以线性空间为主线的高等代数教学探讨

2016-03-16李小朝刘秀华

河南教育学院学报（自然科学版） 2016年2期

关键词：高等代数教学模式

李小朝, 刘秀华

(1.黄淮学院数学系，河南驻马店 463000； 2.黄淮学院社管系，河南驻马店 463000)

以线性空间为主线的高等代数教学探讨

李小朝1, 刘秀华2

(1.黄淮学院数学系，河南驻马店 463000； 2.黄淮学院社管系，河南驻马店 463000)

摘要：探讨以线性空间为主线的高等代数教学模式，提高教学的有效性.

关键词：高等代数；线性空间；教学模式

0引言

高等代数是本科院校数学系最重要的专业基础课之一，其中很多理论尤其是线性空间理论对后续课程的学习非常重要. 由于高等代数相对抽象，很多教材都是先从行列式、矩阵和线性方程组入手，然后再安排线性空间和线性变换理论[1-2]. 这样当然使学生学起来更容易接受，让学生更好地过渡到大学的学习，但也会使一些学生认为线性空间理论不是那么重要，没有进一步理解高等代数的精髓——线性空间理论. 有些表面上完全没有联系的研究对象，都可以归结为线性空间的范畴进行研究. 因此线性空间是数学中一个极其重要且应用广泛的概念，是高等代数的一个主要研究对象.林翠琴教授对高等代数的教学内容改革进行研究，探讨了以线性空间和线性映射为核心的教学体系[3]. 还有一些学者对高等代数的教学改革及线性空间等内容进行了较好的研究[4-5]. 本文结合教学实践和教材[1]，提出以线性空间为主线的教学模式，把高等代数的很多重要内容，比如多项式、矩阵、线性方程组解的理论等都融合到线性空间理论中. 在线性空间理论中研究这些内容的运算规律和性质，把它们抽象统一起来，进而使学生更好地理解高等代数的内容. 最后再考虑把多项式和矩阵的乘法运算结合起来，它们可以做成结合代数，拓展了线性空间的研究范畴.

1线性空间的概念及例子

线性空间的概念不再赘述，详见文献[1-2]. 简言之，就是在数域P与非空集合V之间定义数乘运算，V上定义加法运算，它们满足8条运算规律. 看似抽象的数学概念，却深刻地展示代数对象的内部结构和运算规律，把很多高等代数的教学内容作为一个例子给出，既可以使这些内容联系为一个整体，又能统观全局. 下面作为特殊例子给出这些教学内容.

1.1多项式空间P[x]及P[x]n

形式表达式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,其中a0,a1,…,an∈P，n是一非负整数，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式；所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x].

在P[x]上，定义多项式的加法和数域P中数与多项式的乘法. 可以验证多项式的加法运算满足交换律和结合律，P[x]中有零多项式且每个多项式都有负元，然后可以验证数与多项式的乘法，满足乘法对加法的分配率等. 因此P[x]是数域P上的一个线性空间，注意这里没有用到多项式的乘法.

接下来把多项式乘法也考虑进来，则P[x]是数域P上的交换结合代数[6]. 同样类似考虑P[x]n作为线性空间的例子. 这样既给出了多项式的运算，也给出线性空间的具体例子，加深这些代数对象的联系.

1.2向量空间Pn

由数域P中n个数组成的有序数组(a1,a2,…,an)，称为数域P上一个n维向量，P上n维向量的全体记为Pn. 向量的加法定义为对应分量分别相加，数与向量的乘法定义为数与各分量分别相乘. 可以验证这些运算也满足线性空间的定义，给出线性空间的一个易于理解和计算的实例.

1.3齐次线性方程组的解空间

线性方程组是高等代数的主要研究内容，线性方程组的求解尤为重要. 对应齐次线性方程组，它的解的全体到底满足哪些性质？怎样把它们都表示出来？当然很有必要研究清楚.

齐次线性方程组的一组解称为解向量，它满足两个性质：两个解的和还是方程组的解；一个解的倍数还是方程组的解. 刚好对应出解向量的加法和数乘仍然在解集里面，这样齐次方程组的解集也能做成一个线性空间，基础解系则为解空间的一组基.

1.4矩阵空间Pm×n

许多问题的研究都提出矩阵的概念，这些研究常反映为矩阵的研究，因此矩阵的运算及性质显得特别重要. 把数域P上m×n矩阵的全体记为Pm×n，在Pm×n中定义矩阵A,B的和为两个矩阵对应元素分别相加；数域P中数字k与矩阵A的积定义为用k乘矩阵的每一个元素. 可以验证这两种运算满足线性空间的概念，Pm×n是数域P上m×n维的线性空间，当然它也具有线性空间的其他性质.

上面没有考虑矩阵的乘法，如果把n级方阵的全体记为Pn×n，Pn×n中矩阵A,B的乘法定义为：A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和作为A与B积的(i,j)元. 这样考虑Pn×n中方阵的加法、方阵与P中元素的乘法和方阵与方阵的乘法，Pn×n进一步是数域P上n2维结合代数[6].

这些例子既展示了矩阵、多项式等的基本运算，又作为线性空间或其他代数范畴的例子出现，具有统揽全局，高屋建瓴之感.

2线性空间的内部结构

线性空间自身的结构和性质需要研究清楚，这里主要给出以下两点.

2.1维数、基与坐标

维数、基与坐标等是线性空间最基本的性质，是刻画线性空间结构的基础. 在给出这些概念之前需要先学习向量组的线性相关性等知识点，这样线性空间的所有元素(无限多个)都可以由有限个元素线性表示出来. 再以线性空间的具体例子，比如多项式空间P[x]及P[x]n，向量空间Pn和矩阵空间Pm×n分别作为研究对象，给出它们的基、维数、坐标等，使这些不同的研究对象在线性空间的范畴得到理论上的高度统一.

2.2线性子空间

子空间是研究线性空间内部结构的一个重要方面，其定义为：数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间(或简称子空间)，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间. 当然具体证明非空子集合W是子空间并不需要逐条验证线性空间的8条运算规律，只需验证W中元素对于线性空间V的两种运算封闭即可. 线性子空间的和与交还是子空间，但是子空间的并一般不是子空间，这些性质可以利用线性空间理论给出证明，也可以利用上面诸多例子给出验证，加深结论的理解和记忆.

3线性空间中运算之间的联系——线性变换

在研究了线性空间的内部结构之后，需要进一步研究线性空间中元素之间的联系，这就需要给出线性空间上线性变换的概念. 线性变换是线性空间V到自身的一个映射，它保持线性空间V的加法和数乘运算，可以看到线性变换的研究事实上是在线性空间的范畴中进行的. 一个线性变换在线性空间的一组基下唯一对应一个矩阵，线性变换的运算对应矩阵的运算. 线性空间V上线性变换的全体关于线性变换的加法和数乘运算又能构成数域P上一个线性空间. 线性变换属于某个特征值的特征向量的全体加上零向量同样能做成一个线性空间，称为特征子空间. 线性变换的值域与核以及不变子空间等，都是新的线性空间，也都具有线性空间的诸多性质.

可以看到，线性变换的研究是在线性空间中进行的，它是和线性空间的研究融为一体、高度统一的.

4线性空间的特殊情形——欧氏空间

前面探讨的是一般数域P上的线性空间，如果具体到实数域R上，则给出了实线性空间的概念. 在实线性空间上再赋予内积运算，引出了欧几里德空间的概念. 事实上欧几里德空间是特殊的线性空间，它当然具有线性空间的基本性质.以前面的例子为基础给出欧氏空间的例子，如在实线性空间Rn中,对于向量α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn),定义内积(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn，则Rn就成为一个欧几里德空间. 这样可以把高等代数前后的很多内容建立紧密联系，加深高等代数概念和知识点的理解.

5线性空间的代数外延

在以线性空间为主线介绍了高等代数的基本知识之后，可以线性空间为基础，给出其他代数对象，比如结合代数、李代数等，拓展学生的知识面，激发学习高等代数的兴趣. 下面仅举两例作为参考.

5.1结合代数

设A是数域P上的线性空间,对∀α,β,γ∈A,k∈P，在A上定义乘法运算(α，β)→αβ, 满足乘法是双线性的：α(β+γ)=αβ+αγ, (α+β)γ=αγ+βγ, (kα)β=α(kβ)=k(αβ)和乘法结合律α(βγ)=(αβ)γ, 则称A为P上一个结合代数. 可以看到结合代数首先是线性空间，它当然具有线性空间的基本性质，无非比线性空间的运算多了元素之间的乘法运算，这里可以线性空间P[x]与Pn×n作为结合代数的例子进行研究.

5.2李代数

李代数是现代数学的一个重要研究分支，其定义为：设L是数域P上的一个线性空间, 且L上有一个双线性运算L×L→L，记为(x,y)[xy]，它满足[xx]=0和Jacobi等式[x[yz]]+[y[zx]]+[z[xy]]=0(∀x,y,z∈L)，则称L为P上的李代数. 李代数首先也是一个线性空间，具有线性空间的基本性质，当然它更是现代数学、物理等研究的重要方面.

6小结

高等代数的大部分内容都可以归结到线性空间的范畴进行研究. 以线性空间为主线展开教学，可以把高等代数的主要内容有机联系起来，统观全局；又能引出现代数学中许多重要的代数对象，承前启后. 因此，以线性空间为主线进行高等代数的教学是切实可行的，值得进一步探讨研究.

参考文献

[1]北京大学数学系前代数小组．高等代数[M]．4版.北京：高等教育出版社,2013：1-394.

[2]张贤科，许甫华. 高等代数学 [M]．2版.北京：清华大学出版社，2004：1-320.

[3]林翠琴. 以线性空间和线性映射为核心的线性代数教学体系[J]. 工科数学，1997, 13(2):84-87.

[4]谭玉明. 关于高等代数中根子空间分解定理的教学[J]. 大学数学，2012,28(2): 152-154.

[5]余柏林，程虹，华洪波，等. 线性空间概念的教学方法研究[J]．高师理科学刊，2014, 34(1):104-107.

[6]孟道骥，王立云，史毅茜，等. 抽象代数Ⅱ：结合代数[M]. 北京：科学出版社，2011：1-4.

Discussion on Higher Algebra Teaching Based on Linear Space

LI Xiaochao1, LIU Xiuhua2

(1.Department of Mathematics, Huanghuai University, Zhumadian 463000, China;2.DepartmentofSocialManagement,HuanghuaiUniversity,Zhumadian463000,China)