对形如sinA+sinC的式子取值范围解法反思

施春辉

摘 要：在解三角形的知识背景下有一类求解形如sinA+sinC取值范围的问题，它有几种衍生类型如求a+b，a2+b2，sin2A+sin2B的取值范围，在这类问题解决过程中通行的思路，是将表达式统一转化成关于某个角的表达式. 但在处理过程要注意两点，首先是要注意减少未知数的个数；其次，是要注意确定代表元素的取值范围.

关键词：a+b；解题思想；解题方法

解三角形在高考中占据着非常重要的地位，是属于B级的考查要求，其题目往往是简单偏中等难度的类型. 而这类题目恰恰是学生成绩的基础，在解三形的知识体系下，有一类求解形如a+b取值范围的题型，近些年来成为高考和各大市调研考试青睐的对象，值得花费一番心思去构建它的解题模型，形成固定解题程序，方便学生对这类问题的操作.

见微知著：由一道高考题引发的思考

2015年湖南省高考理科卷第17题的一道解三角形简单的中档题引发了笔者对这一类问题的思考.

模型建构：对形如sinA+sinC的题型的理论归纳

在实际的解题过程中学生可能遇到更多的类似于sinA+sinC这样的题型，比如cosA+cosB，a+b，更复杂点的有sin2A+sin2B，a2+b2等不同表现形式的问题. 这些问题都有一个共性：即它们都包含着两个未知数，并且这两个未知数可以通过三角形这个中介转化成同一个角的三角函数. 因此，这类题型的最基本的解题思想，即利用解三角形的相关理论，将表达式转化成三角函数的表达式，通过确定角的取值来决定表达式整体的取值. 其具体模型概括如下：

（1）降低未知数的个数：对于直接给定正弦或余弦形的表达式，可以直接用三角形内角和的关系来进行角的替换，以此降低未知数的个数，而对于给定边的和或给定边的平方和，首先需要用正弦定理将其转化成角表达式，然后再将角替换，以此降低未知数的个数.

（2）根据表达式的具体形式判断是否需要用降幂公式，将表达式化成一次幂，对于平方和的形式往往需做这一步处理.

（3）确定作为未知元角的取值范围：需要注意的是由于三角形三个内角是相互限制的，因此确定未知元角的取值范围时，应当用未知元角表示其他角，列出相应不等式，取交集，以此共同限制未知元角的取值范围.

（4）确定表达式的取值范围：经过变换后，表达式往往可以写成三角函数或以正弦（余弦）为内函数的复合函数的形式，可根据确定好的角的取值范围，求解表达的取值范围.

实践探索：解题程序在具体问题中的运用

解题模型的建构仅仅是为学生解决这类问题提供了一定的参考标准，学生真正的解决问题能力还应当从解题的过程中展现. 如以两道调研考试题目为案例具体说明，解题模型在具体问题中的运用.

上述几道例题虽然在难度上略显简单，但却贴近考试实际，也是形如sinA+sinC这种题型的典型例子：一种直接给予角的表达式；一种给予边的表达式需要向角的表达式转换.反思上述几个例子我们可以从如下三个方面来解读这一类型的题目：首先，从题目的复杂程度上讲，有关边的和差表达式求取值范围要更为复杂，解决过程中首先涉及边向角的转换，因此对思维上的要求也就更高；其次，从题目的本质上讲，无论是给关于角的表达式，还是给关于边的表达求取值范围，最本质上是利用三角形内角关系来限定代表元角的取值范围，从而确定所求表达式的取值范围；第三，观察上述解题的第三步确定代表元的取值时，有时仅仅需要一个表达式就可限定代表元角，有时需要对三角形的所有内角范围均有限定，才能确定代表元，这是由题目中所给三角形的形状所决定的，三角形的形状不同时，三个内角相互限制会导致代表元有不同的取值范围.