具有非线性Neumann边界条件的非局部反应扩散方程解的爆破时间的下界估计*

方钟波, 杨　蕊

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)



具有非线性Neumann边界条件的非局部反应扩散方程解的爆破时间的下界估计*

方钟波, 杨蕊

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

摘要：侧重研究具有非局部源和非线性Neumann边界条件的反应扩散方程解的爆破现象。适当的辅助函数构造法与微分不等式技巧相结合，建立了解发生爆破时爆破时间的下界。

关键词：反应扩散方程；非局部源；非线性Neumann边界；爆破时间的下界

0引言

考虑具有非局部源和非线性Neumann边界条件的反应扩散方程初边值问题

ut=Δu+up∫Ωuqdx，(x，t)∈Ω×(0，t*)，

(1)

(2)

u(x，0)=u0(x)≥0，x∈Ω。

(3)

其中：Ω∈R3是具有光滑边界∂Ω的有界星型区域；t*是可能发生爆破的有限时间或者t*=∞；v是沿∂Ω的单位外法向量，p≥0，q>0，p+q>1，s>1。非负初始值u0(x)满足适当的光滑性和相容性条件，且由极值原理可得，在解的最大存在时间区间内满足u(x,t)≥0。

方程(1)描述热传导现象中温度、化学反应过程中物质的浓度、生物种群理论中某些生物物种密度的扩散等许多物理现象[1-2]。非线性边界流(2)在物理上解释为满足非线性径向法则[3]。

对抛物型方程(组)解的爆破现象的研究已有许多文献和专著，见文献[4-5]及相关文献。但是大多数涉及到的问题是整体解的存在性与非存在性，渐近性质等。最近，此类问题中解的爆破时间上下界估计方面得到了许多学者的广泛关注。实际上，在爆破时间上界的估计方面文献较多，比如，Levine[6]介绍的凸性方法，Ding等[7]介绍的补助函数法、极值原理和上下解方法的相结合等。相对而言，爆破时间下界的估计更难。Song[8]研究了具有非局部源项和吸收项的反应扩散方程

ut=Δu+∫Ωuqdx-kuq,(x,t)∈Ω×(0，t*)。

在齐次Dirichlet和齐次Neumann边界条件下解的爆破时间的下界估计值，之后，Liu等[9]和Fang等[10]考虑了在齐次Dirichlet和齐次Neumann边界条件下非局部多孔体介质方程，并得到了类似的结论。

受上述文献启发，本文中研究具有非局部源项和非线性Neumann边界条件的反应扩散方程初边值问题(1)～(3)解发生爆破时爆破时间的下界估计值。实际上，由正则化方法及Schauders不动点定理易得问题(1)～(3)弱局部解的存在唯一性，且对p+q>1，s>1和对充分大的初始值，问题(1)～(3)解在时刻t*爆破是大家都已熟知的，见文献[11-12]。故本文只考虑解发生爆破的情形。

注意到，由Sobolev型不等式的最优化常数，导致所得的结果仅局限在三维空间，见文献[13]。同时，此类问题的研究对于发展方程解的生命跨度的确定有着非常重要的意义。

1主要结论及证明

本节中，利用辅助函数的适当构造法与微分不等式技巧相结合，得到下面的主要结论。

为了证明定理1，先介绍下面的引理，其证明见文献[14]。

引理1[14]令Ω是R中的有界星型区域并且关于2个正交方向为凸的，则对任意定义在Ω上的非负C1类函数(ux)，成立下面不等式

定理1的证明：定义如下形式的辅助函数

φ(t)=∫Ωun(p+q-1)dx。

对φ(t)关于t求导可得

φ′(t)=n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)-1utdx=

n(p+q-1)∫Ωn(p+q-1)-1[Δu+up∫Ωuqdx]dx=

n(p+q-1)-1[n(p+a-1)-1]∫Ωu(p+a-1)-2|u|2dx=

n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx·

n(p+q-1)∫∂Ωun(p+q-1)+s-1dσ-

n(p+q-1)∫Ωun(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx，

(4)

其中dσ是∂Ω上的面积微元。

对(4)式右端第三项利用Hölder不等式，有

(5)

及

(6)

结合(4)(5)(6)可得

φ′(t)≤

∫∂Ωun(p+q-1)+s-1dσ+n(p+q-1)|Ω|∫Ωu(n+1)(p+q-1)dx。

(7)

为了简便，令

则

φ(t)=∫Ωvndx。

(8)

且(7)式可改写为

n(p+q-1)∫∂Ωvn+s1dσ+n(p+q-1)|Ω|∫Ωvn+1dx，

(9)

其中l0,d2等同于引理1中的定义。

把上式代入到(9)中，易知

n(p+q-1)|Ω|∫Ωvn+1dx。

(10)

记

J1=∫Ωvn+s1dx，

(11)

J2=∫Ωvn+s1-1|v|dx，

(12)

J3=∫Ωvn+1dx，

(13)

Ψ(t)=∫Ωvn-2|v|2dx。

(14)

下面用Ψ(t)和φ(t)来表示J1，J2，J3的估计值。先求J2的估计值。

注意到

其中

显然有0<δ1<1。

由基本不等式

得到

(15)

其中ε为适当的正数。

再对(15)式右端第二项运用Hölder不等式，显然有

(16)

根据引理1，(16)式右端满足

(17)

利用Hölder不等式来确定(17)式右端第二项的范围，得

∫Ωvn-1|。

(18)

接着把(18)代入到(17)，得到

(19)

结合(16)～(19)，可得

根据如下Hölder不等式的特殊形式

(20)

得

(21)

其中，c1*，c2*通过计算可以得到。

把(21)代入到(15)，易知

(22)

再确定J3的范围.由引理1可知

(23)

用Hölder不等式来确定上式右端第二项的范围，得

(24)

其中

显然0<δ2<1。

对(24)式右端项运用Hölder不等式，易知

(25)

对(23)式右端第一项运用Hölder不等式，则有

(26)

结合(23)～(26)得

运用(20)式可得

(27)

其中，c3*，c4*通过计算可以得到。

再确定J1的范围.类似于J3的估计，根据引理1，可得

(28)

对上式右端第二项运用Hölder不等式，易得

(29)

其中

显然0<δ3<1。

对(29)式使用Hölder不等式，有

(30)

对(28)式右端第一项运用Hölder不等式，易知

(31)

类似于(27)式，结合(28)～(31)并运用(20)得

(32)

其中，c5*，c6*通过计算可以得到。

把(14)(22)(27)(32)代入到(10)，得到

(33)

其中，ci，i=0，1，2，3，4，5，6通过计算可以得到。

利用下面的不等式

(34)

(35)

(36)

其中λ1，λ2，λ3为任意正常数；k2，k4，k6为可以计算出的正常数。

把(34)～(36)代入到(33)，并取适当的λ1，λ2，λ3和ε，使满足

则得到微分不等式

(37)

对上式2边在上积分，则有

定理证毕。

参考文献：

[1]Bebernes J, Eberly D. Mathematical Problems from Combustion Theory [M]. New York: Springer-Verlag, 1989.

[2]Wu Z, Zhao J, Yin J, et al. Nonlinear Diffusion Equations [M]. Singapore: World Scientific, 2001.

[3]Filo J. Diffusivity versus absorption through the boundary [J]. J Differential Equations, 1992, 99: 281-305.

[4]Levine H A. The role of critical exponents in blow-up theorems [J]. SIAM Rev, 1990, 32: 262-288.

[5]Samarskii A A, Kurdyumov S P， Galaktionov V A， et al. Blow-up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations [M]. Moscow: Nauka, 1987, Berlin: Walter de Gruyter, 1995.

[6]Levine H A. Nonexistence of global weak solutions to some properly and improperly posed problems of mathematical physics: The method of unbounded fourier coefficients [J]. Math Ann, 1975, 214: 205-220.

[7]Gao X, Ding J, Guo B Z. Blow-up and global solutions for qusilinear parabolic equations with neumann boundary conditions [J]. Applicable Analysis, 2009, 88: 183-191.

[8]Song J C. Lower bounds for the blow-up time in a non-local reaction-diffusion problem [J]. Applied Mathematics Letters, 2011, 24: 793-796.

[9]Liu D, Mu C, Xin Q. Lower bounds estimate for the blow-up time of a nonlinear nonlocal porous medium equation [J]. Acta Mathematica Scientia, 2012, 32B(3): 1206-1212.

[10]FangZB,YangR,ChaiY.Lowerboundsestimatefortheblow-uptimeofaslowdiffusionequationwithnonlocalsourceandinnerabsorption[J].MathProblEng, 2014, 42:ID764248： 6.

[11]LiF,XieC.Globalexistenceandblow-upforanonlinearporousmediumequation[J].ApplMathLett, 2003, 16: 185-192.

[12]FangZB,ZhangJ,YiSC.RolesofweightFunctionstoanonlocalporousmediumequationwithInnerabsorptionandnonlocalboundarycondition[J].AbstractandAppliedAnalysis, 2012： 16.

[13]TalentiG.BestconstantinSobolevinequality[J].AnnMatPuraAppl, 1976, 110(1): 353-372.

[14]PayneLE,PhilippinGA,PiroSVernier.Blow-upphenomenaforasemilinearheatequationwithnonlinearboundarycondition,II[J].NonlinearAnalysis, 2010, 73(4): 971-978.

AMS Subject Classifications：35R45; 35K65

责任编辑陈呈超

Lower Bounds Estimates of the Blow-up Time for a Reaction-Diffusion Equation with Nonlocal Source and Nonlinear Neumann Boundary Condition

FANG Zhong-Bo, YANG Rui

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100， China)

Abstract:This paper focuses on investigating the blow-up phenomena to a reaction-diffusion equation with nonlocal source and nonlinear Neumann boundary condition. Based on differential inequality technique and constructing suitable auxiliary function, lower bounds for blow-up time are derived when the blow-up occurs.

Key words:reaction-diffusion equation; nonlocal source; nonlinear Neumann boundary; lower bounds for blow-up

中图法分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1672-5174(2016)01-145-04

作者简介：方钟波(1968-)，男，教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

收稿日期：2014-03-07；

修订日期：2015-03-10

*基金项目：山东省自然科学基金(ZR2012AM018)及中央高校基本科研基金(201362032)资助

DOI：10.16441.cnki.hdxb.20140081

引用格式：方钟波, 杨蕊. 具有非线性Neumann边界条件的非局部反应扩散方程解的爆破时间的下界估计[J].中国海洋大学学报(自然科学版)，2016,46(1)：145-148.

FANG Zhong-Bo, YANG Rui. Lower bounds estimates of the blow-up time for a reaction-diffusion equation with nonlocal source and nonlinear neumann boundary condition[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(1): 145-148.

Supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province of China(ZR2012AM018)and the Fundamental Research Funds for the Central Universities(201362032)