直观表征：让计算教学打上数学化的烙印

李春娟

摘 要：计算教学承担着培养学生思维能力的重要任务。计算教学提倡并且强调算理的探索，算法的建构已经成为教学研究的共识。小学生的思维水平处于形象思维向抽象思维发展与过渡，扎实有效的计算教学离不开直观表征的形式化，真正把握住算理和算法双翼，促进数学化的认识。

关键词：计算教学；直观表征；算理；算法；数学化

计算教学承担着培养学生思维能力的重要任务。在实际的计算教学中，我们强调算理的探索、算法的建构、规律的认识，这些都离不开计算中提供的直观表征的形式化。实现儿童学习数学化的实际需要成为一种最大成功的标志。下面结合一些教学实例和分析，谈谈笔者的体会和做法。

■一、困惑——坚持只摆不移，失去牵引力。

一次教学研讨活动，一个青年教师讲述困惑：因为学生摆不成教材所给的图示（如图1左图所示），需要教师自己非常生硬地引导为教材中的样子。如何把学生的摆法引导到教材呈现的结果，这本身就是一个教学调控的问题，其实这就是学生思维是如何生发的轨迹。笔者提出反问：要是学生真摆成3捆放到一边，不能把3捆放到4捆下面，那能很快得出结果吗？是否需要再动一动，而这动一动的过程就是先算40+30=70，再算70+5=75，这里还可以肯定小朋友的操作经验，能把整捆的先合并，再和单根合并，变成魔术一样，变成几十加几十再加几，就是转化成了学过的整十数加整十数、整十数加一位数的加法。困惑在于需要建立具体运算到形式运算之间的过渡和解释，经历具体到抽象的过程，并完成数学化。再说教学对策，也可以采用比较，把学生摆的和教材所示的对比，再追问，为什么不同，需要怎样去操作就行了，也同样可以经历过程，并完成数学化。由此，操作的模式化，经历的数学化过程，就是思维的核心，对应相同计数单位计数，算法的抽象过程是从对象到结果的再现。

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图1

由此引发的问题：（1）操作和演示，面向全体的演示，操作直观中，观察和操作分析，操作的本质是揭示具体运算到形式运算之间的过渡与发展，能否表象分析出过程程序性指令？（2）算珠图演示操作，多种操作是互补、解释，还是并列、递进关系？（3）多样化中是否要指出优化，是否真的被接受？（4）个体差异是“理解”通向“记忆”，还是“记忆”通向“理解”，练习中有反思的必要性吗？（5）没有操作演示，产生空隙，是数学知识内部的发展，而不是生活中建构支撑的说明，依靠逻辑本身的发展推动，而不是生活外部的动力。为什么只摆不移，这是否意味着失去了最大的牵引力？

因为该教师说出公开课后的困惑，笔者给出了处方，自己也面临着去下药的准备。课堂的应对、思考的意义就是把学生的思维如何真正地生发出来，成为牵引力，完成教学预设和生成之间的定夺。

■二、实施——忽略小棒选择，还原制动力。

基于问题讨论陈述和笔者个人的思考，看待教材的设置，如何过渡，帮助学生从直观手段上突破对抽象算理的建立。学情分析，儿童的思维如何发生，直观和动作思维，形式思维需要一个清晰呈现层次。带着课前的思考笔者进行了教学实践。

用笔者的课堂实际来说明，课堂上学生的反应是先想40+30=70，再想70+5=75，理由是根据算式之间的推想，建立在整十数加法的基础上来推算出两位数加整十数的方法，这样的基础是数的组成和数的顺序，正确合理。接着补充，学生用计数器来拨，加30，要拨到十位上，对应拨，就是表示先算40+30=70。两种方法都出现了，可是学生还没出现小棒图，基于算法的探索，学生从推理的角度演绎，从图示的表征上联结都是正确可行的，为什么学生不回到小棒图了？有必要回到小棒图吗？笔者觉得有必要，所以在课堂上肯定了两种方法后，就提出了还有一种方法没想到，是什么呢？知道看书的小朋友立刻回答是小棒图，于是大家一起去利用多媒体的演示摆图去了，摆图时先摆4个整捆和5个单根后，3捆摆了，怎么看出是75呢？显然要移动，就表示对应摆，这样对应摆就是正确的方法，也是关键，表示先算40+30=70，也是小朋友先推想得到的想法，再合着看，是75。这样对应摆，对应拨，就是数学上的对应算，45+30时，十位上对应加。同样处理45+3时，怎么摆，怎么拨，怎么算？有了算理的分析，直观形象，抽象过渡，形式归纳，对应的思想深刻而简单，透明而清晰。

■三、剖析——组织直观材料，寻求支撑力。

教学中重视组织直观材料，不仅是计算教学中算法探索的需要，也是学生坚持数学技能化的提醒。计算中错误的发生，回到最初学习的认识上，是非常有必要的。笔者想用两个例子来说明一下。

一是笔者曾经教学三年级上册两位数除以一位数商是两位数的除法，整个教学中学生对笔者的教学节奏非常不适应，连后面的“想一想、做一做”做得让笔者都不忍心批阅，学生根本不理睬笔者采用的图示来分解计算步骤，习惯用一个对应的法则来计算。后来，笔者把纠正放到对除法算式的意义上，分一分，记一记，减一减，程序性指令的设计才能解决每一个不同的算式步骤所需的一般操作方法求解的问题。

二是最近教学中，部分学习困难的孩子对于数字观察比较模糊，或者学习的心向不足，对计算的厌倦反而助长了思维的不清晰。对于计算的错误，笔者让几个孩子订正作业时，想一想当初学习的时候课堂上老师和大家是怎么分享意见的，结果学生很快便做对了。问过后，笔者知道了原来他们想到小棒图或算珠图了，返回到用直观材料的组织上，再利用，不断地再利用，也就顺利解决错误了。

可见，计算教学中程序性的设计，操作化的指令是一个思维的导向的联结，这种联结依赖于学生头脑中有可设计的材料，能够组织化，而且还能得到自我纠正，提高元认知策略，寻求出来了支撑力，促进意义的建构。

■四、启示——依托表征意义，架设平衡力。

针对直观材料意义的组织，解释、分解、化解、设计、转化、对应、联结的过程需要依托表征意义，实现学习的平衡力。对直观材料的表征意义，需要对计算教学做出一些尝试。

首先，直观与抽象，突出意义。加法突出合并，减法突出去掉，乘法突出连加，除法突出连减，按群计数的迁移，这是程序性设计过程的大前提。如教学两位数除以整十数时，40÷20商的书写位置的确定，如何定位商，就要结合摆小棒图，得到40里面有几个20呢？分一分，看一看，想一想，从直观的验证上确立结果。分数的加减教学，同分母分数的加减也是通过正方形图片，利用几个几分之一的分数单位来计量的。直观通向抽象中，突出意义，把握住思维的起点源头。

其次，探究与训练，突出回归。探究中需要利用直观材料找到原型的依据，如小数的加减法计算，直观中呈现出元、角、分对应的位置，对应的法则有一个背景和由来。练习巩固中更是对学习探究到的知识和方法的检验，如对应乘法计算，把求几个几拓展到分数和小数的学习，再如除法计算，把求一个数里面有几个几，包含除，或是把一个数平均分成几份，求每一份是多少，等分除，都能有符号的表示，而且可以借助操作演示，每一次的回归是为了更好地向前跃进，有理想中的收获。

最后，监督与内省，突出评价。计算教学中，面对学生计算中的错误，常规教学中提供机会展示，除分析道理外，还需要适当地建立评价机制。用送上小提醒的方式，来追问为什么错了，应该怎么想？如教学一年级口算中，面对两位数减整十数、一位数时，有学生要把两位数减一位数也看成先减十位了，发生的错误，用一个规则道理说服不够，课堂上学生说到了减的时候本来是要减个位的，这才是关键。

利用尝试性的建议，回到上面引发的5个问题，算理的探索和算法的建构有着心理的扭转与变化、适应与发展过程，体现出直观到抽象之间形式化的运作，实物、替代、符号的使用抽象出模型，形成递进式的思维方式，多样中的优化是自然选择的结果，“理解”和“记忆”反复之间是量到质的不断变化，依靠数学思维内部流量加工成学习策略。

综上所述，数学是思维体操，组织直观材料的使用，可以促进计算教学中数学化的联结。小学生的思维发展正处于直观形象和抽象思维之间的过渡，重视直观表征，自我搭建脚手架，帮助学生把握住算理和算法的双翼，为数学发现提供了保障，开启了数学化烙印。