初中数学教师HPM教学的个案研究

吴 骏，汪晓勤

（1．云南师范大学 初等教育学院，云南 昆明 650092；2．华东师范大学 数学系，上海 200241）



初中数学教师HPM教学的个案研究

吴 骏1，汪晓勤2

（1．云南师范大学 初等教育学院，云南 昆明 650092；2．华东师范大学 数学系，上海 200241）

摘要：教师需要在教学中运用数学史，使之更有利于学生的学习．以八年级下学期“数据的代表”为具体内容，选择两位教学经验丰富但对数学史知之不多的初中数学教师，对其HPM教学进行实验研究．结果表明，HPM促进了教师教学的发展．两位教师的HPM教学分为教学准备和教学实施两个阶段，数学史与数学教学的诠释学循环经历了从分离到融合的过程．其中一位教师从数学史开始，寻求合适的角度融入教学，但过分强调数学史的面向，缺乏对学生认知和心理的关注；另一位教师则从教学内容出发，注重数学史与教材、学生认知的配合，有机地把PCK与HPM结合起来，较好地呈现了知识的自然发生过程．

关键词：HPM；数学史；统计教学；诠释学循环

近年来，HPM与教师的专业发展问题引起了人们的广泛关注．已有研究表明，HPM促进了中学数学教师的专业发展[1～3]．实际上，这些研究主要针对那些受过正规的数学史与HPM培训的教师而言．然而，在中学数学教师群体中，有相当一部分教师对数学史知之甚少，却需要在教学中运用数学史．寻找数学史融入数学教学的切入点，使之能够提高教学效率正是人们最为关心的问题[4]．因此，探讨教师的HPM教学具有重要的现实意义．

在中小学数学教学中，统计教学是一个重要的内容．已有研究表明，中国学生对统计量的计算掌握较好，但在理解和运用方面存在困难[5～7]．统计概念的教学看似简单，实则不易，这是教学中的一个困惑点．Bakker的研究表明，学生对统计概念的理解存在一定的历史相似性[8]，这进一步支持了教师在统计教学中运用数学史的观点．以八年级下学期“数据的代表”为具体内容，对两位初中数学教师的HPM教学进行实验研究，并利用诠释学循环模型作出分析．

1 研究方法

1.1 研究对象

研究对象是某中等城市一所初中学校的两位数学教师．这两位教师资历较深，教学经验丰富，在大学期间没有修过数学史课程，职后也没有经历过HPM培训，对数学史知识仅略知一二，参与这种教学实验是第一次．

Y老师，男，高级教师，某师范大学数学系毕业后，长期从事高中数学教学．两年前到初中部任教，现承担两个班数学课程的教学，并兼任其中一个班的班主任．Y老师在教学之余，撰写了多篇论文，发表于省市级期刊．

Q老师，女，一级教师，某师范学院数学系毕业后，一直从事初中数学教学，现承担两个班数学课程的教学．Q老师对教学工作非常敬业，教学素质较好，多次在市、校级课堂教学竞赛中获奖．

1.2 教学案例设计

数学史融入数学教学的关键是设计课堂需要的教学案例．研究采用以下方法设计教学案例：（1）直接采用历史上的数学问题和解法，如，下述案例中提到的《九章算术》中的平分术问题、古印度人利用平均数估计树枝上树叶和果实数目的问题等．（2）根据历史材料，编制数学问题，如下述案例1、2、3．（3）在现代情境下，选用体现历史发生思想的数学问题，如下述案例4、5、6．

对于数学史的运用，数学教学中所追求的不应是真实历史的简单重现，而应是历史的适当重建，这就是指，数学史的适当“改造”应看成是数学史融入数学教学的一个基本途径[9]．由于学生缺乏统计概念的历史背景知识，他们也拥有前人未知的一些知识，因此，研究中更多地采用后两种方法设计教学案例，注重把历史现象转化为有意义的教学现象．

1.3 资料收集

通过课前讨论、课堂观察和课后访谈的方式收集资料．在正式上课之前，研究者与实验教师共同讨论了用于统计教学的历史素材及教学案例的设计．通过课堂观察，跟踪实验教师该单元的教学，并拍摄了两位教师上课的录像．每节课后对上课教师进行访谈，并挑选出根据数学史设计的教学案例的录像片段，与上课教师一起回顾和讨论，以减少研究者独立作出解释的局限性．

2 教师的HPM教学

2.1 教学准备阶段

在教学实验之前，研究者对实验教师进行HPM培训，主要包括HPM理论、HPM教学设计、数学史融入数学教学的方法，等等．研究者深入挖掘平均数、中位数和众数概念的历史，与两位实验教师合作，共同开发了相关概念的教学案例．下面选择3个案例说明Y老师和Q老师对数学史的理解情况．

案例1 某校八年级50名学生的数学测试成绩如下（总分：120分），你能用较简单的方法估算出全班的总分吗？想一想，有哪些不同的方法？

设计说明：该案例根据古印度人利用平均数估计树枝上树叶和果实数目的问题改编而来[10]．从概念的历史发生来看，学生应该发展了代表性的思想之后，再学习平均数的计算方法，而不是掌握了平均数的计算公式以后，才来理解平均数的意义．在统计教学中，应该把大数估计问题作为学生的认知起点，通过教学活动让学生再现这种方法，以培养他们对平均数的直觉能力．

Y老师提出了解决该问题的一些基本方法，并认识到培养学生发散思维的重要性．Q老师认为，首先要明确解决这个问题有什么方法？学生又能想出哪些方法？教师需要做到心中有数，才能驾驭课堂．

案例2 如何描述八年级一个教室里学生鞋子的颜色？众数一定是一个数字吗？

设计说明：在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了．根据他们的宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定，其中用到的统计概念就是众数．该案例把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但学生并不难理解．

Q老师提出疑问：众数一定是一个数字吗？教材中不也有一个鞋子销售量问题吗？二者有什么不同？Y老师指出，教材中的问题强调鞋子的尺寸问题，而尺寸是数字类型．通过讨论，两位老师明确了鞋子的颜色是非数字类型．由于现实生活中有很多这种类型的问题，因此他们认为，对教材作适当拓展还是有必要的．

案例3 求函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-5|最小值．

Y老师认为，这种题目在高中经常出现，可以采用去绝对值的方法求解，或者根据绝对值的几何意义得出．Q老师认为，这个题目难度较大，超出了中考要求，教学意义不大．最终，他们否决了这个题目．

综上，在教学准备过程中， 两位教师认识了数学史与数学教学的关系，了解了统计概念的历史，加强了对统计概念的理解，为数学史融入统计概念教学奠定了基础．从讨论中可以看出，Y老师熟悉高中数学，知道知识的前后联系，Q老师更看重中考，紧紧围绕考试要求来组织教学．同时也发现，Y老师理解数学史知识较为深刻，他的学科知识（SMK）更强一些；Q老师注重教学法的运用，她的学科教学知识（PCK）更有优势．

2.2 教学实施阶段

两位教师根据开发的教学案例，分别设计自己的课堂教学．由于每个人的教学风格不一致，因此具体教学设计和教学实施也不尽相同．以下通过几个案例来说明Y老师与Q老师运用数学史存在的差异．

案例4 一商店出售帽子，下图列出了该商店在前3个星期售出的帽子数．这家商店在第四个星期应该卖掉多少顶帽子，才能使售出帽子的平均数为7？[12]

设计说明：在教学设计中，上一个案例是《九章算术》的平分术问题，即采用“减多益少”的方法，使几个分数齐等．这一案例从“形”的角度，采用图示表征法，为体现“减多益少”的思想而设计．

在Q老师的班上，学生经过讨论，提出了算术解法和方程解法．之后，教师启发学生，采用“减多益少”的方法解题．结果学生提出了以下两种方法．方法1：把第一周9顶帽子中的2顶移到第二周中，则第二、三和四周各差2、1和7顶帽子，因此第四周还需要卖出2+1+7=10顶帽子．方法2：把第一周9顶帽子中的3顶移到第二周中，则前3周各差1顶帽子，再加上第四周差的7顶帽子，因此还需要卖出10顶帽子．

在Y老师的班上，学生得到上述方法1．教师肯定了学生采用的就是“减多益少”的方法，并利用图示法作出解释．

在这个案例中，Q老师是在学生没有想到“减多益少”的方法之后，才提醒他们采用这种方法．Y老师则强调“减多益少”历史方法的运用，而没有进一步探究其它方法．

案例5 为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，例如载客量人数在1≤x≤21区间的有3个班次，如何确定该区间公共汽车的平均载客量？

设计说明：这是课本上关于组中值的一个探究问题，但教材并没有说明为什么采用组中值作为各区间数据的代表．从概念的历史发展来看，组中值是平均数的前概念，该问题可以借助于《伯罗奔尼撒人战争的历史》一书中的“船员人数问题”进行探究：Homer给出了船的数目是1 200条，两种不同的船只分别有120名和50名船员，试估算出全体船员的人数[13]．

Y老师首先让学生讨论船员人数问题，在此基础上，教师在讲授教材中的探究问题时，对于一个区间数据的代表，学生自然能够取两个端点的平均数作为该区间的估计值．

从这个问题的处理来看，Y老师通过对船员人数问题的探讨，为组中值的引入奠定了基础．Q老师虽然教学中没有出现历史现象，但却借助于历史意蕴进行教学．

案例6 在汶川大地震的捐款活动中，某校八年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80．这组数据的平均数能比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗？

设计说明：中位数和平均数的选择使用是学生最容易犯错的地方．如何破解这一难题？这可以从中位数的历史起源中寻求答案．在历史上，中位数几乎是作为平均数的代替品而出现的．埃其渥斯（F.Y.Edgeworth, 1845—1926）发现平均数对极端值的敏感性，而中位数比平均数更稳健（robustness）（稳健性用于描述对极端值的不敏感性）．该案例的设计正是在现代问题情境之下，拟合了中位数的历史起源．

Y老师首先介绍了中位数的历史起源，让学生知道平均数对极端值具有敏感性，中位数的出现是为了代替平均数．之后，再讲述该案例，这样学生就明白平均数不能客观地反映全班同学捐款的“平均水平”，需要用中位数来代替．

Q老师在讲该案例时，让学生论证：当数据中存在极端值时，算术平均数可能没有意义，有时甚至会产生误导．在这种情况下，就需要引入另一个表示集中趋势的统计量，这就是中位数．

对于这个案例的教学，Y老师认为，借助于历史现象，解决了中位数的引入问题．Q老师则认为，数学史不一定以原材料呈现，可以用渗透了历史背景的案例呈现．

综上，两位教师借助于教学案例，有机地结合了自己的SMK和PCK，把数学史融入到统计概念教学之中．Y老师再现历史情景，为学生的学习铺平道路，但过分强调了数学史的面向，没有充分激发学生学习的动机．Q老师在教学中没有讲授历史，但历史意蕴却在悄无声息中融入教学之中，实现了对问题的探究．尽管一开始她对HPM理解不深刻，然而，一旦发现HPM有助于PCK发展后，就很快掌握了PCK结合HPM的窍门．两位教师运用数学史的形式不尽相同，Y老师倾向于显性方式，而Q老师则倾向于隐性方式．从融入的过程来看，Q老师的教学能够更好地呈现知识的自然发生过程．

3 利用诠释学循环模型分析教师的HPM教学

1994年，德国学者Jahnke最早提出诠释学循环模式，见图1所示．在Jahnke的双圈循环图示中，初圈指古代数学家（M）、数学对象（O）和数学理论（T）之间的循环；次圈则指在数学史家（H）、数学史研究成果（历史诠释I）和初圈之间的循环．

图1 数学史的诠释学循环

Jahnke认为，当教师将数学史引入教学活动时，就有必要了解数学史家的相关观点，因此，教师在次圈中进行自己的历史诠释时，设想自己进入另一时代、另一文化的数学家心灵之中，从而对数学知识作出自己的诠释，而这种诠释反过来又促进了对数学史家诠释结果的理解[14]．因此，在HPM的引导下，教师可以帮助学生，从外围的次圈走向内围的初圈，再从初圈返回次圈，如此构成一个所谓的诠释学循环．在这个循环过程中，由于教学目标是数学知识，因此初圈的操作受到次圈的主导，从而可以保证在数学教学活动中，不会迷失在漫无目的的琐碎历史细节之中．

洪万生根据Jahnke的观点，提出数学教学的诠释学循环[1]，见图2所示．教材编写者（E）、课程标准（S）、数学知识（K）和教科书内容（C）构成初圈；教师（T）、诠释教材内容（I）和初圈构成次圈．他认为，一个教师在次圈中诠释教材内容时，需要与教材编写者对话，必然会进入初圈；通过对初圈进行诠释，确定教学内容知识，返回次圈，完成一个诠释学循环．若加入数学史成分，则教师进入初圈循环时，会与数学对象的创造者古代数学家进行“对话”，从而发展出具有数学史的教学内容．

洪万生认为，一个具有HPM开怀的教师，他的身份兼具了教师（T）和数学史家（H）．用C1表示教科书编写者、课程标准、数学知识和教科书内容构成的初圈，C2表示古代数学家、数学内容和数学理论构成的另一个初圈，再将C1和C2各自缩为一点，并把图1和图2中的两个顶点重叠，用T表示，则构建出一个诠释学循环四面体[1]．利用该模型来刻画Y老师和Q老师的HPM教学进程，见图3和图4所示．由于两位教师资历较深，对数学史知之不多，因此四面体模型的规模取决于初圈C2．在这个模型中，C1和C2之间如何连接，反映了数学史和数学教学结合的程度．教师在C1和C2这两个初圈之间的进出，乃至促成它们的“对话”，正是具有HPM开怀教师所追求的目标．

图2 数学教学的诠释学循环

图3 Y教师HPM教学的四面体模型T

图4 Q教师HPM教学的四面体模型

在教学准备阶段，两位教师的C1和C2尚未连接，即两个初圈并未形成“对话”，其间的关系可以用一条虚线来表示，其中C12表示这一阶段所具有的C2．在教学实施阶段，Y老师和Q老师的C1和C2之间已经开始“对话”了，用一条实线来表示，其规模的大小可用四面体T-IC1C22来表示，其中C22表示这一阶段的C2．在Q老师的教学中，数学史融入数学教学的过程更为自然，因此，与Y老师相比，她的四面体模型的规模可能更大一些．

数学史融入的过程是数学史从历史形态走向教学形态的过程，实际上也是教师诠释、加工、再创造数学史的过程[15]．从上面诠释学四面体模型看到，HPM对教师教学的促进作用是不相同的，这可能是由于教师运用数学史的进路不同所造成的．Y老师喜欢从数学史开始，思考融入数学教学的合适角度，但他过分强调了数学史的面向，而对学生的认知和心理关注不够，没有来回考量数学史料对学生的适切性．Y老师采取的教学路径可以表示为：T-C2-I-C1-I-T，图5中C2和I之间用单向箭头表示．

图5 Y老师运用数学史的教学模式

Q老师从教科书出发，寻求用于教学的数学史．她认识到HPM的教学目的，乃是为了帮助学生学习数学，而不是数学史．因此，她在教学过程中，来回思考C1和C2之间的联系，在教材的逻辑结构、学生的认知心理和数学史之间取得了平衡．Q老师采取的教学路径可以表示为：T-C1-I-C2-I-C1-I-T，图6中C2和I之间用双向箭头表示．弗赖登塔尔（H.Freudenthal, 1905—1990）指出：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是经过改良过同时有更好引导的历史过程．”[16]Q老师正是在教学过程中遇到问题，进而寻求数学史料的帮助，从而改善自己的课堂教学．

图6 Q老师运用数学史的教学模式

4 结 论

两位教师的HPM教学表明，HPM促进了教师教学的发展．两位教师的HPM教学分为教学准备和教学实施两个阶段，数学史与数学教学的诠释学循环经历了从分离到融合的过程．在教学准备阶段，两位教师从HPM出发，了解了统计概念的历史，加强了对统计概念的理解，不过，数学史与教学仍处于分离状态．在教学实施阶段，两位教师借助于教学案例，有机地结合了自己的SMK和PCK，把数学史融入到统计概念教学之中．

诠释学循环模型深刻地刻画了教师教学发展的过程，尽管两位教师运用数学史的进路不同．Y老师高中教学的经历和深厚的SMK是他的发展之基，他喜欢从数学史开始，寻求合适的角度融入数学教学，但他过分强调数学史的面向，缺乏对学生认知和心理的关注；Q老师则发挥自己的PCK优势，从教学内容出发，注重数学史与教材、学生认知的配合，有机地把PCK与HPM结合起来，较好地呈现知识的自然发生过程．同时也发现，对于一个资深教师而言，一旦掌握了数学史知识后，PCK就成为决定数学史运用的关键．

［参 考 文 献］

[1] 洪万生．PCK vs.HPM：以两位高中数学教师为例[A]．数学教育会议文集[C]．香港教育学院数学系，2005．

[2] 苏意雯．数学教师以HPM促进专业发展之个案研究[A]．数理教师专业发展学术研讨会论文[C]．国立彰化师范大学，2004．

[3] 汪晓勤．HPM与初中数学教师的专业发展：一个上海的案例[J]．数学教育学报，2013，22（1）：18-22．

[4] 吴骏，汪晓勤．国外数学史融入数学教学研究述评[J]．比较教育研究，2013，（8）：78-82．

[5] 吴骏．小学四年级学生对平均数概念理解的发展过程[J]．数学教育学报，2011，20（3）：39-42．

[6] 曲元海，项昭，李俊扬，等．初中生学习统计量理解水平的调查分析[J]．数学教育学报，2006，15（1）：35-37．

[7] 吴颖康，李凌．上海高中生对集中量数的理解[J]．数学教育学报，2011，20（6）：25-28．

[8] Bakker A.The Early History of Average Values and Implications for Educatino [J].Journal of Statistics Education, 2003, 11(1): 1-24.

[9] 郑玮，郑毓信．HPM与数学教学中的“再创造”[J]．数学教育学报，2013，22（3）：5-7．

[10] Hacking I.The Emergence of Probability.A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference [M].Cambridge: Cambridge University Press, 1975.

[11] Eisenhart C.“Boscovich and the Combination of Observations”, in M.G.Kendall and R.L.Plackett (eds.), Studies in the History of Statistics and Probability [M].Charles Grif fi n, London, 1977.

[12] 蔡金法．中美学生数学学习的系列实证研究——他山之石，何以攻玉[M]．北京：教育科学出版社，2007．

[13] Bakker A, Koeno P E.An Historical Phenomenology of Mean and Median [J].Educatioal Studies in Mathematics, 2006, 62(2): 149–168.

[14] Jahnke H N.The Historical Dimension of Mathematical Understanding: Objectifying the Subjective [R].Proceedings of the 18th International Conference for the Psychology of Mathematics Education.Lisbon: University of Lisbon, 1994.

[15] 朱凤琴，徐伯华．数学史融入数学教学模式的国际研究与启示[J]．数学教育学报，2010，19（3）：22-25．

[16] Freudenthal H.Mathematics as an Educational Task [M].Dordrecht: D.Reidel Publishing Company, 1973.

[责任编校：周学智]

Case Study on HPM Instruction of Junior High School Mathematics Teachers

WU Jun1, WANG Xiao-qin2
(1.College of Primary Education, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650092, China; 2.Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai, 200241, China)

Abstract:Teachers use the history of mathematics in teaching and learning of mathematics to support students’ learning.The research explored HPM instruction of two experienced mathematics teachers of junior high school who knew less the history of mathematics.The teaching content was the “representative of data” in the textbook of second semester in eighth grade.The results indicated that: Mathematics teachers’ instruction development is promoted by HPM.After HPM involved in teaching, HPM instruction of two teachers was divided into teaching preparation and teaching implementation, and two teachers changed from single hermeneutic circle to double ones on integration of the history of mathematics.A teacher could start with the history of mathematics and integrate the history of mathematics into mathematics teaching in an appropriate method.But he overly emphasized the orientation of the history of mathematics, and couldn’t paid attention to the cognition and mind of students.Another teacher paid attention to combine the history of mathematics with textbooks and students’ cognition so as to present the subject in a natural way from the teaching contents.

Key words:HPM; history of mathematics; statistical teaching and learning; hermeneutic circle

作者简介：吴骏（1968—），男，云南宣威人，教授，博士，主要从事概率统计教学、数学史与数学教育研究．

基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目——数学史融入中学统计概念教学的理论与实践（2012Y411）；云南师范大学博士科研启动项目——数学史融入数学课堂教学研究

收稿日期：2015–09–26

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0067–05