让学生真正经历数学学习的过程

田云　孙道斌

【摘要】北师大版“§64多边形的内角和与外角和（1）”在整个教材编排体系中起着承上启下的作用，所蕴含的转化、从特殊到一般等思想，为学生更好地学习各种特殊四边形、圆的相关内容提供了重要的思路和方法.因此，把这节课设计成一节探索活动课，通过将多边形问题转化为三角形问题，体会转化的数学思想，并掌握由特殊到一般的学习方法，探索求得多边形内角和公式，从而让学生经历知识与技能形成与巩固过程，经历数学思维的发展过程，经历应用数学能力解决问题的过程，进而形成积极的数学情感与态度.

【关键词】多边形内角和；数学思想方法；探索活动设计

目前，在教学中仍有不少教师囿于教材，按教材内容分配的课时进行教学.但新课程理念强调：教材不仅仅是知识的载体，更重要的是成为促进学生全面发展的一种工具、方式和途径.因此，教师要创造性地用教材，要对教材知识进行重组和整合，要以“学生发展为本”的教学理念来设计教学活动，让学生真正经历数学学习的过程.2015年6月25日，笔者随牡丹区名师团队送课下乡，牡丹区第二十一中学的田云老师在李庄中学执教了一堂公开课，执教的内容是“§64多边形的内角和与外角和（1）”（北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册），田老师正是秉承了这样的教学理念，创造性地把这节课设计成了一节探索活动课，通过将多边形问题转化为三角形问题，让学生体会转化的数学思想，并掌握由特殊到一般的学习方法，探索求得多边形内角和公式，从而让学生经历知识与技能形成与巩固过程，经历数学思维的发展过程，经历应用数学能力解决问题的过程，进而形成积极的数学情感与态度.

教材分析

“§64多边形的内角和与外角和（1）”（北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册），它是在学习了三角形的概念以及三角形的内角和的基础上，拓展研究多边形的内角和.它起着承上启下的作用，为后续学习平面镶嵌、各种特殊四边形、圆的相关内容以及工程技术中的应用打下基础.

学情分析

学生已经学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上八年级的学生好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高.因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生参加探索活动的热情已经具备，所以把这节课设计成一节探索活动课是切实可行的.

教学目标

知识技能：能够利用多边形的内角和公式进行简单的计算.

数学思考：经历探索多边形内角和的过程，在活动中进一步发展学生的合情推理能力.

问题解决：通过将多边形问题转化为三角形问题，体会转化的数学思想，并掌握由特殊到一般的学习方法.

情感态度：在数学活动中，体验成功的乐趣，养成主动探究和合作交流的习惯，体会数学的应用价值.

教学重点

多边形的内角和；培养学生主动探究新知识的方法.

教学难点

探索多边形的内角和公式；探索多边形内角和时，如何把多边形转化为三角形.

突出重点、化解难点的措施

1.教师自制教具，操作演示；

2.随时总结学习几何命题的一些规律，在得出结论前“引导分析”；

3.教学中既注重各部分知识之间的联系，又注意保持各部分知识之间相对的独立性，使其条理清楚，层次分明；

4.利用表格使所学知识形成网络；

5.设计有目的、有梯度、循序渐进的练习题组，强化训练.

教学过程

一、创设情境，激趣导入

师：同学们，你们手上都有长方形的纸片（如图1）.如果现在让你任意地剪去长方形纸片的一个角，你可以有几种不同的剪法，剪后剩下的图形是什么形状的？请大家动手做一做，然后和同学们交流自己的想法.

（学生独立思考，操作；汇报交流）图1图2

生1：长方形纸片剪去一个角，我认为可以得到三角形或者是梯形.请大家看.

（学生在实物投影仪上展示自己的操作方法，如图2，3所示）

生2：长方形纸片剪去一个角，我认为除了可以得到三角形或者梯形以外，还可能是五边形.

（生2展示，如图4）

师：很好！通过大家动手操作，我们发现长方形纸片剪去一个角可以得到三角形或者梯形以外，还可能是五边形.大家是否知道这些图形的共同名字？

生众：多边形.

师：对，这些图形就是我们前面学习的多边形.这节课我们就来学习多边形的内角和与外角和的相关问题，首先我们来学习多边形的内角和.（板书课题：§64多边形的内角和与外角和（1））

点评利用现代化的教学手段“创设问题情境”可以有效地激发学生的好奇心和求知欲，使学生很快进人角色，同时还可以及时巩固多边形的定义和有关的概念.

二、合作交流、探索新知

师：大家学习了多边形及其有关概念，那么你知道多边形的内角和是多少吗？你能以四边形为例来说明吗？

生3：是360°.

师：请说明理由.

生4：因为正方形、长方形的每个内角都是90°，所以四边形的内角和是360°.

生5：不对，正方形、长方形都是特殊的四边形，这不能说明所有的四边形的内角和都是.

师：你真能善于明辨问题.我们小学学过的长方形和正方形，它们的内角和都是360°，由此我们猜测一般四边形内角和也是360°.这个结论是否正确呢？我们要从理论上加以验证.

点评以小学学过的长方形、正方形每个内角都是90°为依托，猜想一般四边形内角和的度数.向学生渗透由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想方法.

师：我们知道处理复杂问题普遍实用的方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题.所以，研究四边形的问题可转化为已学过的知识去解决.

生众：转化为三角形问题来解决.

师：对！同学们回答的非常好！把四边形问题转化为三角形知识解决.

师：转化的关键？

生众：作辅助线.

点评研究四边形的问题可转化为三角形知识去解决，向学生渗透“化归”的数学思想方法.

师：请同学们考虑说明的方法.

（学生动手画图，教师巡视，发现不少同学都给出了把四边形分割成几个三角形的办法，归纳起来，有三种，如图5，6，7）图5图6图7

师：请三位同学（代表三种不同的分割方法）到黑板上利用实物投影仪展示，并说明探索思路.

生6：如图5，把四边形分成两个三角形，可得四边形的内角和是360°.

生7：如图6，把四边形分成四个三角形，可得四边形的内角和等于四个三角形的内角和减去一个周角的度数，也是360°.

生8：如图7，把四边形分成三个三角形，可得四边形的内角和等于三个三角形的内角和减去一个平角的度数，也是360°.

师：很好，同学们对四边形内角和问题的解决已经有了三种方法.请同学们观察图6，点O是AC与BD的交点，点O自由吗？如果让这个点动起来，结论还成立吗？（打开几何画板如图6的图形）让我们观察点O动起来的情况（把点O拖动至如图8）.图8图9

生众：仍然成立，这与图6的情况是一样的.

师：点O不在线段AC上可以吗？（拖动点O，如图9）

生众：可以，还是与图6的情况是一样.

生9（像是有了重大发现，激动地）：点O可以是四边形内部的任意一点.

师：对，看来点O还是很自由的，那么点O的自由度有多大呢？它还能运动到别的地方去吗？请同学们先独立思考，再交流讨论.

（学生讨论交流后，纷纷举手）

生10：点O可以运动到四边形的边上，就是图7的情况，点O也可以与四边形的一个顶点重合，像图5的情况.

师：好，同学们对四边形内角和的研究又深入了一步.以上我们研究了点O在四边形的内部和边上运动的情况，点O能否冲破“禁区”运动到四边形的外部呢？

众生犹豫不决.

师：请同学们先思考，再讨论.（教师拖动点O，如图10）

（学生思考，讨论）

生11：在图10中，△AOD、△DOC、△COB三个三角形内角和减去△AOB的内角和就是四边形ABCD的内角和也是360°.

生12：点O还可以再运动，点O在边DA的延长线上时，只有两个三角形了（教师拖动点O，如图11），这时也能说明四边形的内角和是360°.

师：你的想法完全正确，先别忙回答，让同学们先想一想好吗？

（思考、讨论后，有很多学生举手.）

师（对学生12）：这种情况是你先发现的，老师知道你能正确地说明理由，能否发扬一下风格，让其他同学说说理由.

生12（高兴地）：当然可以.

生13：△OCD与△OCB的内角和共是360°，但这中间不包括四边形ABCD的∠DAB，而∠AOB与∠ABO又不是四边形ABCD的内角，但根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知∠DAB=∠AOB+∠ABO，这样就可以得出四边形ABCD的内角和是360°了.

（在生12的带领下，学生一起鼓掌）

生14（急切地）：老师，点O也可以是AD与BC延长线的交点（教师拖动点O，如图12），这时∠O+∠A+∠B+∠ODC+∠ADC+∠OCD+∠BCD=540°，再减去△ODC的内角和，就可以得出四边形ABCD的内角是360°了.

（学生又一次自发地鼓掌）

师：生14回答得很精彩，点O的确很神奇，它点到哪里都成金啊！以上，同学们发现了探究四边形内角和的八种方法，这些方法有什么共同特点吗？

生众：都是把四边形分割成了三角形.

师：也就是把未知转化成了已知.转化是研究数学问题最常用的方法.

点评四边形内角和这一结论的解释说明是本节课的一个重点，添加辅助线是关键.本环节的学习中，探索了多种的说明方法，活跃了学生的思维.在教学过程中，应鼓励学生通过独立思考，不拘一格，创造性地解决问题，使学习数学成为再发现和再创造的过程.

三、类比迁移、得出结论

师：同学们通过探索，知道了任意四边形的内角和都是360°.那么五边形、六边形、七边形等多边形的内角和又是多少度呢？请同学们选择你所喜欢的方法进行探索，并将探索的结果填入下表，猜想n边形的内角和是多少？

师：真了不起.人们经过多年的探究，才发现的规律，同学们在短短的一节课就解决了.不过，数学家往往愿意用字母公式来表示他们发现的规律，因为这样能把规律更简单地呈现出来，请大家也自己尝试一下，看能不能用一个数学公式把多边形内角和的规律用字母表示出来.

生众：（n-2）·180°.

师：对！这就是我们这节课所要学习的内容：n边形的内角和等于（n-2）·180°.（板书）

点评从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，学生借助表格，自己观察总结规律，猜想出n边形的内角和，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性.

四、应用新知，尝试编题

师：我们已经得到n边形的内角和等于（n-2）·180°，下面我们围绕这个公式，自编自解一些习题，好吗？

（学生情绪高涨，纷纷动起手了）

生21：一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？

生22：八边形.

生23：正五边形与正六边形的每一内角分别是多少度呢？

生24：108°，120°.

师（对生24）：你能给出正边形的其中一个内角的度数吗？

生24（略作思考）：能，n边形内角和是（n-2）·180°，正n边形每个内角都相等，所以正n边形的一个内角是（n-2）·180°[]n[SX）].

师：太好了！大家再想一想，如果已知多边形的内角和，看能不能求出这个多边形的边数？

（学生思考议论，然后口述编出的题目）

生25：已知多边形的内角和是900°，它是几边形？

生26：七边形.

师：看样大家对公式不但掌握熟练，而且还会灵活运用，很了不起.

点评请学生应用公式计算，使他们体会到公式的便利作用，及应用自己研究成果的愉悦；让学生利用公式进行编题自解，这样设计不但体现新知的应用价值，而且也让使学生获得成功感.

五、达标练习，巩固提高

师：今天的新课已经学完了，在学案上还有一个达标练习，请同学们迅速完成，看你能达到哪一级的目标.

A级：

1.正五边形的每个内角分别是度.

2.一个多边形的内角和等于1800°，那么这个多边形是边形.

3.一个多边形的内角和可能是（）.

A.270°B.560°C.1800°D.1900°

B级：

4.如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是（）.

A.12B.9

C.8D.7

5.在图13中AB∥CD，求x的值.

C级：图13图14

6.求图14中x的值.

7.一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是780°，则这个多边形的边数n的值是多少？

（学生分组，比一比哪个组完成的又快又好；每个小组派代表来抽取一组题目；每个小组答完题后，派代表给其它小组讲解本组做的题目，评讲完，其它小组的同学如果有疑问可以提出，由该小组答疑）

点评通过竞赛的方式，不但能激发学生的学习兴趣，而且还能引导他们在做练习的过程中，通过小组协作来巩固知识和获得技能.尤其是“小组答疑”这个环节，让学生从教师的角度去思考问题，对所学知识能有更深层次的理解.

六、课堂小结，体验收获

师：通过这节课的学习，谈谈你有什么收获？

生27：掌握了探索多边形内角和公式的方法.

生28：通过探索多边形内角和公式，我知道了由特殊到一般的学习方法，还了解了转化的思想.

生29：我知道了方程的思想在几何中也有重要的作用.

生30：通过小组合作学习，增强了我与其他同学之间的合作意识，不但掌握了知识，还学会了与他人交流，提高了自己的能力.

师：真精彩！看来同学们今天都动了脑筋.不仅学会了转化的方法而且还能创造性地运用，同时也能把以前学过的知识运用在解决新的问题上.希望同学们在今后的学习中也能像今天这样，勤动手、多思考.

点评鼓励学生畅所欲言，谈自己对本节课的收获和体会，有利于培养学生归纳概括的能力，让学生自主建构知识体系.

总评

在整堂课的教学过程中，田老师充分体现了“学生是学习活动的主体，教师始终扮演着组织者、合作者和引导者的角色”.在课堂上，田老师通过组织学生动手实践，在形成感性认识的同时，又培养了学生的动手能力，有助于激发学生对数学的好奇心和求知欲，为培养创造性思维和严谨的学习态度奠定基础.具体说来，本节课的特点主要体现在以下三个方面：

1.巧妙抓住了教学活动中学生的三次突破，层层推进教学

第一次突破：教学一开始，田老师以一个开放性的数学问题（如果现在让你任意地剪去长方形纸片的一个角，你可以有几种不同的剪法，剪后剩下的图形是什么形状的？由此，联想到剩下的图形的内角和是几度？是比原来的长方形内角和增加了还是减少了？）直接进入这节课的主题，让一个看似很容易的问题引起了学生的认知冲突，也引起了学生的探究兴趣，让学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在“四边形的内角和”上，自然的实现了本节课的第一次突破.这说明田老师对数学问题本身的魅力领悟到位，问题运用合理.

第二次突破：当学生在“合作交流、探索新知”时，把重点“锁”在四边形内角和这个焦点上的时候，田老师没有急于求成，反而引导学生先考虑起数学方法来了.田老师从数学方法入手去引导学生解决新的数学问题，这在一般的课堂教学中是不多见的.事实上，这一教学环节的关键就在引出“转化”的数学方法.对于“转化”的数学方法教师点到为止，至于如何去运用仍由学生自己去完成.这样，本节课的第二次突破也是由学生完成的，由此不难看出田老师对学生主体地位的尊重.有了这个环节方法的研究，就使接下去研究五边形、六边形、七边形等过程“有法可依”了.

第三次突破：以四边形为研究对象，在知识和方法上有了突破之后，顺势提出五边形、六边形、七边形、八边形的内角和问题，这既是数学本身发展的需要，更是满足学生刚刚燃烧起来的探究欲望的需要，学生对教学的第三次突破也就自然不期而至了.值得注意的是：如果说对四边形的研究带有很浓的“摸着石头过河”的感觉，那么这一环节的探究就显得很开放了，学生的自主地位很明显，而这正是数学发展的必然规律，学生认知发展的规律.可以看出：“让学生经历数学发展的过程”这是田老师努力追求的.

课堂上，当实现这三个突破后，学生还没有满足，这时田老师顺势再加“一把火”，巧妙地让学生的认识再提高一个层次.这节课的精彩也就出现了！田老师以新的具体的学习任务（求20、100边形的内角和），引发了学生新的认知冲突，而且这种冲突是由学生自己揭示出来的，当然学生解读冲突的欲望也是最强烈的.可以感受到，在这一环节的再次突破过程中，师生都是充满激情的！

2.给学生充分的学习、思考、交流的时间，教师甘心沉默

学生在讨论四边形的内角和时各持己见，可以看到以上这个环节，学生展开了积极的交流，交流是学生之间相互学习、相互提高、思维相互碰撞的过程，尽管交流中发现学生的想法有错误，还没有讨论出最正确的结果，但田老师始终在保持“沉默”，好一个“无声胜有声”，这样的教学等待是我们教师应该提供给学生的.教师甘心沉默才会有后来学生的精彩发言.这样的“沉默”还有好几处，比如到最后田老师要引导学生总结了，还是发现有学生要补充发言.看来在课堂教学中，全面的信息反馈、给学生充分发表自己意见的机会是多么的重要！

3.有意识地渗透学习方法

在此之前，学生已经积累一些说明几何问题的事实、方法和经验，为了帮助学生迅速找到新旧知识的结合点，田老师向学生传递、渗透一种信息：处理复杂问题普遍实用的方法，就是把未知转化为已知，用已有知识研究新问题.所以，研究四边形的问题可转化为已学过的知识去解决.这样容易引起学生的联想，有利于学生梳理知识，培养学生的发散思维能力.接下去对于“怎样转化？转化的关键是什么？”田老师没做更多的引导，只是提出问题.这样做，一方面是为解决问题创造一个好的情境，另一方面是指导学生通过自己的努力按既定方向将已有知识、经验和方法进行重组，从而解决问题，这样才能真正体现学生学习方法的掌握和自主运用.从课堂教学实际效果看，这个引导是符合多数学生的认知基础的，既没有超越学生的认知能力，又能促进学生积极探索.在探求结论的推导过程中，集中体现了数学转化思想的应用.在这里，教师有意识地进行了渗透，这可以使学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决问题的作用.

本堂课不足之处主要是因材施教、分类指导方面有待于进一步加强，在各个教学环节中后进生没有得到应有的重视，特别在练习过程中要特别注意加强对后进生的学法指导.