集合关系特征对小学生分数乘法应用题表征的影响

张 睆，辛自强，陈英和，胡卫平

（1．山西师范大学 教师教育学院，山西 临汾 041004；2．中央财经大学 社会发展学院 心理学系，北京 100081；3．北京师范大学 发展心理研究所，北京 100875；4．陕西师范大学 现代教学技术教育部重点实验室，陕西 西安 710062）



集合关系特征对小学生分数乘法应用题表征的影响

张 睆1，4，辛自强2，陈英和3，胡卫平4

（1．山西师范大学 教师教育学院，山西 临汾 041004；2．中央财经大学 社会发展学院 心理学系，北京 100081；3．北京师范大学 发展心理研究所，北京 100875；4．陕西师范大学 现代教学技术教育部重点实验室，陕西 西安 710062）

摘要：数学应用题往往包含了一定的事实及其关系，称为集合关系．传统的问题表征模型强调了集合关系的语义含义对应用题表征的影响，而关系复杂性模型则强调了集合关系的等级复杂性对应用题表征的影响．但二者的相互关系如何，目前尚不清楚．通过自编的分数乘法应用题任务，以76名小学六年级学生为被试，初步探讨了乘法语义含义（组合、比较、转换）和等级复杂性对于分数乘法应用题表征的影响．结果表明：（1）乘法语义含义和等级复杂性都会影响应用题表征的难度，且交互作用不显著；（2）3种乘法语义含义中，比较含义更难于表征．

关键词：集合关系特征；语义含义；关系复杂性；乘法应用题表征

1 引 言

“学以致用”是数学教育的核心目标，而数学应用题则是联系数学与现实生活的重要桥梁[1]．所谓数学应用题，是用自然语言陈述，并通过执行数学运算才能解决的现实问题情境．这些现实问题情境往往由特定事实及其关系构成，并能被表述为数量及其运算，这是数学应用题的重要特点．因此，数学应用题被一些学者称为关系应用题[2]，这些事实及其关系也被称为应用题中的集合关系[3]．

成功解决数学应用题，关键是正确表征应用题中的集合关系[4]．从应用题表征过程来看，解题者对集合关系的成功表征需要经历3个环节，首先是理解书面文本的词句关系，然后将词句关系转化为内在心理模型中的事实关系，最后转化为变量间数理逻辑关系或运算关系[3，5]．在这一过程中，集合关系的内容和形式等特征必然会影响到问题表征过程的顺利进行．

在内容特征上，研究者们普遍强调了集合关系的语义含义对应用题表征的影响[6～7]．所谓集合关系的语义含义，是指集合间运算关系在现实问题情境中所对应的事实关系[8]．儿童只有理解了这种对应，才能将特定的事实关系正确转化为特定的数学运算，即正确表征了应用题[9]．同一种数学运算往往可以对应多种语义含义，且对于儿童来说，这些语义含义的理解难度不同．例如，两个集合间的加减法运算在不同问题情境中可以表示为变换、合并、比较3种语义含义，变换表示一个集合自身的量的增加，合并表示两个集合的量的总和，比较表示两个集合间的量的差异．在这3种语义含义中，比较含义更难于被小学儿童正确对应为单步加减法运算[10]．

与加减法运算相比，集合间乘除法运算的语义含义更为复杂．这主要由于加法运算中的量须性质相同，例如距离只能与距离相加，且运算结果还是距离；而乘法运算中的量的性质可能不同[11]．一般来说，乘法运算中的量有两类，一类是测度量，如绳子的长度，一类是关系量，表示两个测度量的相对大小，例如密度．其中，关系量还可以进一步区分为单位量和倍数两类，单位量是两个不同单位的量的倍比，例如速度和密度，而倍数是两个相同测度的量的倍比，例如倍数或几分之几．在此基础上，Hardiman等人划分出4类乘法语义含义，分别是计量、比较、组合和转换[12]．所谓计量（compute），是指一个单位量与测度量相乘，其中被乘数是单位量，乘数是测度量，积是另一个测度量．该含义表示将多个单位量累加在一起．例如“苹果每斤3元，如果买5斤，需要付钱多少元？”其中，每斤3元是单位量，而5斤是测度量，乘法运算表示将5个“3元”累加在一起．比较（compare）指一个测度量和倍数相乘，其中被乘数是测度量，乘数是倍数，积是同一个测度量，该含义表示两个测度量的倍比关系．例如，李言有3个苹果，姚凯是他的5倍，姚凯有多少个苹果，乘法运算表示李言和姚凯的苹果数量之间的倍数关系．组合（combine）指一个测度量与另一个测度量相乘，该含义表示一个测度量在另一个测度量上的积累．例如，李言有3件上衣，4条裤子，他可以有多少种搭配方法．转换（convert）指两个单位量相乘，乘积也为一个单位量．该含义表示单位的转换，例如，姚凯每分钟走50米，两步1米，他每分钟走多少步．其中，“米/分钟”乘以“步/米”，就转换为“步/分钟”．

在结构特征上，研究者强调了应用题所包含的集合关系的复杂程度对问题表征难易的影响．在辛自强提出的关系复杂性模型中，这种集合关系的复杂程度被称为关系复杂性，具体包括等级复杂性和水平复杂性两个维度[13]．其中等级复杂性是指集合关系的嵌套层级数量，当关系中某个集合的性质，由另外一个关系所决定时，就可以认为这两个关系构成嵌套，用辛自强的话说：“所谓‘等级’是强调理解低一级关系的输出是理解高一级关系的输入，高一级关系的理解必须以低一级关系的理解为前提，二者有迭代和嵌套关系．而等级复杂性反映的就是这种关系的迭代和嵌套程度．”[13]而水平复杂性是指同一层级中关系的多少，当理解一个关系不以理解另一个关系为前提时，这两个关系就处于同一个层次水平之上．

如何分析应用题中关系复杂性的大小呢？须首先确定应用题的关系层级（即等级复杂性），然后确定每个层级上关系的数量（即水平复杂性），最后综合用上述两个指标表示该应用题的关系复杂性．例如，在加减法应用题中，最简单的关系是3个集合之间的部分整体关系或者差比关系．即a+b=c （关系1）．如果其中a、b已知，求c，那么问题等级复杂性为1，水平复杂性也为1．如果其中b也未知，但是b由d、e两个已知集合加和而成，即b=e+d（关系2），这时可以理解为关系2嵌套到关系1之中，整个问题的等级复杂性就变为2，每个等级的水平复杂性依然为1．

关系复杂性模型认为，应用题的关系复杂性，特别是等级复杂性越高，就越难于被正确表征．大量研究也证明了这一点[14～16]．例如，辛自强等曾以小学四、五、六年级共6个班的172名学生为被试，用长方形面积问题作为实验材料，考察了问题的关系复杂性和儿童表征能力之间的关系．发现同一组学生在不同等级复杂性任务上的表征水平存在明显差异，等级复杂性越高，学生就越难以成功表征问题[16]．

虽然以往研究分别从内容和结构两个方面探讨了集合关系特征对于问题表征的影响．但是这些研究仅仅关注了其中的单个特征，并没有同时对二者的作用进行考察．譬如说，以往对于语义含义的研究，采用的研究材料往往是单步加减法或者乘除法应用题，不涉及更为复杂的集合层次关系．而对于关系复杂性的研究，往往采用复杂程度不同的特定语义类型问题，例如长方形面积问题，而并不涉及多种类型的语义含义．那么，这两类因素对于应用题表征的影响，是否存在交互作用？这仍需进一步研究加以探讨．研究这一交互作用，有助于探讨个体对语义含义的表征和等级复杂性的表征，是相互独立的认知过程，还是存在相互依存的认知过程，进而在应用题表征阶段模型背景下，推断两种表征过程所发生的认知阶段．

另一方面，已有的乘法语义含义分析主要针对整数乘法而言，而没有考虑到分数乘法关系的特殊性．事实上，整数与分数在量的性质上存在诸多差异[17]．譬如整数大小是可以通过计数“数”出来的，而分数的大小却是“数”不出来的；整数有固定的单位“1”，而分数则没有大小固定的单位；整数相乘可以使原有数值变大，而分数相乘则既可能变大也可能变小．因此，当乘法关系中的某个量是分数而非整数时，某些乘法语义含义将可能更难于理解．例如在乘法的比较含义中，“a是b的三分之二”往往难于“a是b的2倍”．因而，在分数乘法应用题中，不同的乘法语义含义究竟难易如何？尚需研究加以探讨．

基于以上分析，以分数乘法应用题作为实验任务，考察集合关系的语义和结构特征对于应用题表征的影响．在语义含义上，参照以往的乘法语义分类模型来确定分数乘法的语义含义．由于乘法语义含义中的组合问题涉及到数学中的排列组合问题情境，小学分数乘法应用题不包含这一类型．因此，主要考察3种分数乘法语义含义：计量、比较和变换．

在结构特征上，将依照关系复杂性模型来确定应用题的不同等级复杂性水平（一级、二级）．以往研究表明，相对于水平复杂性来说，等级复杂性往往对问题表征的影响较大[15～16]．但这些研究在考察等级复杂性的效应时，并没有对相关的语义含义进行控制，具体来说，由于二级复杂性任务包含了两个层级的集合关系，而两个层级的集合关系必然具有各自的语义含义．因此二级复杂性任务和一级复杂性任务的差别，不仅仅体现在前者多了一个层级的集合关系上，也体现在这个集合关系的语义含义上，这可能对不同等级复杂性之间的比较带来混淆．为了控制这一可能的混淆，在设计二级复杂性的任务时，将其中的一级关系设计为不同乘法语义含义，而将二级关系设计为同样的加法语义含义——组合关系．对于六年级儿童来说，加法关系的组合语义含义对他们应用题表征的影响已经微乎其微[7]，从而可以控制二级水平的多层级关系语义含义对于文字题解决的影响．

2 研究方法

2.1 被 试

从山西省太原市郊区某普通小学中整班选取6年级学生76名，其中男生38名，女生38名．平均年龄147.6个月．该学校使用人教版小学数学教材，在接受应用题测验前，所有儿童均已学习过分数乘法运算．

2.2 研究设计与材料

采用2×3×2的混合实验设计．其中，被试内变量为集合关系的语义含义（计量、比较、转换）和等级复杂性（一级、二级），共6种水平；被试间变量为性别（男、女）．

研究材料为自编的分数乘法应用题，包括一级和二级复杂性题目各3道，这3道题目的语义含义分别为计量、比较、转换，因此总共包含6道分数乘法应用题．其中的二级复杂性问题，是在一级复杂性问题之上嵌套一个加法的组合语义关系．例如，一级复杂性的乘法比较问题为“甲农民原有苹果90斤，如果卖掉了原来的2/3，问卖掉苹果多少斤”．在嵌套了一个加法的组合关系之后，变为“甲农民原有一堆苹果，卖掉了其中的90斤，剩下的苹果是卖掉的2/3，问原来有苹果多少斤”，该题关系复杂性为二级，其中，一级关系为乘法的比较含义，二级关系为加法的组合含义．

控制以下3方面无关因素的干扰．第一，为了防止由易到难的项目编排产生练习效应，从而降低了二级复杂性的表征难度，因此将3个二级任务放在测验的前面，3个一级任务放在测验的后面．第二，为了保证儿童对于任务情境的熟悉水平，避免儿童由于缺乏事实性知识而难于正确表征问题，因此，设计了对于该校学生都非常熟悉的问题情境．鉴于该校学生大都来自农村家庭，且当地村民多种植或出售苹果，因此采用了农民种植和出售苹果的问题情境．第三，为了防止被试受到题目中数字的暗示而采取某种运算方法，在题目中采用的数字为90、60和2/3，这样在多种可能的运算组合中，都可以得到整数结果．

2.3 研究程序

2011年3月底施测，采用团体测验形式，由受过训练的3名心理学研究生担任主试，同时在3个班施测．在测试中，主试要求学生仔细思考后，先写出他是怎么想的，再列出式子，而不用计算结果．测试时间为40分钟，最后共收回有效试卷76份．主试根据被试列式及算理是否正确计分，如果被试列式正确，且算理说明无误，则判定为正确表征了该问题，计1分，否则判定为错误，计0分．

其中，“算理说明无误”指：儿童能正确说明为何要这样列式．例如：对于应用题“甲农民原有一堆苹果，卖掉了其中的90斤，剩下的苹果是卖掉的2/3，问原来有苹果多少斤”，儿童算理说明及列式为“先算出剩下的是几斤，再加上卖出的90斤，就得到原有苹果多少斤．列式90×2/3+90．”特别注意的是，如果儿童列式正确且能正确解释算理，但是得数错误．说明儿童的错误出现在运算过程，即他们可以正确表征问题中的集合关系，但是运算能力不足．因此判定他们正确表征了该问题，计1分．

3 研究结果

以被试在每道题上的表征正确率作为衡量儿童对该题表征水平的指标．6年级儿童在各类型任务上的表征正确率以及标准差见表1．

表1 不同集合关系特征下的表征正确率

对表1中的结果进行3因素混合测量方差分析表明，等级复杂性主效应显著，F(1, 75) = 4.26，p < 0.05，效应值η2= 0.05，语义含义主效应显著，F(2, 150) = 9.63，p < 0.001，效应值η2= 0.11，二者交互作用不显著，F(2, 150) = 0.48，p > 0.05，见图1．作为被试间变量的性别主效应不显著，F(1, 74) = 3.62，p = 0.06，性别变量与其它变量的交互作用均不显著．因此，在下文中将不再讨论性别差异．

图1 不同等级复杂性问题在不同语义含义下的表征难度

对儿童在3种不同语义含义应用题上的表征正确率进行事后多重比较，结果表明，儿童在计量和转换任务上的表征正确率无显著差异，MD = 0.026，p = 0.29．计量任务的表征正确率显著高于比较任务，MD = 0.118，p < 0.001．转换任务的表征正确率也显著高于比较任务，MD = 0.092，p = 0.002．这说明儿童对于乘法比较任务的表征要难于其它两种任务．

4 讨 论

文章探讨了在分数乘法应用题解决中，任务的集合关系特征对于应用题表征的影响．研究发现：（1）集合关系的语义含义对应用题表征有影响，其中比较含义的表征要难于计量和转换含义；（2）等级复杂性对应用题表征有影响，二级复杂性任务比一级复杂性任务更难于表征；（3）语义含义的影响略大于等级复杂性的影响，二者交互作用不显著．

在分数乘法的3种含义中，比较含义的表征相对较难．这可能是由于在分数乘法情境下，与其它两种含义相比，比较含义更难表示为“累加”过程．而事实上，小学儿童往往将乘法运算理解为某个量的“累加”，因此比较含义更难被儿童理解．例如在研究中，计量任务“苹果的价格为每斤2/3元，如果甲农民现在有90斤苹果，可以卖多少元”．其中单位量“每斤2/3元”表示1个单位为2/3元，数量“90斤”表示有90个这样的单位，则目标量“多少元”表示将90个单位量累加在一起，即单位量与数量之乘积．同样，对于转换任务“农民每天可收苹果90斤，如果每斤苹果售价为2/3元，请问农民每天可收入多少元”，单位量为“2/3元”．每天的收入则可以视为90个“2/3元”的累加．而在分数乘法的比较含义中，分数不是一个“测度量”，也并非可以累加的“倍数”，因而乘积难以直接表示为量的累加，例如“甲农民原有苹果90斤，如果卖掉了原来的2/3，问卖掉苹果多少斤”，就无法被理解为将“90斤”累加2/3次，而应理解为卖掉苹果量与原来苹果量的比值为2/3．

因此，在分数乘法应用题教学中，数学教师需要区分乘法不同类型的语义含义，并结合分数概念的测量和比值含义[18～19]，对分数乘法的意义予以讲解．对于计量和转换含义的分数乘法应用题，由于分数可以看作一个测度量（这时分数往往带有某种量纲），而整数可以视为倍数，因而教师可以将其转化为对单个分数的n倍累加，以帮助学生理解分数应该和哪个量相乘．但是对于比较含义来说，分数完全是一个倍数，且这个倍数无法表示为累加，而仅仅是一个比值（这时分数后边没有任何量纲）．则教师需要从“比”的含义入手，帮助学生理解分数表示哪两个量的相对大小，谁是比较量，谁是被比较量．

在此研究中，分数乘法应用题的等级复杂性也会影响到问题的表征难度．这与以往在加法和乘法应用题上的研究结果相一致[15]．这说明在多种类型的应用题中，任务的集合关系复杂程度都会影响到问题表征的难易．值得注意的是，与以往乘法应用题研究采用的长方形面积任务不同，这里所采用的任务中，与一级复杂性任务相比，二级复杂性任务仅仅增加了一个语义含义为组合的加法关系，而且这一语义含义对于6年级儿童来说非常容易理解．这说明，只要在应用题的等级复杂性上增加一级关系，即使增加的这一级关系在语义上非常容易理解，也会提高整个问题的表征难度．

从二者的交互作用来看，研究结果表明，语义含义和结构复杂性之间交互作用不显著．这说明两类集合关系特征对于表征难度的影响可能是相互独立的，或者说不同语义含义的集合关系的表征难度差异，与该关系的等级复杂程度无关．这可能意味着，个体对两类集合关系特征的表征分别涉及两个相互独立的表征机制．具体来说，对于语义含义的表征，可能主要是将特定内容的集合关系转化为特定逻辑—数学关系的过程，其知识条件为个体是否掌握特定事实关系与特定逻辑—数学关系之间的对应．而等级复杂性的表征，可能需要将多个集合关系整合在一起，其知识条件为个体是否具备整合这些关系所需的应用题图式．

有趣的是，在研究中，当在任务中同时考虑了任务中所包含集合关系的语义含义和结构特征的时候，语义属性对于问题难度的贡献要略大于结构属性．这一结果似乎可以说明，在影响应用题难度的诸多任务特征中，内容的重要性可能略高于形式的重要性．事实上，从新皮亚杰主义者所进行的诸多研究中也可以看到这一点．决定儿童是否能理解和解决问题的，往往不是任务的逻辑结构本身，而是问题所涉及的情境对于儿童来说是否熟悉和易于理解．

［参 考 文 献］

[1] 章飞，鲍建生．加强数学应用教学 全面提高学生素质[J]．数学教育学报，1998，7（4）：60-63．

[2] 周新林，张梅玲．分析数集和构图求解关系应用题的效果[J]．心理科学，2000，（5）：611．

[3] 辛自强．数学应用题解决研究的理论进展——兼论表征复杂性模型[J]．宁波大学学报（教育科学版），2004，（5）：13-18.

[4] Kintsch W, Greeno J G.Understanding and Solving Word Arithmetic Problems [J].Psychological Review, 1985, 92(1): 109-129.

[5] Mattarella-Micke A, Beilock S L.Situating Math Word Problems: The Story Matters [J].Psychonomic Bulletin & Review, 2010, 17(1): 106-111.

[6] 郭兆明，宋宝和，张庆林．中国心理学界数学教学心理研究的十年进展[J]．数学教育学报，2005，14（2）：12-16．

[7] 章巍．代数应用问题的文字表述对解题影响的研究[J]．数学教育学报，2014，23（2）：73-78.

[8] Bassok, M.Semantic Alignments in Mathematical Word Problems [A].In: Gentner D, Holyoak K J, Kokinov B N.The Analogical Mind: Perspectives from Cognitive science [C].Cambridge, MA: MIT Press, 2001.

[9] Sharp J, Adams B.Children’s Constructions of Knowledge for Fraction Division after Solving Realistic Problems [J].The Journal of Educational Research, 2002, 95(6): 333-347.

[10] 周新林，张梅玲．加减文字题解决研究概述[J]．心理科学进展，2003，（6）：642-650．

[11] Nesher, P.Solving Multiplication Word Problems [A].In: Leinhardt G, Putnam R, Hattrup R.Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching [C].Hillsdale,NJ: Lawrence Erlbaum, 1992.

[12] Hardiman P T, Mestre J P.Understanding Multiplicative Contexts Involving Fractions [J].Journal of Educational Psychology, 1989, 81(4): 547-557.

[13] 辛自强．关系—表征复杂性模型[J]．心理发展与教育，2007，（3）：122-128．

[14] 辛自强．关系—表征复杂性模型的检验[J]．心理学报，2003，（4）：504-513．

[15] 辛自强，张莉．基于关系—表征复杂性模型的数学应用题表征能力测验[J]．心理发展与教育，2009，（1）：34-40，53.

[16] Xin Z.Fourth-Through Sixth-Grade Students’ Representations of Area-of-Rectangle Problems: Influences of Relational Complexity and Cognitive Holding Power [J].The Journal of Psychology: Interdisciplinary and Applied, 2008, 142(6): 581-600.

[17] Stafylidou S, Vosniadou S.The Development of Students’ Understanding of the Numerical Value of Fractions [J].Learning and Instruction, 2004, 14(5): 503-518.

[18] 张睆，辛自强．分数概念的个体建构——起点与机制及影响因素[J]．数学教育学报，2013，22（1）：27-32．

[19] 蒲淑萍．“中国 美国 新加坡”小学数学教材中的“分数定义”[J]．数学教育学报，2013，22（4）：21-24，70．

[责任编校：周学智]

Influence of Set-Relation Attributes on Children’s Multiplicative Word Problem Solving

ZHANG Huan1, 4, XIN Zi-qiang2, CHEN Ying-he3, HU Wei-ping4
(1.School of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China; 2.Department of Psychology, School of Social Development, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China; 3.Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 4.Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

Abstract:Students often have difficulty in solving multiplicative word problems.Previous problem representation models emphasized the effect of task’s semantic structure of set-relation on the difficulty of an arithmetic word problem, whereas the relational-representational complexity model suggested that the difficulty of an arithmetic word problem is determined partly by the relational complexity of set-relation in the problem.Based on a sample of 72 six graders, the present study explored the role of set-relation attributes in children’s word problem solving.The results revealed that: (1) both the semantic structure and the hierarchical complexity of the set-relation contained in the word problem had effect on children's performance on the word problems, and their interaction is not significant.(2) Among all three kinds of semantic structures of tasks, the compare task is hardest.

Key words:set-relation attribute; semantic structure; relational complexity; word problem solving

作者简介：张睆（1979—），男，山西阳泉人，讲师，硕士，主要从事认知发展与数学学习研究．

基金项目：国家自然科学基金项目——分数概念的发展及其空间表征特点研究（30970909）；国家社科基金重大项目——中国儿童青少年思维发展数据库建设及其发展模式的分析研究（14ZDB160）；山西师范大学教学改革研究项目——教育心理学课程的教考分离与题库建设研究（SD2013JGXM-38）

收稿日期：2015–09–22

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0043–04