计，顺利的引入下个问题，使课堂的过渡更加自然.

问题2已知函数f(x)=x2+ax+3-a，在R上f(x)≥2恒成立，求a的取值范围.

教师：回答的很好，刚才第三小组说可以通过讨论，参数变量分离解答此题，虽然麻烦，但是换别的一个题，可能这样做就是唯一的出路，这里我们可以分x>1、x=1、x<1三种情况讨论，因为是对自变量的讨论，所以把最后求得的a的范围求交集即可，同学们下课可以操作一下.这里的一元二次型不等式恒成立自变量没有限制，我们主要采取判别式法(强调要注意二次项系数的符号)，也可以直接求最值(下课了同学们可以研究一下“触摸高考”栏目的第2题).对于自变量范围有限制的一元二次型不等式恒成立怎么办呢？

变式已知函数f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-1,1]时，f(x)≥a+10恒成立，求a的取值范围.

教师：厉害！参变量分离法在这里依然简洁实用，也是我们的首选方法，但我感兴趣的是后两种方法.讨论法是解决不等式恒成立问题的一个很重要的方法，但是麻烦，讨论的原因是参数的范围比较大，能不讨论或者减少讨论次数吗？

教师：精彩，精彩！在高考较难的小题和解答题中，经常要用讨论法求解不等式恒成立问题，但是为了减少讨论，求条件成立的必要条件，缩小参数范围，减少讨论是很重要的(下课了同学们可以研究一下“触摸高考”栏目的第3题).下面请同学们来总结一下问题2及其变式.

第四小组抢答：这里遇到的不等式类型是一元二次型不等式恒成立问题，如果自变量没有限制，可以采取判别式法或者直接求最值，如果自变量被约束了，可以采取参数变量分离法、讨论求最值、根的分布法、求必要条件法，当然在选择方法上，要避繁就简，求必要条件法可能能帮我们简化问题.在这里主要的数学思想有转化与化归思想、函数思想、分类讨论思想.我们小组的回答完毕！

教师：第四组的总结已经很精辟了，我想说的是一元二次型不等式恒成立问题虽然较为普通，但是这里所涉及到的数学方法和思想是很重要的，既有针对一元二次型的特殊方法，如判别式法、一元二次根的分布法，又有针对普通问题的通法，如参数变量分离法、讨论法、求必要条件法等.希望同学在这里体会其中的变化与不变，能够轻松的解决问题.进一步，对于一元三次型不等式恒成立问题(或者次数更高的)、分式型不等式恒成立问题、混合函数型不等式恒成立问题，除了用到参数变量分离法、讨论法、求必要条件法，还有一个很重要的方法是导数法(必要时需结合换元法)，我们下一节课研究导数解答题(一元不等式恒成立问题)再详细研究，当然处理小题时，相对要灵活一点了，我们看问题3.

教师：“导数法”好使不？(学生在下面嘀咕“不好使”)很好，解答题我们一般用导数法，小题的方法灵巧多变，尽量减少“硬拼”，“快、准”才是王道，所以方法一很好.不过在这里我还是要强调一下方法二，对于混合函数型不等式恒成立问题，很多同学都不多想，上来就求导，这是要不得的，整理变形是很必要的.解决小题，整理变形后“数形结合法”往往比较好使(下课了同学们可以研究一下“触摸高考”栏目的第4题).请同学们总结一下.

第五小组抢答：这里遇到的是混合函数型不等式恒成立问题，如果是解答题，一般采取“导数法”分析和解决问题；作为小题，方法就多样了，排除法、特殊值法、数形结合法、导数法等等都可能好使.不管是解答题还是小题，根据题意看要不要做适当的变形和化简.本题用到的数学思想有转化与化归、数形结合和函数思想.我们小组的回答完毕！

教师：总结的不错，我再次强调一下，“导数法”是我们解决一元不等式恒成立问题的一个很重要的方法，今天时间有限，我们明天要着重研究.这样我们通过较简单问题再次回忆和学习了解决一元不等式恒成立问题的方法、规律和数学思想，下面我们要用“一元不等式恒成立问题”去解决一些数学问题，也就是我们的“用知”环节.

设计意图：对于混合函数型恒成立问题，常用的代数方法失效情况下，转化成图像问题是个不错的选择.

(3)用知：应用所学的知识内容，去解决别的数学问题，并通过解决问题的过程来体会目标任务是怎么达成的.

这里我设计四个不同的问题，也是较常见的四个问题，代表了“一元不等式恒成立问题“的四个不同方向的应用，依然采取”任务驱动法“，在教师指导下，让学生成为课堂的主体，自主解决数学问题,老师在所有问题结束后做总的点评.因为课堂时间问题，这里的问题各小组都将在课下讨论好并书写在纸上，课堂上用实物展台展示给大家，并作简单的解释即可，这样既能展示大家的讨论成果，又能高效的完成教学任务，使得学与教很好的融为一体，课堂也显得更加高效.

教学片段3

问题1若函数f(x)=

问题2已知a>0，函数f(x)=(ax2+bx+c)·ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0，求a的取值范围.

第六小组展示并总结：本题是单调性逆向题，通过f(0)=1,f(1)=0消元，将问题转化为f′(x)≤0，x∈[0,1]恒成立，从而解得a的取值范围为(0,1].我们小组的回答完毕(展示图片略)

问题3若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1

第二小组展示并总结：结果是a的取值范围为{a|a<-4}.本题是不等式有解问题，解答方法不唯一，可直接计算，也可以考虑其对立情况，将问题转化为2x2-8x-4-a≤0,x∈(1,4)恒成立，解得结果并取其补集.我们小组的回答完毕！(展示图片略)

问题4已知函数f(x)=

第四小组展示并总结：求得f(x)最小值0，将问题转化为g(x)>0,x∈[0,1]恒成立，求得a的取值范围为{a|a≤1}.我们小组的回答完毕！(展示图片略)

教师：各小组的准备都比较充分，课堂上的回答也很精彩，请同学们给总结一下这四个问题.

第五小组抢答：这四个问题都是“一元不等式恒成立问题”的重要应用，前三个问题分别是定义域逆向题、单调性逆向题、不等式有解问题，最后一个问题不太好起名字，我们小组给起了个名字叫“一类两个函数比较函数值大小问题”.这里用到的数学思想主要是转化与化归思想.我们小组的回答完毕！

教师：总结的不错.这里我要强调的是：问题1别忘了对最高次项系数进行简单的讨论；问题2别忘了最后的结果需要检验一下；问题3直接解答事实上更简单，只不过我们这里要的是“一元不等式恒成立问题”的应用；问题4叫什么名字不重要，我觉得第六小组起的名字就不错，这是一类问题，我们在一轮复习时都研究了，同学们回去翻一下资料给总结一下.我们这里的应用还是没绕开不等式和函数，事实上“一元不等式恒成立问题”可以渗透到数列、立体几何、圆锥曲线等不同的领域中，在课后作业中我们将安排相应的习题，大家到时候好好的研究一下(下课了同学们可以研究一下“触摸高考”栏目的第5题).最后就让同学们“触摸高考”，走进教学的最后一个环节——“感知”环节，也是同学们课下自主研究的环节，今天的课到此结束.

设计意图：不等式恒成立问题不仅仅是以显然的形式给出，有时问题隐藏的比较深，需要我们去挖掘，上面的四个问题就是我们常见的几种隐形的恒成立问题.

(4)感知：通过设置典型的高考题，驱动学生去触摸高考，感觉高考是怎么考的.通过所学的知识来解决高考题，让学生找到自信，从而更好的适应高考.