基本不等式解题“五先五后”策略

陕西 李 歆（特级教师）

基本不等式解题“五先五后”策略

陕西 李 歆（特级教师）

基本不等式是高中数学的重要内容，是求解函数最值和证明不等式的重要工具，也是高考中常考的重要知识点．但同学们在解题时，因对基本不等式的“内涵”理解肤浅，对数学问题的“题情”识别不清，导致二者之间的“嫁接”链条缺失，造成解题的出错率往往较高，有鉴于此，本文介绍基本不等式解题的“五先五后”策略，供同学们复习时参考．

一、先变形，后拆项

二、先判断，后添项

【点拨】（1）“1”的代换法是数学中最常用的一种解题方法，此解正是通过的巧妙实施，才使解题顺利通畅，达到了“山重水复疑无路，柳岸花明又一村”的效果．

三、先放缩，后叠乘

【分析】这是一个数列不等式，通常用数学归纳法证明，但从k到k＋1难度较大，注意到不等式左边每一项中的分数分母依次相差2，可考虑依次先将前面分数的分子变为后面分数的分母，然后利用基本不等式放缩后再用叠乘的方法解决．

以上各式两边分别相乘，得

【点拨】数列不等式的证明，是高考考查的热点和重点．解这类问题，要从不等式内在的结构特点入手，寻找突破口．此解通过把不等式左边乘积中的各项，分别转化为两个数的平均数的形式，从而为应用基本不等式搭起了一个平台，使问题解决精彩绝妙．

四、先分离，后消元

【例4】已知x，y∈R＋，且x－y＝xy，x－4y－a＝0，求实数a的取值范围．

【分析】实数a在条件等式x－4y－a＝0中，可知a＝x－4y，但此式含有两个未知数x和y，可由另一个条件等式x－y＝xy中把x或y分离出来，然后代入求解．

【点拨】此题也可以利用“1”的变形技巧求解：由x－y＝ xy，得，则，以下略．

五、先引参，后代入

（作者单位：陕西省武功县教育局教研室）