高中生三角公式理解的实证研究——以上海为例

何忆捷，彭 刚，熊 斌

（1．华东师范大学 数学系，上海 200241；2．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241）



高中生三角公式理解的实证研究——以上海为例

何忆捷1，2，彭 刚1，熊 斌1，2

（1．华东师范大学 数学系，上海 200241；2．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241）

摘要：近几十年来，国内外学者就理解的分类及层次提出了各种理论与观点．以工具性理解、关系性理解和创新性理解这3种理解层次为视角，研究上海高中学生对三角公式的理解情况．基于调查与测试，发现学生的工具性理解质量总体较好，但在关系性理解的多个方面均显出不足．研究者同时设计了一个有助于考察创新性理解的任务系列，并借此初步揭示了学生的一些表现特征．研究亦发现，相对于高一学生，高三学生在关系性理解与创新性理解的某些方面更具优势，同时他们对公式的理解表现出更多工具性的特点．

关键词：三角公式；工具性理解；关系性理解；创新性理解；迁移性理解

“数学理解”是数学教育心理学所关注的一项重要论题．英国数学心理学家R.Skemp于文[1]中提出两种理解类型——关系性理解与工具性理解，并论述了两种理解各自的意义和价值，这是对“数学理解”认识上的一次重大突破．此后，国内外学者就理解的分类及层次提出了各种理论与观点．近期，文[2]提出了数学理解的3个层次：工具性理解、关系性理解和创新性理解，并对每个层次的理解作了特征描述及具体分类．这里在文[2]所提出的3个理解层次的基础上，研究上海高中学生对三角公式的理解情况．

1 数学理解的水平层次

概括地说，工具性理解是一种直接的，便于取得短期效果的理解，而关系性理解是一种着眼于长远发展的“全盘理解”．关于这两种理解模式的较为详细的探讨可参见文[3]和文[4]．

文[5]将学生的数学认知理解从低到高划分为操作性理解、关系性理解、迁移性理解3个水平，其中，迁移性理解是指“个体在关系性理解的基础上，能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的场合．表现为：能够灵活运用数学知识解决问题，能够将所学数学知识迁移到陌生情景中”．文[2]则提出了数学理解的3个层次：工具性理解、关系性理解和创新性理解．其中，工具性理解包括识记性、描述性、确认性、功能性以及平台式理解等；关系性理解包括证明性、论说性、反思性、结构性理解等；而创新性理解则在一定意义上超出了关系性理解的范畴，包含了拓展性理解、复杂问题解决的理解、推广式理解、数学文化与美学层面的理解等方面．

从表现形式及思维水平上看，文[5]中操作性理解的内涵与工具性理解相当，而迁移性理解则可以被涵盖到创新性理解中．

另一方面，文[2]对创新性理解的基本特征进行了一定的阐述，认为创新性理解是“知其然并且知其‘新’的‘然’和‘所以然’”．这里认同这种观点．但是，由于数学理解主要是对数学知识本身的认识，因而这里所考虑的创新性理解不包括文[2]中所提到的“文化、美学的欣赏”．

此外，结合文[2]对3种理解的特征、分类以及相应案例（如Usinkin对分数乘法的几何解释，等等）的阐述，研究者将关系性理解与创新性理解的主要区别归结于“这种理解是否跳出了原有的相对独立的逻辑体系”，同时，创新性理解的层次也由跳出原有逻辑体系的程度而决定．事实上，国内外学者在创新性理解方面曾做过大量的工作．比如张景中院士所提出的教育数学（相应的著作有《一线串通的初等数学》、《直来直去的微积分》等），实质上是从新的角度对已有数学理论进行梳理，便属于创新性理解的范畴．在国外，德国著名数学家F.克莱因的名著《高观点下的初等数学》更是创新性理解的经典之作．

总体而言，虽然创新性理解并不意味着产生新的数学理论，但这种理解有助于学生多角度地思考原有的数学理论，并将它们置于新的认知图景之中，从而可以丰富学生的认知结构、激发学生的创造力．因此，“创新性理解”在数学教育研究与教学实践中都不容忽视．

2 三角公式的理解层次

文[2]关于数学理解的3个层次属于理论层面的探讨，这里以高中三角公式的相关内容为载体，进行相应的实证研究．

在中国高中数学课程中，以三角函数（上海教材中为“三角比”）的公式最为繁多．这些公式既可视为解题的工具，又自成体系，揭示了数学的内在关系．结合上述关于理解层次的理论以及高中学生的数学水平，对高中生理解三角公式的3个层次描述如下：

（1）工具性理解：能迅速地默写出公式、辨认出常见的变形、做简单的恒等变换与求值等．

（2）关系性理解：能对某一公式作出证明，能弄清各组公式之间的关系及主次地位，能对公式的某些表面特征作出数学上的解释，对具体问题能识别其模式并选用适当的公式求解等．

（3）创新性理解：能解决相对陌生的复杂的问题，能将已有的知识与方法迁移到新情境下（例如在某种类似于三角比的定义之下进行公式系统的探究），能从向量、复数等视角对三角公式给出新的理解，等等．

3 研究目的与研究问题

文章的目的是研究高中学生对三角公式的理解情况．具体研究问题如下：

研究问题1：高中学生在三角公式的工具性理解、关系性理解与创新性理解上有哪些主要表现？

研究问题2：高一学生经历课程学习之后与高三学生高考复习阶段所表现出的对三角公式的理解是否存在差异？

4 研究方法

4.1 被试基本情况简介

调查与测试对象是上海市某重点中学的高一与高三学生．近年来该校教学模式基本稳定且有一定代表性，学生所学的是上海教育出版社的数学教材[6]．在调查与测试阶段，高一学生刚完成三角比的学习，而高三学生正处于高考总复习阶段（已学习所有后续知识，包括三角方程、平面向量、“积化和差”与“和差化积”公式等）．

随机选取两个高一班级与两个高三班级（选读理科）参与研究．两个年级的试卷结构基本相同，均涉及工具性、关系性与创新性理解3个方面．高三被试需多做与创新性理解有关的3个附加题（涉及高一被试尚未学到的内容）．因答题时间所限（一节课，即40分钟左右），研究者对高三被试的题量作了削减，具体按A、B两卷制处理，达到交叉覆盖，以便保留与高一测试结果的对比功能．

经数据整理，共计有效被试人数如表1所示．

表1 被试人员构成情况

4.2 研究工具的整体设计

研究工具为一份调查与测试混合卷．

在工具性理解方面，主要设计为填空题形式，覆盖若干类型的三角公式，由于有时间限制，被试一般需要快速反应答题，即主要显示工具性理解的质量．

在关系性理解方面，研究结合文[2]所指出的关系性理解的各个侧面进行针对性的问题设计，包括要求被试对公式进行证明（证明性理解），对比两个公式的形式并作出合理解释（论说性理解），指出心目中最重要的公式并说明理由（结构性理解）．

在创新性理解方面，综合文[2]与文[5]的阐述，并鉴于高中生知识结构与数学思维的大致发展水平，研究主要考察被试在迁移性理解方面的表现．研究者为被试创设了一个新公式系统的探究平台，初步考察被试能否在理解原公式系统的基础上，将数学思想、方法及所学知识迁移到相对陌生的情境中，对新公式系统进行平行的探究．

4.3 创新性理解的任务设计

研究者模仿教材中三角比的定义方式，向被试提供两种“另类三角比”，并通过以下一系列任务引导被试探究新的公式系统（4、5、6为高三附加题）：

（1）试说明三角比A()α与B()α的定义与终边上点P的选取方式无关；

（2）试推导A()α与B()α之间的一个等量关系；

（3）尽可能多地写出关于A()α或B()α的诱导公式（至少两条）；

（4）证明A()α的积化和差公式：

上述各探究任务涉及到新定义三角比A(α)与B(α)的多方面性质：第1题的本质在于解释定义的合理性，第2题研究同角三角比关系，第3题研究关联角之间的“另类三角比”关系，第4题要求证明“另类三角比”所参与的一个积化和差公式，第5、6题分别是解三角方程与三角不等式的综合性问题．

对于普通高中生而言，完成这些探究任务需要跳出课本内的相对熟知的三角公式体系，因而在一定意义上超出了关系性理解的范畴，进入创新性理解的层次．但需要指出的是，受时间等因素所限，这次测试仅仅是对被试完成上述任务时所表现出的迁移性理解进行初步考察，所涉及的创新性理解的内涵是较为有限的．实际上，还可以进一步让被试详细阐述完成上述任务后对三角公式有何新的理解，也可以让他们充分发挥创造力，独立建构一个包含A()α与B()α的公式系统，如此将使一些优秀的被试更有机会展示其理解中的创新成分，对创新性理解的状况有更充分的反映．

5 试题作答情况及分析

5.1 工具性理解试题作答情况及分析

研究选取课本中的三角比定义式、诱导公式、万能置换公式作为工具性理解测试素材，编写简单的填空测试题．测试结果如表2所示．

表2 工具性理解测试情况

总体上看，学生公式记忆与直接运用准确率高，且高一与高三学生的准确率相差不大，大致反映出高中学生对三角公式的工具性理解质量较高，且高一与高三水平基本相当．

5.2 关系性理解问题作答情况及分析

5.2.1 证明性理解问题作答情况及分析

研究选取课本中的和角公式、半角正弦公式作为证明性理解测试题目．各公式推导过程正确率如表3所示（允许用公式系统中较后出现的公式作为推导依据）．

表3 公式推导过程正确率统计

从测试结果看，被试相当好地掌握了半角正弦公式的推导，但在和角公式的推导方面较为薄弱．值得注意的是，有5名高三被试用积化和差公式推导两角差的余弦公式，这与公式系统的源流本末倒置，因此说明他们在公式系统的“结构性理解”上是存在一定偏差的．

进一步分析则发现，高三学生的公式推导策略更为丰富．以两角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

为例，高一学生所作的正确推导基本遵循上海教材中的标准方法，即构造单位圆、利用距离相等建立等式（如图1），高三学生的正确推导方式则丰富多样（见表4）；而在推导过程有误者中，高三学生的推导出发点亦更为多元化．造成这一现象的可能原因是，高三学生更熟悉整个高中数学知识体系，且向量数量积与余弦定理在高考复习中有过频繁的操练．相对而言，高一学生尚不具备运用表4中方法2、4的知识基础．

图1 两角差余弦公式的推导（课本方法）

表4 两角差余弦公式推导策略的分布情况

5.2.2 论说性理解问题作答情况及分析

如表5所示，被试的答题情况大致可分为6类，其中前3类解释属于有意义的解释．图2、3、4分别为被试的3种典型的解释方式．

表5 论说性理解问题作答情况

图2 第1类解释方式的典型

图3 第3类解释方式的典型

图4 第4类解释方式的典型

半角正切公式的正负号现象是公式理解的难点．从测试结果看，真正能解释到本质的被试尚不足15%，在这一点上，两个年级被试的表现均比较薄弱．作出前3类解释的被试为半数左右，因其中较多高三被试放弃作答，故难以推断两个年级理解水平的差异．

5.2.3 结构性理解问题作答情况及分析

研究调查被试心目中的重要三角公式，以及被试以何种依据衡量公式的重要性．调查结果如表6、7所示：

表6 被试所选的认为是重要的三角公式

表7 被试衡量某个公式重要性的依据

如果将三角公式体系比作一棵树，那么三角比的定义处于根基位置，和角公式处于主干位置，而表6中的前4类公式仅为该主干的分枝，从三角公式体系考虑，这些公式的重要性无疑不及三角比定义式与和角公式．然而被试选择这些公式的频率相当高，甚至有被试认为，二倍角公式可以推出所有其他的公式，这反映出有一定比例的学生对三角公式的结构性理解有所偏差．分析原因，可能是考试题中二倍角等公式出现的频率最高，学生在解题训练中不知不觉地形成某种理解，认为这些公式在数学上才是最重要的．

从表7中亦可发现，在衡量公式重要性时，学生相当关注实用性方面（尤其是高三学生），这反映出工具性理解的特征（相比之下，表7中所列的第2、第3种理由更多地反映关系性理解的特征）．

5.3 创新性理解任务系列作答情况及分析

任务1要求被试将课本中的思想方法迁移到新的情境，说明A(α)与B(α)的定义与终边上点P的选取方式无关．被试的几种较有代表性的解释方式如下．

图5 直接研究定义的典型解释

图6 归结为正余弦定义的合理性的典型解释1

图7 归结为正余弦定义的合理性的典型解释2

图5中的解释抓住了定义合理性的本质（仅未考虑斜率不存在的情况，这种疏漏在被试的答题中频繁出现）；图6中的解释是将新定义的合理性归结为正、余弦定义的合理性，且解释完整无误；图7所给的解释虽与图6十分相似，但并未解释到位．更有许多被试仅写出A(α)与B(α)的表达式而不作进一步的解释，即未触及定义合理性的本质，这一现象在高三被试中尤其明显（他们或许认为，既然已化作常见三角比，就没什么好解释的了）．总体而言，作出清晰解释的被试相当少，具体情况如表8所示．

表8 被试对定义合理性作解释的表现

任务2、3的作答情况如表9、表10所示．

表9 被试推导同角三角比关系的表现

未作答或几乎未作答 　10 (14.1%) 　5 (7.7%)

表10 被试写出“诱导公式”的表现

从表9、表10反映出，相当多的高一被试所写的公式不符合形式要求．他们虽能熟练辨认原公式系统中的同角三角比关系与诱导公式，但未能实现迁移，在新公式系统中写出正确形式的公式．这可能与他们的迁移能力有关，也可能是由于他们未充分关注并深入理解每组公式的形式及意义，故不明确应写出何种形式的公式．相比之下，高三被试的表现明显优于高一被试，但亦出现一些形式错误的现象．

值得注意的是，表9反映近半数高三被试直接写出了正确结果，这意味着推理过程在他们头脑中迅速完成了．这也许是因为高三复习中经常强调sinαcosα与sinα±cosα之间的等量关系，因此他们一旦完成概念转化，就能直接在头脑中搜索到一个熟悉的结论，而这种熟练多少妨碍了他们表述的完整性．

任务4要求高三被试证明一条关于A()α的积化和差公式．如表11所示，高三被试在此任务中反映出良好的公式掌握水平与迁移水平（只是在表述完整性方面仍有不足）．

表现 　　完成情况正确完成 　38 (58.5%)大体正确，但表述不完整 　17 (26.2%)未完成或有误 　5 (7.7%)未作答 　5 (7.7%)

表12 高三被试求解综合性问题的表现

整体而言，相比高一被试，高三被试对三角公式系统的熟悉程度更高，迁移更为顺利．个别高三学生表现出很高的迁移性理解水平．

6 结论与建议

6.1 主要结论及教学启示

综合上述分析，研究者将上海高中生在三角公式理解方面的主要表现与年级差异归纳如表13所示．

表13 上海高中生理解三角公式的主要表现

值得指出的是，高三学生对公式的理解反映出更多工具性数学的特点（实用、迅速获得正确答案），比如他们更关注公式的实用性．此外，他们在创新性理解任务1、2中的答题完整性不及高一被试，亦可能是他们的思维更加直接和迅速所致．工具性理解实用、迅速的特点恰恰有助于高三学生在高考中迅速准确地答题，但这并不意味着他们关系性理解的质量不如高一学生．事实上，随着学习进程，他们在熟悉知识体系、多角度理解公式等方面有更多的学习机会，以提高他们的关系性图式的质量，这也能在年级差异的其他现象中得到一定程度的反映．

然而研究中仍反映出，上海高中生三角公式的关系性理解的质量总体而言并不高，在证明性理解、论说性理解、结构性理解这3个方面均显出不足，特别是对和角公式的证明性理解相对薄弱，在结构性理解上亦有偏差．其实，被试在迁移性理解方面所表现出的“对公式形式及意义的理解不够到位”，亦与结构性理解的不足有关．更一般而言，创新性理解要求“知其然并知其‘新’的‘然’和‘所以然’”，这是建立在高质量的关系性理解的基础之上的．因此，在高中三角比教学中，需在关系性理解的上述几个方面有所加强，比如可以适当强调各组公式的形式（可借助反例变式）以及它们的数学意义，适当加强和角公式的测评要求，多提供学生推导与论说方面的训练机会等．当然基本技能的训练仍值得保持，使学生具备迅速准确答题所需的工具性理解．

6.2 对进一步研究的建议

鉴于样本、研究实施条件等方面的限制，研究所反映的现象有待检验．对进一步的研究则有如下建议．

（1）对全国范围内不同地域、学习不同版本教材的高中学生在三角公式理解方面的情况作研究，进行年级差异、地域、教材等方面的比较．

（2）就创新性理解而言，可对4.3节中所设计的任务系列加以充分利用或改造，借助深入访谈，以获得对被试创新性理解情况的更多认识．此外，亦可与创造力的研究相结合．研究中不妨提供给被试充分的时间，让他们发挥创造力，独立地构建新公式系统，那么被试所面临的挑战将大得多．正如文[2]所述，“创新性的数学理解，是在提出新问题，进行新猜想，拓展新内容的过程中完成的．学习者在新的层次、或者更宽大领域里进行居高临下的观察，多角度地思考原有的概念和问题，达到一种新的思维水平．”而研究者则可以借鉴创造力方面的理论来研究学习者的创新性理解．

（3）研究仅涉及到三角公式工具性理解、关系性理解的部分内涵，对创新性理解更是仅作了一些初探性的工作．因此，对于三角公式理解这一课题，在深度上和广度上均有很大的研究空间．

［参 考 文 献］

[1] Skemp R.Relational Understanding and Instrumental Understanding [J].Mathematics Teaching, 1976, (77): 20-26.

[2] 任伟芳，偶伟国，龚辉，等．“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”[J]．数学教育学报，2014，23（4）：69-73.

[3] 鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[4] 马复.试论数学理解的两种类型——从R·斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-53.

[5] 王光明．关于学生数学认知理解的调查和思考[J]．当代教育科学，2005，（23）：62．

[6] 袁震东．数学 高中一年级第二学期（试用本）[M]．上海：上海教育出版社，2008．

[7] 张景中．一线串通的初等数学[M]．北京：科学出版社，2009．

[8] 张景中．不用极限的微积分[M]．北京：中国少年儿童出版社，2012．

[9] F·克莱因．高观点下的初等数学（1-3卷）[M]．上海：复旦大学出版社，2008．

[10] 熊斌，田廷彦．国际数学奥林匹克研究[M]．上海：上海教育出版社，2008．

[11] 陈月兰．中日三角比内容比较——以上海教育出版社和数研出版社出版的教科书为例[J]．数学教育学报，2013，22（3）：57-62．

[12] 涂荣豹．数学学习与数学迁移[J]．数学教育学报，2006，15（4）：1-5．

[13] 黄燕玲，喻平．对数学理解的再认识[J]．数学教育学报，2002，11（3）：40-43．

[责任编校：周学智]

Empirical Study on Senior High School Students’ Understanding of Trigonometric Formulas in Shanghai

HE Yi-jie1, 2, PENG Gang1, XIONG Bin1, 2
(1.Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2.Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

Abstract:In recent decades, scholars from home and abroad have put forward various theories and opinions about mathematical understanding.This paper examines Shanghai’s high school students’ understanding of trigonometric formulae from the perspective of instrumental understanding, relational understanding and innovative understanding.In terms of research and testing, the researchers discover that students generally perform well on the instrumental understanding level, but are lacking in many ways in their relational understanding.A series of tasks which is designed by the researchers reveals certain characteristics of these students’ innovative understanding.This research also shows that while Senior Three students perform better than Senior One students in some aspects of relational and innovative understanding, they also demonstrate a higher level of tendency towards the characteristics of instrumental understanding.

Key words:trigonometric formula; instrumental understanding; relational understanding; innovative understanding; transferred understanding

作者简介：何忆捷（1985—），男，上海人，华东师范大学数学系博士研究生，主要从事数学方法论与数学竞赛研究．

基金项目：上海市核心数学与实践重点实验室课题（13dz2260400）

收稿日期：2015–09–08

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0051–06