函数中的常见错误解析（下）

湖北 皮冬林

函数中的常见错误解析（下）

湖北 皮冬林

一、基本初等函数

【易错点1】忽视对含参数的二次项系数为零时的讨论

【例1】若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＞2 B．a≥2

C．a＜－2D．a≤－2

【解析】当a2－4＝0时，a＝2或a＝－2，经检验a＝2满足条件；

当a2－4≠0时，若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞ 0对一切x∈R恒成立，则a＞2．综上，满足条件的实数a的取值范围是a≥2，故正确答案为B．

【评注】在解答含参数的二次型函数时，若二次项系数含有参数，则一定要注意二次项系数为零时是否满足题意．本题中若忽视了对a2－4＝0的讨论，则很容易错选为A答案．

【变式】已知函数f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在区间（－∞，2］上单调递增，则实数k的取值范围是________．

【易错点2】忽视幂函数的系数为“1”

【例2】（2013·安徽模拟）幂函数y＝（m2－m＋1）· xm2－2m－3在区间（0，＋∞）上单调递减，则实数m的取值范围为________．

【解析】由幂函数y＝（m2－m＋1）xm2－2m－3在区间（0，＋∞）上单调递减，得

故满足条件的实数m的取值范围为｛0，1｝．

【评注】本题中若没有注意到m2－m＋1＝1，容易错误地由m2－2 m－3＜0得到－1＜m＜3的错误结论．

【变式】已知幂函数f（x）＝（m2－5 m＋7）xm2－6在区间（0，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围为________．

【答案】实数m的取值范围为m＝3．

【易错点3】混淆函数中的“有解”与“恒成立”问题

【例3】（2015·江西调研）已知函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在区间［2，3］上有最大值4和最小值1．设，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，求实数k的取值范围．

故满足条件的实数k的取值范围为（－∞，1］．

【评注】在函数中常见到含有参数的“有解”与“恒成立”问题，在审题中一定要注意理解题意．若k≤f（x）有解，则k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，则k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，则k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，则k≥［f（x）］max．

【变式】（2014·西安五校模拟）定义域为R的函数f（x）满足f（x＋2）＝2f（x），当x∈［0，2）时，f（x）＝若当x∈［－4，－2）时，函数恒成立，则实数t的取值范围为（ ）

A．2≤t≤3B．1≤t≤3

C．1≤t≤4D．2≤t≤4

【易错点4】对数式的变形过程不等价

【例4】关于x的方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0根的个数为________．

【解析】由log2x2－2（｜x｜－1）2＝0可得log2｜x｜＝（｜x｜－1）2，令f（x）＝log2｜x｜，g（x）＝（｜x｜－1）2，易知这两个函数均为偶函数，故只求x＞0时根的个数即可．当x＞0时，如图所示，由数形结合知，两函数图象交点有2个，即此时方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0有两根；同理，当x＜0时，也有两根．综上，满足条件的根的个数为4．

【评注】本题在对log2x2－2（｜x｜－1）2＝0进行变形时，容易得出log2x＝（｜x｜－1）2的错误结论，这是在对含对数的式子进行变形时不等价而产生的错误，在做题时要特别关注变形的等价性．

【变式】关于x的不等式logax2＞1（0＜a＜1）的解集为________．

二、函数的图象

【易错点5】忽视函数变化速度的“相对性”

【评注】高考题中的函数图象问题多用排除法，掌握各基本初等函数变化速度的“相对性”对正确解题很关键．若不能理解本题中当x＞0时，函数y＝3x呈“爆炸性”增长的趋势，极易错误选择选项D．

【变式】函数f（x）＝x2－2x在x∈R上的零点的个数（ ）

A．0 B．1

C．2D．3

【答案】D

【易错点6】忽视指数函数图象的“渐近线”

【例6】若关于x方程｜3x－1｜＝k有两个解，则实数k的取值范围为（ ）

A．0＜k＜1B．k＞0

C．k≥0D．k＞1

【解析】函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，如图所示．当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝｜3x－1｜的图象有两个不同的交点，即关于x的方程｜3x－1｜＝k有两个解，故正确答案为选项A．

【评注】本题中“x轴是函数y＝3x图象的渐近线”容易掌握，但对其部分图象进行翻折变换后直线y＝1是函数y＝｜3x－1｜图象的一部分的渐近线很容易被忽略，故本题容易错误选择选项B．

【变式】若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

【简解】曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，则b应满足的条件是b∈［－1，1］．

【易错点7】混淆“分段函数的分类标准”导致作错函数图象

【简解】y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，即关于x的方程f（x）＋f（2－x）＝b有四个不等实根，根据数形结合思想知，函数y＝f（x）＋f（2－x）与函数y＝b的图象有四个不同交点．所以关键是要求出y＝f（x）＋f（2－x）的解析式并作出其图象．将x与2－x分别以y＝f（x）的分类标准“2”进行分类得故由数形结合思想知b 的取值范围为，选正确答案为D选项．（注：本题的关键是如何正确找到分段函数的分类标准，很容易错将分段函数y＝f（x）＋f（2－x）按数“2”分成两段．）

三、函数的零点

【易错点8】错认为函数在区间（a，b）内存在唯一零点的充要条件是f（a）·f（b）＜0

【例8】设函数f（x）满足f（－1）·f（1）＜0，则方程f（x）＝0在区间［－1，1］内（ ）

A．没有实根

B．有唯一实根

C．有2个实根

D．不能确定有无实根

【解析】因为函数f（x）在区间［－1，1］内是否连续和单调都未知，所以不能确定方程f（x）＝0在区间［－1，1］内的零点个数，故正确答案为D选项．

【评注】图象连续不断的函数在区间［a，b］内有f（a）· f（b）＜0时，函数在区间（a，b）内至少有一个零点；连续不断的单调函数在区间［a，b］内有f（a）·f（b）＜0时，函数在区间（a，b）内有且只有一个零点．本题中很容易忽视连续性与单调性的条件，从而错选B．

A．0 B．1

C．2 D．无数

（作者单位：湖北省宜昌市第七中学）