空间向量能干的那些事

2016-03-18河北李锦昱

教学考试(高考数学) 2016年3期

关键词：设点动点中点

河北李锦昱

空间向量能干的那些事

河北李锦昱

自从引入空间向量这一重要工具之后，老师们再也不用担心我们的立体几何了，因为很多立体几何问题变的都那么程式化，操作也简单明了，不信请看以下几例．

一、空间向量定轨迹

1．确定轨迹是直线

【例1】如图所示，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O是正方形ABCD的中心，正方形内的一个动点M满足MP＝MB，则点M的轨迹是（）

【解法一】连接PB，由MP＝MB可得点M在线段PB的垂直平分面上，即点M的轨迹是线段PB的垂直平分面与底面正方形ABCD的交线，因此是线段，但这条线段显然又不是对角线AC，故应选B．

其实，空间向量可以把“显然”准确化：

【解法二】设AD、BC的中点分别为E、F，以EA、EF、EP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则那么，整理得x＋2y－1＝0，其轨迹是直线的一部分．

2．确定轨迹是平面曲线

空间中给定圆锥和平面（截面），若截面与轴垂直，则截面曲线是圆（含点圆）；若截面与一条母线平行，则截面曲线是抛物线；若截面与轴平行或与对顶圆锥顶点两侧都相交，则截面曲线是双曲线；若截面只与圆锥顶点一侧相交（不与轴垂直），则截面曲线是椭圆．

2015年浙江卷文科第7题（例2）就很好地考查了圆锥曲线的本质定义．

【例2】如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则P的轨迹是（）

A．直线 B．抛物线

C．椭圆 D．双曲线的一支

【解析】显然AP是以AB为轴的圆锥面的母线，因为∠PAB＝30°且平面α与圆锥的轴线所成的角为60°，则截面是椭圆，故选C．其详细的解答可参考下面的题源．

【题源追踪】（2014年5月浙江湖州二模理6）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是底面正方形ABCD内的一个动点，若直线C1D，C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是（）

A．点M的轨迹是圆的一部分

B．点M的轨迹是椭圆的一部分

C．点M的轨迹是双曲线的一部分

D．点M的轨迹是抛物线的一部分

【解析】（方法1）以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），设直线C1D，C1M所成的角等于30°，则，整理可得，其轨迹是椭圆的一部分．

（方法2）C1D与底面ABCD所成的角等于45°，直线C1D，C1M所成的角等于30°，则问题等价于以C1D为轴，母线C1M绕轴C1D旋转形成圆锥面，再用与轴C1D成45°角的平面ABCD截圆锥面，得到圆锥曲线部分．因为截面只与圆锥顶点一侧相交，所以点M的轨迹是椭圆的一部分．

3．确定轨迹是空间曲面

【例3】如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、E1分别是AD、A1D1的中点，长为2的线段MN的端点M，N分别在线段EE1和正方形ABCD内滑动，那么MN的中点P所形成的轨迹与正方体的面所围成的封闭几何体的体积为（）

【解析】设BC的中点为F，则以EF，ED，EE1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（x，y，z）（其中x≥0，z≥0），由中点关系可得M（0，0，2z），N（2x，2y，0），注意到MN＝2，可得x2＋y2＋z2＝1（x≥0，z≥0），所得轨迹是四分之一球面，故其体积为

二、空间向量确定点

1．利用空间向量确定动点的个数（求空间角）

【例4】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设点P为棱上任意点（异于顶点B），那么使BP与AC1所成角为45°的点P的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【解析】因为BB1，BC，BA与AC1所成角均大于45°，所以BB1，BC，BA三条棱上不存在符合题意的点P；

因为AC1与BA1，BD垂直，所以A1B1，AA1，CD三条棱上不存在符合题意的点P．

以下在棱A1D1，C1D1，B1B1，CC1，DD1，AD上验证是否存在符合题意的点P．

以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C1（1，1，

设点P（0，y，1）（0≤y≤1）在棱A1D1上，则y，1），如果BP与AC1能成45°的角，那么，只有满足y2＝－6才成立，这就是说棱A1D1上不存在符合题意的点P；同理，设点P（0，y，0）（0≤ y≤1）在棱AD上，则，如果BP与AC1能成45°的角，那么解得（舍去），即棱AD上也不存在符合题意的点P；

设点P（1，y，1）（0≤y≤1）在棱B1C1上，则1），如果BP与AC1能成45°的角，那么即棱B1C1上存在一个符合题意的点P；设点P（x，1，1）（0≤x≤ 1）在棱C1D1上，则，如果BP与AC1能成45°的角，那么，解得，即棱C1D1上存在一个符合题意的点P；

设点P（1，1，z）（0≤z≤1）在棱CC1上，则如果BP与AC1能成45°的角，那么，即棱CC1上存在一个符合题意的点P；设点P（0，1，z）（0≤x≤1）在棱DD1上，则如果BP与AC1能成45°的角，那么，此时需要z2＝－6（舍去），即棱DD1上不存在符合题意的点P．

综上所述，点P只可能在棱B1C1、C1D1和CC1各存在一个，故选C．

2．利用空间向量求距离或截面面积

【例5】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为棱AB的中点，那么经过点A与D1P垂直的平面截正方体所得的截面面积为（）

【解析】以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（1，0，0），D1（0，2，2）．在棱BC， BB1上取点E（2，y，0），F（2，0，z），则得只有y＝z＝1才成立，也就是说点E，F恰好是棱BC，BB1的中点，此时可得截面是

【例6】已知长度为4的线段AB在平面α内，线段AC，BD不在平面α内，若AC⊥平面α，垂足是A，BD⊥AB，若AC＝BD＝3，BD与它在平面α内的射影成30°角，则CD的长度为（）

【解析】如图，D和D1分别是符合题意的分布在平面α两侧的点，它们在平面α内的射影设为点E，E1，D与C在平面α的同一侧，D1与C在平面α的不同侧，由同理，由

3．利用空间向量确定动点的位置（证明空间垂直）

【例7】如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，点F是棱CD上的动点，E，O分别是AD，BD的中点．已知

（Ⅰ）证明：不论点F在棱CD上如何移动，总有OE⊥AF；

（Ⅱ）求二面角F－AB－D的平面角的余弦值的最小值．

【解】（Ⅰ）证明：因为E，O分别是AD，BD的中点，则EO∥AB，因为∠BAD＝90°，所以OE⊥AD；因为平面ABD和底面BCD垂直，且∠BDC＝90°（即CD⊥BD），所以CD⊥平面ABD，而OE平面ABD，所以CD⊥OE；又AD∩CD＝D，从而OE平面ACD，AF平面ACD，因此总有OEAF．

（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，OA，则OG，OD，OA两两垂直，以OG，OD，OA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．