一道高考数列题的说题

蒋庆富

摘 要：说题，是时下比较流行的一种针对解题的研讨方式，通过说题，追溯题源，探究解法，归纳解题思想，变式的处理，以及对相关题的触类旁通，都有很好的指导意义.

关键词：说；解法；思想；变式

原题：（2013江苏19）设{an}是首项为a、公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和. 记bn=，n∈N*，其中c为实数.

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；

（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0.

说题目立意

本题本质是研究一个数列是等差数列的充要条件，第一问考查等差、等比数列的基本运算，难度不大.

（1）考查等差数列和等比数列的基本量运算；

（2）考查等差数列和等比数列的性质；

（3）考查等差数列的前n项和公式；

（4）考查化归思想；

（5）考查学生的运算能力、分析转化能力和推理论证能力.

说题目解法

解法小结：解法1是用代数恒等式来处理，直接将等式两边用基本量“翻译”建立代数恒等式；解法2是利用等差数列的通项特征；解法3从一般性入手，先求再证，思路明确，条理清晰；但解法烦琐. 如果本题使用2bn=bn-1+bn+1来做，计算量会更大.

说数学思想方法

数学思想：转化化归思想、分类讨论思想、方程的思想（等式的恒成立问题）.

数学方法：等差、等比数列基本量法，特殊化法

说试题背景来源

试题的背景和近几年江苏卷的数列有些不同，之前考查的数列对学生能力层次要求高，入手难. 题目本身其实是精彩纷呈的. 而2013年的数列19题设计很朴实，试题真正地源于课本，青菜做出了鲍鱼味！精妙之处在于其问题设计，似曾相识，却别有风味. 试题虽然不很难，却对学生的理解和计算能力考查很到位，这种能力不是学生一蹴而就的，是需要长时间对数学的感悟和理解；并且该题给人以启迪，耐人寻味. （有兴趣的可查2004年的江苏高考20题，与此题的相关度极高）

说问题变式与拓展

问题1 变式：若c=0，且Snk=n2Sk（k，n∈N*），那么数列{bn}中是否存在连续的3项成等比数列？

改编意图：在变式1的方法结论基础上将结论开放，探究.

问题2 变式：若数列{an}的前n项和为Sn，an>0，k≠0，k∈R，kSn=anan+1，问：a1，a2之间满足什么关系时，数列{an}是等差数列.

改编意图：改变条件的关系式，探究结论成立的条件.

从以上可以看出，只要我们平时花时间研究一定的典型题，尤其是高考题，对拓宽解题思路，归纳总结解题的方法和思想，从说题的主体看，说题可分为“教师说题”、“教师和学生互动说题”和“学生说题”， “教师和学生互动说题”和“学生说题”也是复习和习题教学中一种行之有效的教学方法. 对提升自己的教学专业水平和学生对题目与相关知识点的透彻理解，提升学生的数学学习兴趣，一定会有较大帮助. 教师在不同的课堂教学中要适时加以应用.