基于整体把握的运算主线下的“分数指数幂”教学

李大永，章 红

（1．海淀教师进修学校，北京 100195；2．首都师范大学附属中学，北京 100048）



基于整体把握的运算主线下的“分数指数幂”教学

李大永1，章 红2

（1．海淀教师进修学校，北京 100195；2．首都师范大学附属中学，北京 100048）

摘要：基于整体把握的运算主线下的数学教学，就是把数与运算放在数学学科知识的整体系统中来看，以数与运算的发展所蕴含的数学基本思想方法为主线，依托中学数学中数与运算的相关内容，依据学生的认知特点和课标学习要求来组织设计教学，旨在向学生渗透重要且基本的数学思想方法，使学生认识数学学科知识发展的规律与特点，促进学生树立正确的数学观念．

关键词：整体；知识系统；运算；基本思想

最早看到对“整体把握”的阐述是在王尚志主编的《走进高中数学新课程》中，面对进入新课程后一线教学反映出的种种问题，提出了“整体把握实施教学”的方向，并提出了整体把握课程的函数主线、几何主线、运算主线，后来王老师又进一步提出了算法主线、概率统计主线、应用主线．这使得教师在理解和把握数学课程内容时有了更为清晰的线索．

数学知识具有高度的系统化和结构化，但是作为数学教育的数学教学内容，课需要一节一节地上，学习要一点点积累，从认知学习的客观规律上，又必须对数学内容进行分解，拆分成一个个零碎的知识块．教师在教学处理上只有从整体把握的角度出发，“返璞归真，寻求数学的本原，找到数学知识网的结点，就能纲举目张，以一当百”[1]．弄清楚每堂课的教学内容在数学整体的知识系统中的地位与价值，理解该数学知识所蕴含的数学思想和观念，这样才不至于使数学教学变得支离破碎．

“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线[2]，可以说，数与运算对于数学学科的重要性再怎么强调都不为过，它不仅是数学发展的重要起源，更是数学后续发展思想方法源泉和众多数学分支发展的绝佳范例！“在现代数学教育中应积极倡导数学精神．数学精神的特殊性表现在：崇尚理性的思维方式；追求统一的体系结构；符合实践的求真原则．”[3]追求数学知识统一的和谐一致性是贯穿在数学发展历史中的核心精神之一，数学发展的一个基本思想就是在因袭．（作为认识发展的一般规律，扩张与因袭普遍地起着作用[4]）原有的某些性质和规则下，把基本的概念做某种推广，使得能去掉例外情况而实现数学的简洁、统一与和谐．这一数学精神和思想在数与运算的内容中体现得淋漓尽致！因此，作为中学数学内容占有相当比例的数与运算的内容理当承担起这一重要的数学教学价值．

基于整体把握的运算主线下的数学教学，就是把数与运算放在数学学科知识的整体系统中来看，以数与运算的发展所蕴含的数学基本思想方法为主线，依托中学数学中数与运算的相关内容，依据学生的认知特点和课标学习要求来组织设计教学，旨在向学生渗透重要且基本的数学思想方法，使学生认识数学学科知识发展的规律与特点，促进学生树立正确的数学观念．下面以分数指数幂的教学为例阐述上述教学理念．

1 教学内容分析

1.1 概念的历史分析

数学教育取向的数学史研究[5]可以获取相关知识点（概念、公式、定理等）的教学启示，因此借鉴历史进行教学有利于构建自然的数学知识发生发展的过程．下面从指数概念的历史来分析可以获得哪些教学启示．

提到指数，不能不看看对数，对数的产生源于人类对简化运算的追求与创造，苏格兰的男爵John Napier（1550—1617）对简化数字计算非常有兴趣，他最早想到数可以用指数形式来表示，4可以用2的平方表示，8可以用2的立方表示，5、6、7可以表示为2的在2及3之间的某个分数的幂，一旦数都可以表示为指数形式，乘除法就可以通过指数加减来代替，因此，花了近二十年时间寻找各种数的指数表示的计算公式．从历史上看，当时在天文方面的简化计算的需求下，很多人都对对数进行了研究，德国的米海尔·史蒂夫在《整数算术》一书中刊载了一张数表：

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…

第一排是等差数列，第二排是等比数列，第一排数字的加、减、乘、除与第二排相应数字的乘、除、乘方、开方运算有一种对应关系．但这张表只能进行整数次幂的计算，为了使之趋于细密，对于插入中项的等差数列：

对应的等比数列应是

但是由于当时的指数概念尚未完善，史蒂夫无法认识分数指数，因而他没能在自己的工作上获得进一步的进展[6]．

从以上数学史材料可以看到，人们从整数指数幂与其指数的对应关系的角度，很自然地感知到有空隙需要填补，这一角度有助于学生自发认识到引入分数指数幂的必要性．

1.2 教材内容编排的比较与分析

1.3 知识系统中的概念分析

在扩张与因袭的视角下，分数指数幂是在整数指数幂上的进一步扩展，整数指数幂是在以乘方运算为基础的正整数幂上的扩展，由正整数幂到负整数幂已经开始脱离“同因数累乘”的意义，负整数指数幂的意义赋予来源于正整数幂的形式化的运算性质的使用范围的扩展——指数取正整数扩展到可以取任意整数（初中已完成）．而高中阶段的分数指数幂是在这条扩展道路上的进一步前行，把形式化运算性质中指数的取值范围扩展到任意有理数范围，分数指数幂的意义仍可从类比负整数指数幂的意义获取方法中得到．而此后的无理数指数幂尽管也是对指数取值范围的扩展，但是其意义获得主要来源于在有理数指数幂运算性质基础上的有理数序列的无限逼近．

分数指数幂的引入，除了降低了幂的运算性质的诸多“忌讳”，还带来了其它的益处，这也是数学发展的一般规律，就像过去因引入负数而实现了一对逆运算——加法与减法的统一、因引入分数而实现了一对逆运算——乘法和除法的统一一样，实现了一对逆运算——乘方和开方的统一，也就是在有理数幂的形式表达下，乘方运算与开方运算实现了形式的统一．此外，分数指数幂给在以变化率为核心的实际问题（如：放射性元素的衰变）的形式化表达也带来极大的方便．这恰恰反映了数学对方便简洁、和谐一致的精神追求．

基于以上的分析，分数指数幂的教学要沿用初中扩充指数的途径，以问题串的方式展开与学生的对话，从反思归纳梳理学生初中所学的数与运算的学习经验入手，促使学生直观感知到扩充指数的需求，进而鼓励学生自主赋予分数指数幂的合理意义，在分数指数幂的深化理解过程中，采用考古时钟——碳14的衰变的例子，从解读衰变的量化表达来帮助学生建立数学与现实的联系，同时达到深化分数指数幂的理解．最后进行必要的分数指数幂运算技能训练．

2 教学问题诊断

从抽象的形式化数学概念的学习心理层面来看，学生需要依托具体的载体来理解抽象的形式化概念，而且需要把理解建立在学生非常熟悉的掌握牢固的知识基础之上．

因此，在教学过程的设计中，突出考虑以下几个方面：（1）要让学生自然感觉到有引入分数指数幂的需要．在导入阶段，结合以往的新数意义的发现经验，教师要通过与学生的对话鼓励学生去体验“再现”发现并赋予分数指数幂意义的历程；（2）因为“学生对数学的思考往往来自于个别范例和具体活动”[1]，所以要充分借助具体范例克服学生发现分数指数幂意义的困难；（3）引导学生比较分析分数指数幂与整数指数幂意义的区别与联系；（4）使分数指数幂的理解建立在多维联系之中，而且最终要形成一条牢固的分数指数幂意义赋予的线索；（5）利用图示表征思维线索，如图1．

图1 思维线索

3 教学目标分析

分数指数幂概念教学的核心是理解分数指数幂的概念，而概念的理解离不开学习者真正进入到其形成的过程．

考虑到授课学生不是自己的学生，对学生的情况缺少深入了解，结合上述目标分析，幂的运算技能训练和对式的结构化理解不作为这节课的教学目标，放到第二节课去落实．

这节课的教学目标确定为：（1）使学生感受到引入分数指数幂的价值和意义，充分认识到引入分数指数幂的必要性；（2）理解分数指数幂的含义，初步掌握分数指数幂的运算；（3）从分数指数幂意义的探求过程中了解数与运算发展的扩张与因袭的脉络特点，认识符号所带来的形式化的一致性的价值与意义，既为后续的“新数”的继续学习打下基础，也使学生体验和享受数学创造的乐趣，树立数学学习的信心．

4 教学过程设计

4.1 数与运算的认识与回顾

问题1 回顾9年的数学学习，大家对“数”与“运算”的认识经历了怎样的变化？

设计意图：由熟悉的话题和学生展开谈话，一方面消除与学生的生疏感，另一方面为今天的课题做准备．

问题2 从学习“数”与“运算”的经历中，你认为新数（新的运算对象）产生的必要性是什么？

教师总结讲解：首先是直观感觉其存在，一方面来自于实际应用的需求；二是来自于运算逻辑，即运算的封闭性和基本运算规则的保持，其次是在原有运算对象中找不到．人类在实践中感觉到负数和分数的存在，人类创造了它们扩大了数集，从而消除了减法和除法中的制约条件，使加减、乘除的互逆运算实现了和谐的一致性，这是数学发展的一个特点．观察图2，已经知道由n次方的乘方运算，但是开方运算，目前还仅知道开平方和开立方运算．

设计意图：梳理已学运算，引导学生了解数学发展的扩张与因袭的特点，引出n次方根的概念．

图2 思维方式

4.2 方根概念的推广

问题3 方程x4=2，x5=7等是否有实数解？解的个数是怎样的？如果让你创造一个符号来表达，你认为什么符号是最合适的？

设计意图：为一般化的n次方根的概念及理解提供具体化认知材料．

问题4 研究更一般的问题，满足xn=a（n∈N, n＞1）的实数解是否存在？你能说清楚它的解的情况吗？

设计意图：在此问题的研究基础上，形成n次方根、n次算术根的概念以及符号表达方式．

① 当na有意义时，

数学符号语言是涵义高度概括和浓缩的一种科学语言，所以要特别注意理解这些数学符号的内涵．上述的数学符号实际上既代表了一种运算，同时又代表了一种运算的结果，它又成为一个新形式的运算对象．

4.3 n次方根巩固练习

4.4 回顾负整数指数幂

问题6 在初中，由乘方运算的意义获得了正整数幂满足的运算性质，正整数幂有哪些运算性质？你能解释这些性质的意义吗？其中的符号有何要求？

问题7 初中还把指数进行了扩充，使其可以取负整数，负整数指数幂意义是什么呢？你知道负整数指数幂是如何引入的吗？你认为引入负整数指数幂带来了怎样的好处？

设计意图：教师引导学生回顾负整数指数幂的发现及意义赋予过程，再识负整数指数幂的引入带来的消除限制，带来方便和一致，再次认识数学发展的扩张与因袭思想，为分数指数幂的引入在思想方法上给与铺垫．

上述初中教材中5条性质中，（1）与（4）、（3）与（5）各自合二为一，使整数指数幂的运算性质简化为3条．

4.5 分数指数幂的发现与意义赋予

问题8 整数指数幂的运算性质中的指数取整数的限制可否通过进一步扩展而取消呢？如果允许指数可以取分数该赋予其怎样的意义呢？它能否给研究者带来一致与便利吗？

设计意图：激起学生的探索欲望，引导学生展开扩展指数幂的探索，使学生发现把指数扩展到分数可以实现乘方运算和开方运算的统一，感受这两种互逆运算的一致性给运算带来了极大的方便性．同时这也解释了前面引入n次方根后，为何并未深入研究n次方根作为运算对象进行运算的运算性质．

② 引导学生认识分数指数幂中规定底数a＞0的必要性；

4.6 现实中的分数指数幂

问题9 引入分数指数幂有何现实意义呢？你能举个例子来说明吗？

预案：学生很可能举不出例子，教师可采用考古学的时钟——碳14的例子，基于网页资料（http://time.kepu.net.cn/ a02/1050.html）向学生提出问题，例如某植物死亡后，经过10年、573年、1 000年时，其碳14含量是死亡时碳14含量的多少倍？

设计意图：① 该例子可以从现实模型角度深化学生对分数指数幂的理解，碳14时时刻刻都在按恒定规律衰减，参照半衰期的度量标准不够小时，自然产生对更小参照度量标准的需求，这就是分数指数幂，这和分数的产生极其相似！② 使学生认识数学与现实的联系，从数学发展史上看，新数得到普遍认可往往需要其在数学内部和数学与现实的联系中都有其存在的意义，尽管有时这两个方面的意义不是同步获得的．

5 教学目标检测设计

第一部分 分数指数幂理解与运算性质简单应用1.化根式为分数指数幂

2.分数指数幂运算性质应用

第二部分 对课堂教学的感受与体会

1.你认为与分数指数幂的计算的练习相比，昨天课上对已学运算的梳理有无必要？为什么？

2.这节课较长的时间回顾梳理了以前所学过的运算，你认为_____（添“有”或“无”）帮助吗？如果有，你认为对以前学过的运算获得的新认识是：

3.指数由整数指数幂扩充到分数指数幂的过程，你认为有几个线索可以感觉到分数指数幂存在的必要性？

4.除了知识的学习，你认为昨天的课对如何理解、学习数学有无启示和帮助？

6 学生反馈分析

6.1 测评结果

说明：上课次日早读完成的，时间约15分钟，41份答卷．测评结果及体会如表1、表2所示．

表1 分数指数幂理解与运算性质简单应用

表2 对课堂教学的感受与体会

6.2 测评结果分析

在实际教学中因前面用时超出预期，课上没来得及通过练习反馈修正实现概念、规则理解精细化的环节，课后比较担心学生在分数指数幂的运算操作上会存在较大问题，而从第一部分的测评结果来看，学生对分数指数幂的理解和运算性质的应用的表现还是比较出色的．这说明，使学生充分经历了分数指数幂的发现与意义赋予过程，对促进学生理解分数指数幂的概念是具有一定效果的，但同时也说明，在练习中反馈修正实现概念、规则理解精细化环节还是必需的．学生对本课学习过程的认可程度可以从表2显现出来，学生普遍感觉收获比较大，不仅对运算有了诸多新的认识，也对数学发展的规律有了些许感悟，而且还表现出对学生的数学学习观念也有所触动，从以下两个学生的问卷可以清晰地看到在本课引发的思考．

如果在数与运算的相关知识教学中，每堂课都能从基于整体把握数学的角度来审视教学内容，设计教学，学生一定会在数学知识和思想方法的理解方面，正确的数学的学习观方面有更大的收获！

［参 考 文 献］

[1] 张奠宙，王振辉．关于数学的学术形态和教育形态——谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”[J]．数学教育学报，2002，11（2）：1-4．

[2] 王尚志，高定量．普通高中数学课程分析与实施策略[M]．北京：北京师范大学出版社，2010．

[3] 王青建．论数学精神与数学教育[J]．数学教育学报，2004，13（2）：70．

[4] 张国栋，李建华．数学思想与数学教育[J]．北京教育学院学报，1998，（2）：10-12．

[5] 汪晓勤，张小明．HPM研究的内容与方法[J]．数学教育学报，2006，15（1）：16-18．

[6] 孙智昌．创造发明1 000例（数学卷）[M]．桂林：广西师范大学出版社，2001．

[7] 张广祥，李文林．形式符号运算的认识论价值[J]．数学教育学报，2007，16（4）：5-8．

[8] 何小亚，植美贤．高一学生对数运算技能水平测试量表的编制与研究[J]．数学教育学报，2011，20（5）：55-58．

票[责任编校：周学智]

Fractional Exponent Teaching Based on the Overview of Algebraic Operation Outline

LI Da-yong1, ZHANG Hong2
(1.Haidian Teachers Training College, Beijing 100195, China; 2.Capital Normal University High School, Beijing 100048, China)

Abstract:Teaching based on the overview of algebraic operation outline is one kind of instructional design which is the number and algebraic operation under the overview of the mathematics knowledge system; in other words, it is also under the outline of let them finding basic mathematical thought; the main content is the knowledge related to number algebraic operation in high school and the design is on the basis of the new curriculum standard and students’ cognitive characteristics; its aim is to penetrate the mathematical thinking method, let the students to find the rule and characters of the developing mathematical knowledge and improve students establishing mathematics idea.

Key words:overview; knowledge system; algebra operation; basic mathematical thought

作者简介：李大永（1972—），男，北京人，中学高级教师，北京市中学数学学科带头人，主要从事数学课堂教学研究及教师培训．

基金项目：全国教育科学规划项目2011年数学教育专项重大招标课题——促进学生健康成长的高中数学课程整体设计研究（GIA117001）；北京市教育科学“十二五”规划一般课题——基于数学思想方法的理解，提高课堂教学品质的研究与实践（DBB13058）

收稿日期：2015–09–28

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0061–06