重要不等式为何要改为基本不等式

袁素群　徐章韬

重要不等式为何要改为基本不等式

袁素群徐章韬

1.引言

2.语义角度

《现代汉语词典》中对“重要”和“基本”作了如下解释：“重要：具有重大意义作用或影响的，有很大意义的。”在重要不等式的表述中，取其形容词性词意，用来形容它在高中数学教材中的地位，说明该不等式有重大意义，且对后续课程学习和实际生活具有积极的作用。“基本：根本；根本的；主要的；大体上”。在基本不等式的表述中，“基本”一词作为形容词，表示这一不等式是根本的、基础性的、主要的。教材视这一不等式是一种知识基础，把它作为后续知识的基础。要达到预期的学习目的，就必须学好这一基础性的、根本的、主要的不等式。应用“基本”一词，凸显了教材对这一不等式的认识及重视程度提升到了一个新的高度。

3.数学教材编写的角度

数学教材中有很多重要的概念、定理、公式、法则等，这些重要的数学知识对我们的学习有着不可或缺的作用。知识量越多，越要抓住根本。如人教A版教材《数学》（必修4）“同角之间的三角函数基本关系”将以往的八大关系式改为两个基本关系式。教材删繁就简，间接暗示教师只要把握基本关系sin2θ+ cos2θ=1和tan进行有重点的教学，就会起到事半功倍的效果。不等式的教学也是如此，由于我们还将接触到许多不等式及其证明、应用等问题，这就要求我们正确认识不等式间的关系及其数学本质。

3.1“重要”和“基本”都强调重要作用，是主干知识

从数学教材编写的角度来分析，人教A版教科书和以往的教科书都强调不等式（a，b＞0）在证明不等式问题和解决最优化问题时，有着广泛的应用，这足以说明该不等式在不等式知识体系中的重要性。

在全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第六章中，首先介绍了不等式的性质；紧接着，教材引出“算术平均数与几何平均数”这一重要不等式；之后，在“不等式的证明”中，讲述综合法时，又用该不等式及不等式的性质推导其他不等式成立。通过该不等式在证明其他不等关系中的应用，反映了其重要性。在“含有绝对值的不等式”中，教材以例题的形式讲述了重要不等式在解绝对值不等式中的应用。由此看来，旧教材强调该不等式在应用时有重要作用。

人教版普通高中课程标准实验教科书分不同的章节处理不等式问题。在《数学》（必修5）的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后，在第四小节介绍该不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更加详细的介绍。并在书中还安排章节复习了该不等式，并将其推广到三元的形式。

现行教材对基本不等式的课程内容的分层安排，逐步深入探讨，花大量篇幅介绍了该不等式与其他不等式的关联性，及其在解决其他数学问题、实际问题中的应用性，反映了该内容在高中数学知识体系中的重要性。

3.2“基本”还强调基础性，更具有底层支柱作用

现行教材用“基本”来形容该不等式的重要性，在说法上更值得考究。重要的数学知识是有用的，有意义的。基本不等式不仅是有用的、有意义的，还是基础性的、本源性的。

4.教学角度

克莱因指出：“一个数学教师的职责是：应使学生了解数学并不是孤立的一门学问，而是一个有机的整体。一个称职的教师应该掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。”基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性，相应的教学应通过数学上基本关系的揭示，来优化学生的认识结构。相较之下，重要不等式的提法有可能旨在强调数学结果，基本不等式的提法更强调基础性，它是后续学习的出发点，强调的是一个过程的开始。

4.1教学应凸显知识间的内在联系，发展学生的认知结构

数学知识并不是离散孤立的存在，而是存在着一定的联系。数学认知结构是学习者头脑中对数学知识结构的反映，数学认知结构是否完善，直接影响着学习者的学习。教学若能将新知与旧知通过同化的方式纳入学生的认知结构，将有助于优化学生认知结构，培养学生的兴趣和自信心。

强调基本不等式是一种基础性的数学知识，更能凸显数学知识之间的内在联系。在教学中要揭示这种内在联系，以优化学生的认知结构。由于基本不等式本身有多种等价形式，证明方法也多样，如果能引导学生通过观察、探索、归纳和验证，得到该不等式的多种等价形式和证明方法，还能得到意想不到的收获。这对完善学生数学认知结构具有积极的作用。肖建辉在《解读基本不等式的代数背景》（《中小学数学（高中版）》，2010年）一文中通过加、减、乘、除、开方、取倒数等一系列代数运算，在对运算结果之间的大小关系比较中，不仅得到了其等价形式，还推出了“调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数”的均值不等式链。由于基本不等式在代数中的基本性，教师若能引导学生将其头脑中零散的数学知识结构有机串联起来，就能帮助学生优化认知结构。肖建辉在《解读基本不等式的几何背景》（《中学数学》，2010年）一文中将代数与几何有机结合在一起，突出了数形结合的思想方法。从赵爽弦图、正交切分方块、斜交切分方块、射影定理、切割线定理、自相似直角三角形翻折等几何模型中，推导出基本不等式。这说明了基本不等式与几何知识之间有内在的联系，基本不等式的教学能沟通不同几何知识间的关联性。方亚斌在《怎样认识新课标中的基本不等式》（《数学通报》，2013年）一文中构造多种证明不等式的方法，除了从代数、函数、方程角度证明不等式外，还从统计、向量、复数、解析几何、三角、平面几何等角度对基本不等式进行了证明。这说明基本不等式与其他数学知识也有着深刻的联系，数学教学要重视引导学生从中挖掘出这些知识间的内在联系，形成纵横交错的网络认知结构。

基本不等式也是沟通数学与其他学科之间的桥梁。袁泉润在《“重要”不等式为何改为“基本不等式”》（《数学通讯》，2014年）一文中设计物理学的背景知识，进行物体质量测量。首先，用无刻度的天平测得物体的质量，利用杠杆原理，计算物体的质量，这是一个结果。其次，两次测量物体的质量，用平均值估计物体实际质量，这又是一个结果；最后，通过比较两个质量之间的大小关系，得出基本不等式。汤云强在《浅谈“基本不等式”在高中物理解题中的应用》（《物理通报》，2011年）一文中介绍了基本不等式在高中物理中解决非弹性碰撞、连接体的速度极值等极值问题的应用。在历史上，有人通过比较匀加速运动过程中的平均速度，和运动过程中时刻中点的瞬时速度，也能得到基本不等式。和物理知识相关联，能培养学生跨学科的应用意识，同时有利于学生理解整个中学知识体系的关联性，优化认知结构。

4.2“重要”强调认知结果，而“基本”重视认知过程

重要不等式给学生的感觉有可能这是一个重要的结论，是一个有用的结果，要记住；而基本不等式则告诉学生：这个不等式是证明诸多不等式的一个出发点，是一个过程的开始。从注重结果到关注过程是重大的理念转变，理念的转变旨在培养学生的思维能力。

数学教学要重视知识产生与发展的过程。基于这一理念，袁泉润在《“重要”不等式为何改为“基本不等式”》（《数学通讯》，2014年）一文中对基本不等式这节课的教学重新进行了设计，并将其付诸于教学实践，取得了很好的成效。这说明教学观念从重视结果到重视过程的转变，将更有利于培养学生的思维能力。

数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。思想是概念的灵魂，是数学素养的源泉，是从技能到能力的桥梁；过程是思想的载体，是领悟概念本质的平台，是培养数学能力的土壤。没有过程等于没有思想。在日常教学中，不要搞快节奏，要慢工磨细活，展示思维的过程。如，基本不等式的证明方法多样，若充分利用函数的思想方法，构造函数y=lnx，取x1=a， x2=b，得，化简可得到基本不等式。若充分利用方程的思想方法，构造方程（x-，方程化简得，由于a，b＞0，方程恒有解，那么Δ≥0，化简得基本不等式。在多样化的证明过程中，能够培养学生灵活运用函数与方程的思想方法。把注重认知结果的“重要”改成不但要关注结果，更要关注认知过程的“基本”性，突出了重视教学过程和认知过程，重视在过程中培养学生思维的理念。

4.3基本不等式还强调可推广性、可迁移性

方亚斌在《怎样认识新课标中的基本不等式》（《数学通报》，2013年）一文中构造多种证明不等式的方法，除了从代数、函数、方程角度证明不等式外，还从统计、向量、复数、解析几何、三角、平面几何等角度对该不等式进行了证明。这说明基本不等式与其他方面的数学知识有着深刻的联系，数学教学要重视引导学生从中挖掘出这些内在的关系，并对其进行推广。

前面提到，可以将其推广到三元甚至n元的算数—几何平均值不等式或平均值不等式链。若将其条件中的范围扩大到实数域，结论又会如何呢？n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的统计量，有广泛的用途。在统计中，可将其应用于某一统计量理想值的最佳估计中，等等。对不等式作多方面的推广过程中，数学的应用天地更广阔了，更有用了。

数学知识在数学上具有可推广性，在认知结构上具有可迁移性。我国教学历来重视基本，如基本知识、基本技能的提法深入人心，现在还新增了基本思想方法、基本活动经验的提法。那么，何谓基本，如何抓住基本呢？湖北特级教师裴光亚老师曾在《数学通讯》上从复习备考的角度谈了如何抓住基本的策略和方法。强调基本，从迁移性来说，就是说这种认知方法、认知态度或认知策略具有超越具体情境的功能，不局限于特定的情境。在平常教学中，是在特定情境下学习特定的知识。为什么要学习这些知识，是因为这些知识中蕴含了可迁移的基本性要素。

5.结语

教科书将重要不等式改成基本不等式，表述上的微变凸显了基本不等式在知识结构上、在认识结构上的底层支撑性，领悟其中的微言要义，对教学具有重要的指导作用。若能把握教材的微变，切实理解其中深刻的数学和教学道理，从重视结果转变到过程、结果并重，并将这种教学理念上的变化落实到教学过程中，将更有利于培养学生的能力，更有利于教学目标的达成。（项目：华中师范大学研究生教学研究项目“数学教育方向研究生学术能力提升的研究（2013JG37）”的部分成果）

（作者单位：华中师范大学数学与统计学院）