苗族银饰几何元素探析及在课堂教学中的应用

罗永超，肖绍菊

（凯里学院 数学科学学院，贵州 凯里 556011）



苗族银饰几何元素探析及在课堂教学中的应用

罗永超，肖绍菊

（凯里学院 数学科学学院，贵州 凯里 556011）

摘要：苗族银饰造型生动、熠熠生辉，展示出一种有着丰富内涵的苗族文化；苗族银饰图案中有三角形、正方形、平行四边形、正五边形、正六边形等平面图形，还有圆、椭圆、螺旋线、星形线、玫瑰线等曲线；苗族银饰是一本没有文字但却有着丰富内涵的几何教材．通过解读苗族银饰中的几何元素，不失时机地将其引入苗族学生的数学课堂，让学生在自己熟悉的文化生活中学习数学，切实提高苗族地区的教学质量．

关键词：苗族文化；苗族银饰；民族数学文化；几何元素；课堂教学

每逢传统节日，走进苗族聚居的地方，都可以看到苗族妇女衣着盛装，从头到脚全身缀满了银饰品，银帽、银耳环、银项链、银手链、银背扣、银胸佩、银腰坠等，款式丰富，数不胜数，谁也说不清楚到底有多少种．琳琅满目、造型生动、熠熠生辉、让人目不暇接的银饰展示出一种有着丰富内涵的苗族文化．

苗族盛装，镶嵌着具有苗族文化元素的各种银饰，有一种珠联璧合的效果，更显得雍容华贵．图1是贵州省雷山县西江苗族服饰，图2是贵州省台江县施洞苗族服饰[1]，这些被誉为“穿在身上的史书”的苗族服饰，其款式繁多，色彩艳丽，堪称民族服装之最[2]．

图1

图2

华丽的苗族服饰是无文字的苗族利用服饰及图案生动地记述苗族历史的载体，传达的信息展示出苗族服饰所具有的文字文化史料价值[1]．在苗族服饰中，有许多图案都是以几何基本图形为元素，它们通过对称、平移、旋转或相似变换又构成了不同的美丽图案, 而这些以几何基本图形为元素的具有特殊符号和意义的图案都集中体现在象征着吉祥、光明、美丽、富有的银饰中，苗族银饰实际上是一本没有文字但却有着丰富内涵的几何教材．

1 苗族银饰文化中的几何元素

苗族银饰文化中的几何元素与苗族的历史文化密切相关．流传于贵州省黔东南地区的苗族创世纪史诗《苗族古歌》认为：蝴蝶生下12个蛋，孵化出了雷公、水龙、老虎、水牛、蜈蚣、蛇和人类始祖姜央[3]．因为苗族人民对蝴蝶、雷公、水龙、老虎、水牛、蜈蚣、蛇以及鱼、鸟的图腾崇拜，经过长期的抽象化最终形成许多基本的几何图形，如三角形、正方形、长方形、平行四边形、五边形、六边形、圆、螺旋线、星形线、玫瑰线等[4]．把这些最基本的几何图形通过连接、对称和组合，又构成了比较复杂一些的纹样，如太阳纹、锯齿纹、回纹、水波纹、卷蔓、鱼纹、蝶纹、龙纹，等等[5]．而这些基本的几何图形和几何纹样集中地表现在苗族的银饰中，它们构成苗族银饰独有的风格．

图3是收藏于贵州省黔东南苗族侗族自治州博物馆的银佩（也称为长命锁或压领），这些银饰中的蝶纹、龙纹、卷蔓等纹样构成了一幅幅精美的图案，图案中的几何图形清晰，如图4是图3中圆形吊坠的放大图，它是由3个同心圆和“星形线”构成的几何图形，其中的“星形线”也可以视为大小相等的4个圆，这其中蕴涵着丰富的数学文化．如果建立直角坐标系，人们还会联想到更多的数学问题，比如说曲线的方程等．

图5～7都是苗族银饰中的吊坠（耳环、胸佩等）．其中图5就有三角形、扇形和圆（它实际上是由银丝绕成的等速螺线）；图6的中心部分却酷似玫瑰线；图7就是一簇椭圆．

图3

图4

图5

图6

图7

其实，苗族银饰到处都是几何图案．如果说苗族银饰图案的全体构成一个苗族银饰文化符号的集合，那么它的每一个文化符号即每一个图形、每一个纹饰或每一幅图案就是这个集合中的一个文化元素，在这些元素中几何元素占有很重的比例[6]．

2 苗族银饰中的正三角形

正三角形是构成苗族银饰的基本元素之一．一方面，正三角形有着独特的美学价值，利用正三角形可以拼接成其它的几何图形，如菱形、等腰梯形、正六边形等；另一方面，利用三角形的稳定性，可以防止银饰变形．三角形作为最简单、最基本的平面图形，任何多边形都可以视为若干个三角形拼组而成，三角形具有稳定性等性质，在苗族银饰中都得到了较好的应用．

如图8～11也是苗族银饰中的吊坠（耳环、胸佩等），它们分别由1个、2个、4个、6个正三角形构成，图9为菱形，图11为正六边形．图12是由图11的一半组成的一个等腰梯形，它由3个正三角形构成．

这些造型别致的几何图案，除了极具历史文化价值和美学价值之外，还启发人们直观地发现数学结论．

例如，在学习“镶嵌”内容时，要求学生分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，那么哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案？对此，这一组银饰图案就是苗族学生（特别是女生）最为熟悉的直观教具，在民族地区实施数学教育，若能注意开发和利用这些民族文化，创设必要的数学情境，对提高少数民族学生对数学的认识和理解，其效果不言而喻．

图8

图9

图10

图11

图12

数学课程标准（2011年版）[7]要求教师积极开发和利用课程资源，其中的“课程资源”包括学生生活环境中的数学信息，用于操作的学具或教具等．探究苗族银饰几何元素，研究民族数学文化与开发少数民族课程资源，利用苗族学生熟悉的银饰进行图形的相关教学，是对数学课程标准的具体落实，这对苗族地区学校的数学教育来说具有重要的现实意义．

3 苗族银饰中的圆

圆是构成苗族银饰的又一基本元素．如图13～16是苗族银饰中的“铜鼓”吊坠，它们的图案虽然不同，但结构基本相似，都是由几个同心圆构成，而同心圆（或两个同心圆构成的圆环）内都镶嵌着一些相切的等圆．为了叙述的方便，规定同心圆从里到外依次称为第一个圆，第二个圆，第三个圆，……

在图13～16中，第一个圆内分别有3、4、5、6个半径相等的圆都与之内切，且这3（或4、5、6）个等圆中的任意一个都与相邻的两个圆外切；在图13和图16的第二个圆与第三个圆之间分别有15个等圆都分别与之外切和内切，且这15个等圆中的任意一个都与相邻的两个圆外切；而在图16的第四个圆与第五个圆之间有29个等圆都分别与之外切和内切，且这29个等圆中的任意一个都与相邻的两个圆外切．

图13

图14

图15

图16

显然，这些银饰的制作要遇到如下问题：

（1）在图13中，若第一个圆内的3个等圆的半径为r，且都与之内切，这3个等圆中的任意一个都与相邻的两个外切，那么第一个圆的半径R等于多少？同理，图14～16中的第一个圆的半径R分别等于多少？

（2）一般地，若n个半径为r的等圆都与半径为R的大圆内切（或外切），且这n个等圆中的任意一个都与相邻的两个外切，那么大圆的半径R是等圆半径r的多少倍？

作为课堂教学的拓展，还可以提出：

（3）在问题（2）中，半径为r的n个等圆的圆心共圆吗？这个圆的半径是多少？

学生在学习了有关正多边形和圆的知识后，完全可以回答这些问题．

在以圆为基本元素的苗族银饰中，款式多样，构图精美，富于启发和想象，是中小学数学开展研究性学习的丰富题材．图17是苗族银饰吊坠中的又一款式，它在结构上与图13～16相似，所不同的是在同心圆的中心有一个五角星，其几何图形如图18所示，它由10个等圆Oi(i=1, 2, …, 10)、4个同心圆O和一个五角星构成．制作这样一个银饰，当然要知道这10个等圆和4个同心圆O的半径各是多少，它们与正五边形ABCDE的边长有何关系等，这些都是学生通过努力可以解决的问题．

图17

图18

以学生熟悉的这些文化素材为研究性学习的题材，让学生在自己熟悉的文化中学习数学，体验实验、分析、归纳、总结的数学思想方法，是现行课程标准所提倡的教学理念[8]．

4 苗族银饰中的对称与平移

苗族银饰图案的组合蕴涵着大量的几何变换，主要表现为对称（包括轴对称和中心对称）变换与平移变换．

如前所述的银饰图案几乎都是对称图形，苗族银饰图案之所以对称，一方面是因为这些图案以具有对称性的正三角形或圆为基本图形构成，另一方面是出于审美的需要，苗族人民常把他们的图腾图案以对称的形式出现在苗族盛装的银饰中，形成了苗族银饰图案以对称为美的基本特征．

图19是收藏于贵州省黔东南苗族侗族自治州博物馆的苗族盛装，上面点缀着许多银饰，这些银饰图案有的本身就具有对称性，而不对称的图案则成双成对地装饰在衣服左右对称的位置上，使其整体构成了一幅精美的轴对称图形．

图19

图20是收藏于贵州省黔东南苗族侗族自治州博物馆的苗族妇女的锥形背扣，它是用筷子粗细的银条盘成螺旋纹，重量一般在300 g左右，这是因为苗族妇女喜穿胸围兜，背扣连接围兜带，悬于背部，既可调节兼作领口的胸围口的高度，又可以作为装饰品．锥形背扣的形状是根据苗族图腾崇拜中的“螺蛳龙”制作而成，两个圆锥由一个“S”形的银片连接成为一个整体，构成了一个中心对称的图形．

图20

平移是苗族银饰的又一基本特征．如图21是苗族银手链的展开图，它由6个“铜鼓”组成，显然，可以理解为由一个“铜鼓”经过5次平移生成的，也可以理解为由两个“铜鼓”经过两次平移生成的，等等．

图21

由于苗族银饰图案中存在着这许多的几何变换，因而苗族地区的学生可以从他们熟悉的银饰图案入手来了解这些变换的基本特征，学习变换的基本性质，经历探索图形之间的变换关系，从变换的角度欣赏图形、设计图案，体验变换在现实生活中的广泛应用，这对于中小学生认识丰富多彩的现实世界，形成初步的空间观念，了解图形间的联系，以及感受与欣赏图形美都是非常重要的[6]．在苗族地区实施数学教育，如果教师注意到苗族银饰到处都有几何变换的这一特征，则对几何变换的教学将事半功倍．

5 以苗族银饰几何图案创设数学情境的教学案例研究

课程标准建议教师“应根据具体的教学内容，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境”[7]，“教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实相联系”[7]，所以在苗族地区实施数学教育应根据具体的教学内容，从苗族学生熟悉的文化生活出发，创设有助于学生自主学习的问题情境．

基于此，项目组所在的凯里学院，本着“地方性、民族性、师范性”的办学定位，努力为民族地区培养合格的中小学数学师资，在数学与应用数学专业开设了“民族数学文化与教育研究”特色课程，以下是所开课程中的两个教学案例．

案例一：苗族银饰的拼组与分解

图8～11是由正三角形组成的4个不同的苗族银饰，这里有图形的拼组与分解，由此，你想到了什么？

由于大学生分析问题和解决问题的能力都比较强，一下子提出了很多问题，选择归纳如下：

（1）两个全等的正三角形可以组成什么平面图形？

（2）3个全等的正三角形可以组成什么平面图形？

（3）4个全等的正三角形可以组成什么平面图形？

（4）5个全等的正三角形可以组成什么平面图形？

（5）6个全等的正三角形可以组成什么平面图形？（有些同学提出了n个全等的正三角形可以组成什么平面图形等，在此不一一列举）

（6）由3个全等的正三角形拼成的等腰梯形有几个平行四边形？

（7）由6个全等的正三角形拼成的正六边形有几个平行四边形？

（8）由6个全等的正三角形拼成的正六边形有几个等腰梯形？

（9）有一个角是60°的菱形被对角线分成几个三角形？有几个是正三角形？

由于受课堂教学时间的限制，课堂上就这9个问题展开讨论，发现问题（7）和（8）实际上就是现行的义务教育课程标准教科书数学[9]（八年级下册）的两道综合运用题．而前5个问题的答案极具开放性，例如问题（2）的答案至少得到如图22和图23两种不同的拼法，而在问题（3）中大多数人得到如图24的拼法，这与图22得到的正三角形全等．对此，研究者发现有二次开发价值，于是，对图22和图24进行比较，找出共性，通过讨论，继续提出下列问题：

（10）正三角形的面积恰为中点三角形（连接三边中点的线段组成的三角形）面积的4倍，那么，这个结论对一般的三角形也成立吗？

（11）一个四边形的面积是这个四边形的4边中点的连线组成的中点四边形的面积的几倍呢？

（12）一个n边形的面积是这个n边形的n边中点的连线组成的中点n边形的面积的几倍呢？

……

点评：

（1）经过二次开发，得到一个很好的初中数学“课题学习”素材[10]；

（2）在高师数学与应用数学专业开设“民族数学文化与教育研究”这样的课程，并借助苗族银饰开展相关数学教学案例研究，这对学生未来在民族地区从事中小学数学教育，针对性强，是其它教学活动无法替代的．

图22

图23

图24

案例二：苗族银耳环中的圆

图25是苗族银耳环中的一个“铜鼓”吊坠，造型优美，图26是它的几何图形，共有8个圆，其中圆A、B、C、D、E、F为6个等圆，且每个等圆都与相邻的两个等圆都外切，这6个等圆又都与小圆O外切，与大圆O内切．

图25

图26

学生由展示的这一情境相继提出一系列相关的问题，选择列举如下：

（1）若圆A、B、C、D、E、F的半径都为r，顺次连接圆心A、B、C、D、E、F得到一个6边形，它是正6边形吗？若是，其边长是多少？

（2）若6个等圆的半径都为r，那么小圆O和大圆O的半径分别是多少？

（3）在图26中，圆心A、B、C、D、E、F是否共圆，这个圆的圆心是哪一点，半径是多少？

（4）在图26中，A、B、C、D、E、F这6个等圆顺次相切，6个切点共圆吗？这个圆的半径是多少？

（5）若在大圆O外再作6个等圆A′、B′、C′、D′、E′、F′，且每个等圆都与相邻的两个等圆都外切，这6个等圆都与大圆O外切，那么这6个等圆的半径是多少？

（6）在图26中建立直角坐标系后，小圆O和大⊙O的方程分别是什么？

（7）在图26中，圆A、B、C、D、E、F的方程分别是什么？能否用一个方程表示．

（8）在图26中，圆心A、B、C、D、E、F所在的圆的方程是什么？

（9）将本例中的6个等圆改为n个，对应上述的问题答案是什么？

……

点评：

（2）这个案例移植到初中数学课堂时，要注意学生一般提不出与高中内容相关的问题，因此图26中不宜出现坐标．

如前所述，苗族银饰图案中有三角形、多边形、圆、椭圆、螺旋线、星形线、玫瑰线，还有对称、平移等几何变换等，只要我们采纳课程标准对教师的建议，就会自觉地、认真地去挖掘苗族银饰中的数学文化，苗族银饰及相关的苗族文化将为我们在当地的课堂教学创设数学情境提供丰富的背景材料，成为帮助我们走出少数民族地区沿用全国通用数学教材或翻译教材（以主流文化背景为主）而使学生产生数学困惑的有效途径[11]．

6 结 束 语

在少数民族地区实施数学教育是一种跨文化的数学教育[12～13]．只要少数民族地区广大的中小学数学教师认真领会国家数学课程标准的精神实质，以人为本，认真研究民族文化，努力开发少数民族数学课程资源，科学地将汉文化背景的数学教育跨入到少数民族文化背景中去实施，就可以让少数民族学生在自己熟悉的文化生活中学习数学，从而提高少数民族学生学习数学的兴趣，有效地拓展少数民族学生的素质，全面提高数学教学质量．

［参 考 文 献］

[1] 肖绍菊，罗永超，张和平，等．民族数学文化走进校园[J]．教育学报，2011，（6）：32-39．

[2] 罗永超，张和平，肖绍菊，等．苗侗数学文化与数学情境教学[M]．北京：民族出版社，2012．

[3] 张和平．苗族民俗数学及其与《周易》的比较研究[J]．数学教育学报，2011，20（4）：75-79．

[4] 肖绍菊．苗族服饰的数学因素挖掘及其数学美[J]．贵州民族研究，2008，（6）：107-108．

[5] 张和平，罗永超，肖绍菊．研究性学习与原生态民族文化资源开发实践——以黔东南苗族服饰和侗族鼓楼蕴涵数学文化为例[J]．数学教育学报，2009，18（6）：70-73．

[6] 肖绍菊．苗族妇女服饰文化中的几何元素[J]．凯里学院学报，2008，（6）：17-18．

[7] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[8] 杨孝斌，吕传汉，汪秉彝．三论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J]．数学教育学报，2003，12（4）：76-79．

[9] 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．义务教育课程标准教科书：数学（八年级下册）[M]．北京：人民教育出版社，2009．

[10] 王建磐．义务教育课程标准实验教科书：数学（九年级下册）[M]．上海：华东师范大学出版社，2006．

[11] 付茁．对我国少数民族数学教学中渗透本民族优秀文化的思考[J]．数学教育学报，2009，18（5）：35-37．

[12] 罗永超．侗族数学文化面面观[J]．数学教育学报，2013，22（3）：67-72．

[13] 王光明，杨蕊．基于NVivo10质性分析的少数民族数学学习心理因素研究[J]．民族教育研究，2015，（1）：81-84．

[责任编校：周学智]

Study of the Geometric Elements of Miao Silverware and Its Application in the Classroom Teaching

LUO Yong-chao, XIAO Shao-jv
(College of Mathematical Science, Kaili University, Guizhou Kaili 556011, China)

Abstract:Miao silverware shapes of the Miao nationality in Guizhou is vivid and gleaming, and shows a kind of abundant Miaos’Culture.There are some plane figures and curves in Miao silverware patterns.For example, triangle, square, parallelogram, regular pentagon, regular hexagon, circle, ellipse, helical curve, astroid, rose curve, and so on.Miao silverware is a geometry textbook without words but with abundant connotation.We explain the geometrical element in Miao silverware and lose on time in leading it to Miao students’ mathematics classroom, let them to learn math in their familiar cultural life, and practically improve the teaching quality in Miao nationality area.

Key words:Miao’s culture; Miao silverware; national mathematics culture; geometrical element; classroom teaching

作者简介：罗永超（1957—），男，侗族，贵州榕江人，教授，凯里学院贵州原生态民族文化研究中心研究员，主要从事数学教育研究．

基金项目：国家社会科学基金项目——贵州传统村落民俗数学调查研究（14BMZ050）；凯里学院重点学科建设项目——数学（KZD2014004）；贵州省基础教育科学研究教育教学实验重点课题——苗侗数学文化的应用与教学研究（2012A090）；贵州省高等学校教学内容和课程体系改革重点项目——少数民族科技史知识引人大学课堂的实践与探索

收稿日期：2015–09–10

中图分类号：G750

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0094–05